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Cramersche Regel

Die Cramersche Regel ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Ihr Name stammt von Gabriel Cramer und sie basiert auf Determinanten und Matrizen. Finde heraus, wie man die Regel anwendet und erhalte Erklärungen und Beispiele in unserem Video! Interessiert? All das und noch mehr kannst du im folgenden Text entdecken.

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Die Autor*innen
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Kathleen Krahl
Cramersche Regel
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Cramersche Regel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Cramersche Regel kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die $2~$x$~3$ Matrizen zu den gegebenen Gleichungssystemen.

    Tipps

    Eine $2~$x$~3$ Matrix besteht aus zwei Zeilen und drei Spalten.

    In die erste Spalte schreiben wir die Koeffizienten der Variable x und in die zweiten Spalte die Koeffizienten der Variable y. In die dritten Spalte schreiben wir die Zahlen, die auf der rechten Seite der Gleichungen stehen.

    Lösung

    Eine Matrix ist eine Art Tabelle, in der Zahlen stehen. Diese Zahlen nennt man Koeffizienten oder Einträge der Matrix.

    Ein Matrix bezeichnet man mit Großbuchstaben z.B.: A, B oder C

    Eine Matrix besteht aus Zeilen und Spalten.

    Eine $2~$x$~3$ Matrix besteht aus zwei Zeilen und drei Spalten.

    Beispiel:

    $\begin{align} &\text{I}& 2x+3y&=4 \\ &\text{II}& 5x+6y&=7 \\ \end{align}$

    $ B= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{pmatrix} $

    In die erste Spalte schreiben wir die Koeffizienten der Variable x und in die zweiten Spalte die Koeffizienten der Variable y. In die dritten Spalte schreiben wir die Zahlen vier und sieben.

    Eine $2~$x$~2$ Matrix bezeichnen wir als quadratische Matrix. Hierbei bezeichnen wir die Diagonale von oben links nach unten rechts als Hauptdiagonale und die Diagonale von unten links nach oben rechts als Nebendiagonale.

    Die weiteren Lösungen sind:

    $\begin{align} &\text{I}& 3x+6y&=0 \\ &\text{II}& 1x+8y&=3 \\ \end{align}$

    $~$

    $~~~~~~B=\begin{pmatrix} 3 & 6 & 0 \\ 1 & 8 & 3 \end{pmatrix}$

    ______________________________________________

    $\begin{align} &\text{I}& 1000x+500y&=15 \\ &\text{II}& 1x+5y&=1 \\ \end{align}$

    $~$

    $~~~~~~B=\begin{pmatrix} 1000 & 500 & 15 \\ 1 & 5 & 1 \end{pmatrix}$

    ______________________________________________

    $\begin{align} &\text{I}& 1x+1y&=1 \\ &\text{II}& 1x+1y&=1 \\ \end{align}$

    $~$

    $~~~~~~B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

  • Gib an, wie man den Wert einer Determinante berechnet.

    Tipps

    Das Ergebnis einer Matrix ist eine reelle Zahl. Diese Zahl nennt man Determinante.

    $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =a \cdot d - c \cdot b$

    Lösung

    Eine Determinante ist die Maßzahl einer $2$ x $2$ Matrix.

    Das Ergebnis einer Matrix ist eine reelle Zahl. Diese Zahl nennt man Determinante.

    Wir benennen eine Determinante mit D oder det A.

    Man erhält den Wert einer Determinante, wenn man das Produkt der Hauptdiagonalelemente minus dem Produkt der Nebendiagonalelemente einer quadratischen $2$ x $2$ Matrix rechnet.

    $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =a \cdot d - c \cdot b$

    Beispiel:

    Wir haben eine $2$ x $2$ Matrix gegeben: $A= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} $

    $det~A=det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}=2 \cdot 6 - 5 \cdot 3=12-15=-3$

  • Berechne die Werte der Determinanten $A$, $A_x$ und $A_y$.

