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Linearkombinationen

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Team Digital
Linearkombinationen
lernst du in der Oberstufe 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Linearkombinationen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, zu überprüfen, ob ein Vektor als Linearkombination anderer Vektoren darstellbar ist.

Zunächst lernst du, was wir unter einer Linearkombination verstehen. Anschließend gehen wir gemeinsam durch, wie man überprüft, ob ein Vektor als Linearkombination anderer Vektoren darstellbar ist.

Linearkombinationen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Linearkombination, Vektor, Vektoraddition und skalare Multiplikation.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits die Grundlagen zur Vektoraddition und skalaren Multiplikation kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Vektoren haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Weiteres zur linearen Unabhängigkeit zu lernen.

Transkript Linearkombinationen

Hast du schonmal Thailändisch gegessen? In der thailändischen Küche wird mit frischen Zutaten und einer großen Palette an Gewürzen gekocht. Dabei werden oft gegensätzliche Aromen kombiniert. So entstehen Geschmacksrichtungen, die wir gar nicht kennen. Welche Kombinationen mit Vektoren möglich sind, schauen wir uns hier an. Eine grundlegende Kombinationsmöglichkeit ist die Vektoraddition. Dabei werden die Vektorpfeile einfach wie eine Kette aneinandergesetzt. So entsteht ein neuer Vektor: der Summenvektor. Analytisch können wir ihn berechnen, indem wir die Vektorkoordinaten zeilenweise addieren. Ganz bestimmt kennst du du auch schon die skalare Multiplikation, bei der man Vektoren mit einer reellen Zahl multipliziert und sie somit vervielfacht. Falls nicht, schau dir dazu nochmal das Video an. Bei einer Linearkombination werden nun diese beiden Rechenoperationen verbunden angewendet. Schauen wir uns das mal an einem Beispiel an. Wir haben den Vektor „eins, null, drei“ und den Vektor „zwei, drei, minus eins“. Jetzt können wir einfach mal das Doppelte des ersten Vektors und die Hälfte des zweiten Vektors addieren. Warum? Ach, - just for fun - einfach weil wirs können. Als Ergebnis erhalten wir wieder einen dreizeiligen Vektor. Für die erste Koordinate rechnen wir „zwei mal eins plus einhalb mal 2“. Also zwei plus eins, das macht drei. Das Gleiche machen wir für die zweite und die dritte Zeile. Wir erhalten den Vektor „drei 1,5 5,5“. Es ist übrigens nicht das Gleiche, wenn wir die Skalare tauschen würden. Addiert man die Hälfte des ersten Vektors mit dem Doppelten des zweiten Vektors, erhalten wir einen komplett anderen Vektor. Wie kommt das? Schauen wir uns das mal im Koordinatensystem an. Das sind die Vektoren a und b. Für die normale Addition würden wir Vektor b einfach an Vektor a dransetzen. Für die erste Linearkombination haben wir aber das Doppelte von Vektor a und die Hälfte von Vektor b addiert. Dadurch entsteht dieser Vektor. Danach haben wir die Hälfte von a und das Doppelte von b addiert. Wie du siehst, erhalten wir als Ergebnis nun einen völlig anderen Vektor. Da wir für die Skalare Alle reellen Zahlen einsetzen dürfen, können wir aus nur zwei Vektoren unendlich viele Linearkombinationen bilden. Jetzt geht die Frage an dich: Welchen Vektor erhalten wir, wenn wir für die Skalare „minus zwei“ und „ein Fünftel“ wählen? Du kannst das Video kurz pausieren und selbst nachrechnen. Wenn du die Skalare einsetzt, müsstest du dieses Ergebnis herausbekommen haben. Wir können auch noch einen dritten und einen vierten Vektor hinzunehmen. Unsere Linearkombination lässt sich beliebig verlängern. Ganz allgemein ausgedrückt ist eine Linearkombination also eine Summe aus beliebig vielen Vektoren, die mit verschiedenen Skalaren multipliziert werden können. Das ist ja alles schön und gut, aber was kann man damit jetzt machen? Zum Beispiel kannst du in Anwendungsaufgaben schneller den Vektor von A nach B bestimmen, indem du schon bekannte Vektoren entsprechend addierst. Außerdem kann man auch untersuchen, ob man aus zwei gegebenen Vektoren, einen bestimmten dritten Vektor durch eine passende Linearkombination bilden kann. Jetzt könnten wir natürlich lange rätseln, wie groß „r-eins“ und „r-zwei“ sein müssten. Wir können aber auch einmal ganz tief in unserem Gedächtnis kramen und an das Lösen von Gleichungssysteme zurückdenken. Genauso eins können wir dann nämlich aufstellen, und lösen, um die passenden Skalare zu ermitteln. Wenn „r-zwei“ gleich drei ist, muss „r-eins“ gleich eins sein. Der Vektor c ist also als Linearkombination der Vektoren a und b darstellbar. Wir müssen nur Vektor a mit eins und Vektor b mit drei multiplizieren. Es gibt aber auch den Fall, dass ein Vektor NICHT als Linearkombination gebildet werden kann. Das ist vielleicht schwer vorstellbar, denn schließlich können wir ja unendlich viele Linearkombinationen basteln. Aber versuche doch mal, DIE Skalare zu finden, mit denen man Vektor d als Linearkombination der Vektoren a und b darstellen kann. Während du dir daran die Zähne ausbeißt, fassen wir die Thematik nochmal zusammen. Eine Linearkombination ist eine Summe von Vielfachen von Vektoren. Die allgemeine Formel dafür sieht so aus. Dabei können wir unendlich viele Vektoren addieren und sie außerdem noch mit allen möglichen reellen Zahlen multiplizieren. Meistens wird jedoch danach gefragt, ob ein bestimmter Vektor als Linearkombination anderer Vektoren dargestellt werden kann. Dafür müssen wir entweder unseren Taschenrechner oder unser Wissen über lineare Gleichungssysteme hervorholen. Können wir das Gleichungssystem lösen, erhalten wir für die Skalare eindeutige Ergebnisse. Dann kann der Vektor c aus den Vektoren a und b gebildet werden und ist somit eine Linearkombination. Ist das Gleichungssystem nicht lösbar, ist der Vektor c nicht als Linearkombination der anderen beiden Vektoren darstellbar. Dieses Wissen brauchst du vor allem, wenn es in der analytischen Geometrie um Ebenen geht. Und sonst? Welche Kombinationen gefallen dir so? Hast du auch schon mal außergewöhnliche Kombinationen probiert? Trau dich ruhig, immer das Gleiche ist ja auch langweilig!

