Determinante berechnen

Determinanten und Parallelogrammflächen

Determinanten spielen in vielen Bereichen der Physik, Mathematik oder Ingenieurwissenschaften eine wichtige Rolle. Aber was bedeutet Determinante eigentlich in Mathe? Und wie hängt sie mit der Fläche von Parallelogrammen zusammen?

Determinante – Beispiel

Um zu verstehen, wie wir eine Determinante berechnen können, betrachten wir die folgende Zeichnung:

Wir wollen den Flächeninhalt $A$ des Parallelogramms $ABCD$ bestimmen. Es wird durch die zwei Vektoren $\vec{a} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ und $\vec{b} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ aufgespannt. Die beiden Vektoren können wir in der Komponentenschreibweise auch folgendermaßen aufschreiben:

$\vec{a} = \binom{a_x}{a_y} $

$\vec{b} = \binom{b_x}{b_y}$

Wenn wir ein Rechteck mit den Eckpunkten $A$ und $C$ und $E$ und $F$ um das Parallelogramm zeichnen, können wir die Seiten des Rechtecks jeweils als Summe der Komponenten der Vektoren darstellen. Die Seite $\overline{AF}$ setzt sich beispielsweise aus den Komponenten $b_y$ und $a_y$ zusammen.

Mit den eingezeichneten Vektorkomponenten ergeben sich sechs weitere, kleine Flächen, die das Parallelogramm umgeben. Um die Fläche des Parallelogramms zu bestimmen, können wir daher die Fläche des Rechtecks $A_{\square}$ berechnen und diese sechs Flächen abziehen.

Die Fläche des Rechtecks berechnen wir folgendermaßen:

$(a_y + b_y) \cdot (a_x + b_x) = A_{\square}$

Um die Fläche des Parallelogramms zu erhalten, müssen wir jetzt die sechs kleineren Flächen abziehen. Zunächst betrachten wir das blau schraffierte rechtwinklige Dreieck. Seine Katheten haben die Längen $b_y$ und $b_x$. Das Dreieck hat damit die Fläche $A_{\triangle ,blau} = \frac{1}{2} \cdot b_y \cdot b_x$. Das gelb schraffierte Dreieck hat Katheten der Länge $a_y$ und $a_x$ und die Fläche $A_{\triangle ,gelb} = \frac{1}{2} \cdot a_y \cdot a_x$. Das rot schraffierte, kleine Rechteck hat die Seitenlängen $a_y$ und $b_x$ und folglich den Flächeninhalt $A_{\square, rot} = a_y \cdot b_x$. Da die zwei Dreiecke und das Rechteck unter dem Parallelogramm exakt dieselben Maße haben und lediglich gespiegelt sind, müssen wir die drei so bestimmten Flächeninhalten jeweils zweimal abziehen:

$A = A_{\square} - 2 \cdot A_{\triangle ,blau} - 2 \cdot A_{\triangle ,gelb} - 2 \cdot A_{\square, rot}$

Das Einsetzen ergibt:

$A = (a_y + b_y) \cdot (a_x + b_x) - b_y \cdot b_x - a_y \cdot a_x - 2 \cdot a_y \cdot b_x$

Wir multiplizieren den ersten Term aus:

$A = a_y \cdot a_x + a_y \cdot b_x + b_y \cdot a_x + b_y \cdot b_x - b_y \cdot b_x - a_y \cdot a_x - 2 \cdot a_y \cdot b_x$

Weil mehrere Terme sowohl mit positivem als auch negativem Vorzeichen auftreten, addieren sie sich zu null und fallen weg. Wenn wir den Rest zusammenfassen, erhalten wir schließlich:

$A = a_x \cdot b_y - a_y \cdot b_x$

Das ist eine zweireihige Determinante. Man kann die Determinante auch so aufschreiben:

$ \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix} = a_x \cdot b_y - a_y \cdot b_x$

$ \binom{a_x ~ b_x}{a_y ~ b_y} $ bezeichnet man auch als die Matrix, in der die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ die Spalten bilden. Die Determinante entspricht aber nur dann dem Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

• Die beiden Vektoren müssen denselben Fußpunkt haben.
• Der Vektor in der ersten Spalte der Matrix muss – in der Zeichnung gegen den Uhrzeigersinn zu dem Vektor der zweiten Spalte gedreht – die Fläche des Parallelogramms überstreichen.

Wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind, kann man die Determinante zwar trotzdem berechnen, sie entspricht dann aber nicht dem Flächeninhalt des Parallelogramms.

Determinanten und Parallelogrammflächen - Zusammenfassung

In diesem Video lernst du, wie die Determinante und der Flächeninhalt eines Parallelogramms zusammenhängen. Die Formel für die zweireihige Determinante wird einfach hergeleitet. Du solltest schon wissen, was Vektoren sind, bevor du dieses Video schaust.