    Tipps

    Zunächst bilden wir die Matrizen $B_x$ und $B_y$.

    $B_x= \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 7 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

    $B_y= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 5 & 7 & 6 \end{pmatrix}$

    Aus den Matrizen $B$, $B_x$ und $B_y$ bestimmen wir die quadratischen $2~$x$~2$ Matrizen $A$, $A_x$ und $A_y$. Diese bestehen jeweils aus den ersten beiden Zeilen und Spalten der zugehörigen $2~$x$~2$ Matrix.

    Schließlich erhalten wir die Werte für die Determinanten der drei Matrizen durch Anwenden der Formel zur Berechnung einer Determinante:

    $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =a \cdot d - c \cdot b$

    Lösung

    Wir haben die $2~x~3$ Matrix gegeben:

    $B= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

    Zu dieser Matrix sollen nun die Determinanten $A$, $A_x$ und $A_y$ bestimmt werden.

    Zunächst bilden wir die Matrizen $B_x$ und $B_y$.

    Matrix $B_x$ bestimmen wir, indem wir die erste Spalte mit der letzten Spalte der Matrix $B$ vertauschen. Wir erhalten demnach folgende Matrix:

    $B_x= \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 7 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

    Matrix $B_y$ bestimmen wir, indem wir die zweite Spalte mit der letzten Spalte der Matrix $B$ vertauschen. Wir erhalten demnach folgende Matrix:

    $B_y= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 5 & 7 & 6 \end{pmatrix}$

    Aus den Matrizen $B$, $B_x$ und $B_y$ bestimmen wir die quadratischen $2~x~2$ Matrizen $A$, $A_x$ und $A_y$.

    $A= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$

    $A_x= \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 7 & 6 \end{pmatrix}$

    $A_y= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$

    Schließlich erhalten wir die Werte für die Determinanten der drei Matrizen durch Anwenden der Formel zur Berechnung einer Determinante:

    $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =a \cdot d - c \cdot b$

    $det~A=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}=2 \cdot 6- 5 \cdot 3=12-15=-3$

    $det~A_x=\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 7 & 6 \end{vmatrix}=4 \cdot 6 - 7 \cdot 3 = 24 - 21=3$

    $det~A_y=\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 7 \end{vmatrix}=2 \cdot 7 - 5 \cdot 4 = 14 - 20 = -6$

  • Berechne x und y mit der Cramerschen Regel

    Tipps

    Die Cramersche Regel zum Lösen eines linearen Gleichungssystems lautet:

    $x=\frac{det~A_x}{det~A}~~~~y=\frac{det~A_y}{det~A}$

    $det~A=det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

    $det~A_x=det \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

    $det~A_y=det \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$

    $det~A=det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}=1 \cdot 4 - 2 \cdot 3=4 - 6=-2$

    $det~A_x=det \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}=5 \cdot 4 - 6 \cdot 3=20 - 18=2$

    $det~A_y=det \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}=1 \cdot 6 - 2 \cdot 5=6 - 10=-4$

    Lösung

    Gegeben ist folgendes lineares Gleichungssystem:

    $\begin{align} &\text{I}& 1x+3y&=5 \\ &\text{II}& 2x+4y&=6 \\ \end{align}$

    Wir wollen die Lösungsmenge $L=\{(x;y)\}$ mit der Cramerschen Regel berechnen.

    Die Cramersche Regel zum Lösen eines linearen Gleichungssystems lautet:

    $x=\frac{det~A_x}{det~A}~~~~y=\frac{det~A_y}{det~A}$

    Wir benötigen also die Werte der Determinanten $A$, $A_x$ und $A_y$.

    Aus dem linearen Gleichungssystem können wir die Determinanten bestimmen.