Linearkombinationen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Linearkombinationen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was man unter einer Linearkombination versteht.

    Tipps

    Vektoraddition: Anschaulich werden die Vektorpfeile einfach wie eine Kette aneinandergesetzt. Das Ergebnis nennen wir einen Summenvektor. Analytisch können wir ihn berechnen, indem wir die Vektorkoordinaten zeilenweise addieren.

    Skalare Multiplikation: Anschaulich wird ein Vektor dabei verlängert (oder auch verkürzt). Der Vektor wird dazu mit einer reellen Zahl multipliziert und somit vervielfacht.

    Beispiel:

    $2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1{,}5 \\ 5{,}5 \end{pmatrix}$

    Lösung

    Wir betrachten zunächst uns bekannte Vektoroperationen:

    Vektoraddition: Anschaulich werden die Vektorpfeile einfach wie eine Kette aneinandergesetzt. Das Ergebnis nennen wir einen Summenvektor. Analytisch können wir ihn berechnen, indem wir die Vektorkoordinaten zeilenweise addieren.

    Skalare Multiplikation: Anschaulich wird ein Vektor dabei verlängert (oder auch verkürzt). Der Vektor wird dazu mit einer reellen Zahl multipliziert und somit vervielfacht.

    Bei einer Linearkombination werden diese beiden Rechenoperationen verbunden angewendet: Eine Linearkombination ist eine Summe aus beliebig vielen Vektoren, die mit verschiedenen Skalaren multipliziert werden können.

    Beispiel:

    Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

    Wir addieren nun das Doppelte des ersten Vektors zur Hälfte des zweiten Vektors:

    $2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

    Als Ergebnis erhalten wir wieder einen dreizeiligen Vektor. Dabei gehen wir zeilenweise vor:

    • Für die erste Koordinate rechnen wir: $2 \cdot 1 + \dfrac{1}{2} \cdot 2 = 3$
    • Für die zweite Koordinate rechnen wir: $2 \cdot 0 + \dfrac{1}{2} \cdot 3 = 1{,}5$
    • Für die dritte Koordinate rechnen wir: $2 \cdot 3 + \dfrac{1}{2} \cdot (-1) = 5{,}5$

    Wir erhalten also:

    $2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1{,}5 \\ 5{,}5 \end{pmatrix}$

    Wir dürfen die Skalare jedoch nicht einfach vertauschen: Addiert man die Hälfte des ersten Vektors mit dem Doppelten des zweiten Vektors, erhält man einen komplett anderen Vektor.

    Da wir für die Skalare alle reellen Zahlen einsetzen dürfen, können wir aus nur zwei Vektoren unendlich viele Linearkombinationen bilden.

  • Berechne die Linearkombinationen der Vektoren.

    Tipps

    Führe die Rechnung zeilenweise durch.

    $2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

    • Für die erste Koordinate rechnen wir: $2 \cdot 1 + \dfrac{1}{2} \cdot 2$
    • Für die zweite Koordinate rechnen wir: $2 \cdot 0 + \dfrac{1}{2} \cdot 3$
    • Für die dritte Koordinate rechnen wir: $2 \cdot 3 + \dfrac{1}{2} \cdot (-1)$
    Lösung

    Eine Linearkombination ist eine Summe von Vielfachen von Vektoren. Dabei können wir unendlich viele Vektoren addieren und sie außerdem mit allen möglichen reellen Zahlen multiplizieren.

    In unserem Fall handelt es sich um eine Summe aus zwei Vektoren, welche jeweils mit einem Skalar multipliziert werden. Wir rechnen zeilenweise und erhalten:

    $\begin{array}{rcl} 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 3 \\ 1{,}5 \\ 5{,}5 \end{pmatrix} \\ \\ \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 6 \\ -0{,}5 \end{pmatrix} \\ \\ -2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -1{,}6 \\ 0{,}6 \\ -6{,}2 \end{pmatrix} \\ \\ 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix} \end{array}$

  • Bestimme das Ergebnis der Linearkombination für die gegebenen Werte von $r$, $s$ und $t$.

    Tipps

    Setze für die Variablen $r$, $s$ und $t$ die jeweils gegebenen Werte ein und berechne die Linearkombination schriftlich. Gehe dabei zeilenweise vor.

    Du darfst die Skalare, also die Faktoren vor den Vektoren, nicht vertauschen!

    Für die erste Koordinate der ersten Linearkombination rechnest du:

    $1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 + (-2) \cdot 2$

    Lösung

    Bei einer Linearkombination werden die Vektoraddition und die skalare Multiplikation verbunden angewendet: Es handelt sich um eine Summe aus beliebig vielen Vektoren, die mit verschiedenen Skalaren multipliziert werden können.

    Wir betrachten die gegebene Linearkombination:

    Da wir für die Skalare $r$, $s$ und $t$ alle reellen Zahlen einsetzen dürfen, können wir aus den drei Vektoren unendlich viele Linearkombinationen bilden. Wir berechnen die Linearkombinationen für die gegebenen Werte.

    Beispiel 1: $~r=1; ~~ s=2; ~~ t=-2$

    $1 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} +2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 \\ 1 \cdot 0+ 2 \cdot (-4) + (-2) \cdot (-4) \\ 1 \cdot 0{,}5+ 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 \end{pmatrix} = \color{#99CC00}{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4{,}5 \end{pmatrix}}$


    Beispiel 2: $~r=0; ~~ s=3; ~~ t=-5$

    $0 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} +3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-5) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 3 + (-5) \cdot 2 \\ 0 \cdot 0+ 3 \cdot (-4) + (-5) \cdot (-4) \\ 0 \cdot 0{,}5+ 3 \cdot 2 + (-5) \cdot 0 \end{pmatrix} = \color{#99CC00}{\begin{pmatrix} -1 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix}}$


    Beispiel 3: $~r=-2; ~~ s=1; ~~ t=-2$

    $(-2) \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} +2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 \\ (-2) \cdot 0+ 1 \cdot (-4) + (-2) \cdot (-4) \\ (-2) \cdot 0{,}5+ 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 \end{pmatrix} = \color{#99CC00}{\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}}$

  • Ermittle die Skalare der Linearkombination.

    Tipps

    Verwende Variablen für die gesuchten Zahlen in den Lücken.

    Stelle ein lineares Gleichungssystem auf und löse es.