    $det~A=det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}=1 \cdot 4 - 2 \cdot 3=4 - 6=-2$

    $det~A_x=det \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}=5 \cdot 4 - 6 \cdot 3=20 - 18=2$

    $det~A_y=det \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}=1 \cdot 6 - 2 \cdot 5=6 - 10=-4$

    Nun müssen wir nur noch die Werte der Determinanten in die Cramersche Regel einsetzen und so erhalten wir die Lösungsmenge $L=\{(x;y)\}$.

    $\Rightarrow x=\frac{2}{-2}=-1$

    $\Rightarrow y=\frac{-4}{-2}=2$

    Die Lösungsmenge ist demnach $L=\{(-1;2)\}$.

  • Gib an, welche Methoden es neben dem Determinantenmethode noch gibt, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras wird u.a. in der Geometrie benutzt, um einen rechten Winkel zu konstruieren.

    Eine quadratische Ergänzung hilft uns in der Mathematik eine quadratische Gleichung zu lösen.

    Lösung

    Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, kennen wir bereits folgende Methoden:

    • Additionsverfahren
    • Einsetzungsverfahren
    • Gleichsetzungsverfahren
    • Graphisches Lösen
    Der Satz des Pythagoras wird u.a. in der Geometrie benutzt, um einen rechten Winkel zu konstruieren.

    Eine quadratische Ergänzung hilft uns in der Mathematik eine quadratische Gleichung zu lösen.

    Neben den genannten Methoden zum Lösen eines linearen Gleichungssystems, lernst du heute eine neue Methode kennen: Die Cramersche Regel. Sie ist bedeutend schneller und es können nicht so viele Rechenfehler passieren.

  • Bestimme das zur Lösungsmenge passende Gleichungssystem.

    Tipps

    Setze der Reihe nach die x und y Werte in die Gleichungssysteme ein. In welchem Gleichungssystem erhältst du eine wahre Aussage?

    Alternativ kannst du auch jeweils die Cramersche Regel anwenden und die Lösungsmengen ausrechnen.

    Lösung

    Durch Einsetzen der x und y Werte in die Gleichungssysteme können wir überprüfen zu welchem Gleichungssystem die gegebene Lösungsmenge gehört. Nur in

    $\begin{align} &\text{I}& -4x+5y&=-55 \\ &\text{II}& -7x+2y&=-49 \\ \end{align}$

    erhalten wir eine wahre Aussage:

    $\begin{align} &\Rightarrow& &\text{I}& -4x+5y&=-55 \\ &\Rightarrow& &\text{II}& -7x+2y&=-49 \\ &\Rightarrow& &\text{I}& -4(5)+5(-7)&=-55 \\ &\Rightarrow& &\text{II}& -7(5)+2(-7)&=-49 \\ &\Rightarrow& &\text{I}& -20+(-35)&=-55 \\ &\Rightarrow& &\text{II}& -35+(-14)&=-49 \\ &\Rightarrow& &\text{I}& -55 &=-55 \\ &\Rightarrow& &\text{II}& -49&=-49 \\ \end{align}$

    Mit der Cramerschen Regel kommen wir ebenfalls auf die gleiche Lösungsmenge:

    $B= \begin{pmatrix} -4 & 5 & -55 \\ -7 & 2 & -49 \end{pmatrix}$

    Nun bestimmen wir die Determinanten:

    $det~A=det \begin{pmatrix} -4 & 5 \\ -7 & 2 \end{pmatrix}=-4 \cdot 2 - 7 \cdot 5=-8 - 35=27$

    $det~A_x=det \begin{pmatrix} -55 & 5 \\ -49 & 2 \end{pmatrix}=-55 \cdot 2 - (-49) \cdot 5=-110 + 245=135$

    $det~A_y=det \begin{pmatrix} -4 & -55 \\ -7 & -49 \end{pmatrix}=-4 \cdot (-49) - (-7) \cdot (-55)=196 - 385=-189$

    Jetzt müssen wir nur noch unsere Werte in die Cramersche Regel einsetzen und wir erhalten die x und y Werte der Lösungsmenge:

    $x=\frac{135}{27}=5$

    $y=\frac{-189}{27}=-7$