    Das lineare Gleichungssystem lautet:

    $\begin{array}{rrrrrrrr} \text{I} & 3r &+ & 4s &+ & t = & 8 \\ \text{II} & -2r &+ & (-4)s &+ & 2t = & 0 \\ \text{III} & 0{,}5r & & & & = & -0{,}5 \\ \end{array}$

    Lösung

    Wir benennen zunächst die gesuchten Skalare mit Variablen:

    $r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ -0{,}5 \end{pmatrix}$

    Wir können nun ein lineares Gleichungssystem aufstellen:

    $\begin{array}{rrrrrrrl} \text{I} & 3r &+ & 4s &+ & t = & 8 \\ \text{II} & -2r &+ & (-4)s &+ & 2t = & 0 \\ \text{III} & 0{,}5r & & & & = & -0{,}5 \\ \end{array}$

    Es ergibt sich aus Gleichung $\text{III}$:

    $r=-1$

    Wir setzen dies in Gleichung $\text{II}$ ein und erhalten:

    $\begin{array}{rrrrrrrl} -2 \cdot (-1) & + & (-4)s &+ & 2t &= & 0 &\\ 2 & - & 4s & + & 2t &= & 0 & |-2 \\ & - & 4s & + & 2t &= & -2 & |+4s\\ & & & & 2t &= & -2 +4s & |:2\\ & & & & t &= & -1 +2s & \end{array}$

    Wir setzen $r$ und $t$ in Gleichung $\text{I}$ ein:

    $\begin{array}{rrrrrrrl} 3 \cdot (-1) & + & 4s &+ & (-1 +2s ) &= & 8 &\\ -4 & + & 6s & & &= & 8 & |+4 \\ & & 6s & & &= & 12 & |:6 \\ & & s & & &= & 2 & \end{array}$

    Wir können jetzt die berechneten Werte für $r$ und $s$ in die Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach $t$ auflösen:

    $\begin{array}{rrrrl} 3 \cdot (-1) & + & 4 \cdot 2 &+ & t &= & 8 &\\ & & 5 &+ & t &= & 8 & |-5\\ & & & & t &= & 3 & \end{array}$

    Insgesamt gilt also:

    $\color{#99CC00}{-1} \color{black}{~\cdot} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} + \color{#99CC00}{2} \color{black}{~\cdot} \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + \color{#99CC00}{3} \color{black}{~\cdot} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ -0{,}5 \end{pmatrix}$

  • Bestimme das Ergebnis der Vektoraddition oder der skalaren Multiplikation.

    Tipps

    Skalare Multiplikation: Anschaulich wird ein Vektor dabei verlängert (oder auch verkürzt). Der Vektor wird dazu mit einer reellen Zahl multipliziert und somit vervielfacht.

    Lösung

    Bei einer Linearkombination verbinden wir zwei Rechenoperationen:


    Vektoraddition: Anschaulich werden die Vektorpfeile einfach wie eine Kette aneinandergesetzt. Das Ergebnis nennen wir einen Summenvektor. Analytisch können wir ihn berechnen, indem wir die Vektorkoordinaten zeilenweise addieren:

    $\begin{array}{rclll} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 1+5 \\ 3+1 \\ 1+(-1) \end{pmatrix} &=& \color{#99CC00}{\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}} \\ \\ \begin{pmatrix} -2 \\ 9 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -2+3 \\ 9+1 \\ 1+(-2) \end{pmatrix} &=& \color{#99CC00}{\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ -1 \end{pmatrix}} \end{array}$


    Skalare Multiplikation: Anschaulich wird ein Vektor dabei verlängert (oder auch verkürzt). Der Vektor wird dazu mit einer reellen Zahl multipliziert und somit vervielfacht.

    $\begin{array}{rclll} 4 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0{,}5 \\ -1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 4 \cdot 3 \\ 4 \cdot 0{,}5 \\ 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} &=& \color{#99CC00}{\begin{pmatrix} 12 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}} \\ \\ 2 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 2 \cdot (-2) \\ 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 3 \end{pmatrix} &=& \color{#99CC00}{\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}} \end{array}$

  • Überprüfe, ob der Vektor $\vec{c}$ als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden kann.

    Tipps

    Gehe so vor:

    1. Benennung der gesuchten Skalare mit Variablen: $r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} = \vec{c}$
    2. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems
    3. Lösen des linearen Gleichungssystems
    4. Schlussfolgerung

    Überprüfe beim Lösen des linearen Gleichungssystems immer, ob alle drei Gleichungen erfüllt sind.

    Lösung

    Allgemein gehen wir so vor:

    1. Benennung der gesuchten Skalare mit Variablen: $r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} = \vec{c}$
    2. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems
    3. Lösen des linearen Gleichungssystems
    4. Schlussfolgerung

    $\,$

    • Erste Kombination:
    Wir benennen zunächst die gesuchten Skalare mit Variablen:

    $r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 2 \\ 22 \end{pmatrix}$

    Wir stellen ein lineares Gleichungssystem auf:

    $\begin{array}{rrrrrrrr} \text{I} & r &+ & 3s & = & 9\\ \text{II} & -2r & + & 4s& = & 2 \\ \text{III} & 4r & + &5s& = & 22 \\ \end{array}$

    Wir lösen das lineare Gleichungssystem:

    Aus Gleichung $\text{I}$ ergibt sich:

    $r=9-3s$

    Durch Einsetzen in Gleichung $\text{II}$ folgt:

    $-2 \cdot (9-3s) + 4s = 2 \quad \Leftrightarrow \quad -18 +10s = 2 \quad \Leftrightarrow \quad s= 2$

    Einsetzen in Gleichung $\text{I}$ ergibt:

    $r=9-3s = 9-6=3$

    Überprüfen in Gleichung $\text{III}$ führt zu:

    $4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 12+10=22 \quad$ Stimmt!

    Wir schlussfolgern:

    Vektor $\vec{c}$ lässt sich eindeutig als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ darstellen. Die Skalare $r$ und $s$ sind positiv.

    $\,$

    • Zweite Kombination:
    Wir benennen zuerst die gesuchten Skalare mit Variablen:

    $r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -10 \end{pmatrix}$

    Wir stellen ein lineares Gleichungssystem auf:

    $\begin{array}{rrrrrrrr} \text{I} & & & 2s & = & -2\\ \text{II} & -r & + & 3s& = & -8 \\ \text{III} & 5r & - &2s& = & -10 \\ \end{array}$

    Wir lösen das lineare Gleichungssystem:

    Aus Gleichung $\text{I}$ folgt:

    $s=-1$

    Einsetzen in Gleichung $\text{II}$ ergibt:

    $-r + 3 \cdot (-1)=-8 \quad \Leftrightarrow \quad -r -3=-8 \quad \Leftrightarrow \quad r=5$

    Überprüfen in Gleichung $\text{III}$ führt zu:

    $5 \cdot 5 - 2 \cdot (-1) = 25+2= 27 \neq -10 \quad$ Stimmt nicht!

    Wir schlussfolgern:

    Das Gleichungssystem ist nicht lösbar. Vektor $\vec{c}$ lässt sich nicht als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ darstellen.

    $\,$

    • Dritte Kombination:
    Wir benennen zunächst die gesuchten Skalare mit Variablen:

    $r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\6 \\ -3 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$

    Wir stellen ein lineares Gleichungssystem auf:

    $\begin{array}{rrrrrrrr} \text{I} & 3r &+ & 4s & = & -2\\ \text{II} & 6r & + & 8s& = & -4 \\ \text{III} & -3r & - &4s& = & 2 \\ \end{array}$

    Wir lösen das lineare Gleichungssystem:

    Aus Gleichung $\text{I}$ ergibt sich:

    $4s = -2-3r \quad \Leftrightarrow \quad s = -0{,}5 - 0{,}75r$

    Durch Einsetzen in Gleichung $\text{II}$ folgt:

    $6r + 8(-0{,}5 - 0{,}75r) = -4 \quad \Leftrightarrow \quad -4=-4$

    Einsetzen in Gleichung $\text{III}$ ergibt:

    $-3r -4(-0{,}5 - 0{,}75r)=2 \quad \Leftrightarrow \quad 2=2$

    Wir schlussfolgern:

    Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Vektor $\vec{c}$ lässt sich auf unendlich viele Arten als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ darstellen.

    $\,$

    • Vierte Kombination:
    Wir benennen zuerst die gesuchten Skalare mit Variablen:

    $r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\-1 \\ 8 \end{pmatrix}$

    Wir stellen ein lineares Gleichungssystem auf:

    $\begin{array}{rrrrrrrr} \text{I} & 3r & & & = & -6 \\ \text{II} & & & s& = & -1 \\ \text{III} & -5r & + &2s& = & 8 \\ \end{array}$

    Wir lösen das lineare Gleichungssystem:

    Aus Gleichung $\text{I}$ ergibt sich:

    $3r = -6 \quad \Leftrightarrow \quad r=-2$

    Aus Gleichung $\text{II}$ folgt:

    $s=-1$

    Überprüfen in Gleichung $\text{III}$ führt zu:

    $-5 \cdot (-2) + 2 \cdot (-1) = 10 -2 = 8 \quad$ Stimmt!

    Wir schlussfolgern:

    Vektor $\vec{c}$ lässt sich eindeutig als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ darstellen. Die Skalare $r$ und $s$ sind negativ.

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