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Gauß-Algorithmus – Erklärung

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Team Digital
Gauß-Algorithmus – Erklärung
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Grundlagen zum Thema Gauß-Algorithmus – Erklärung

Inhalt

Der Gauß-Algorithmus in Mathe

Bevor du dir dieses Video anschaust, solltest du schon das Einsetzungsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen kennengelernt haben. Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, wie man Gleichungssysteme mit drei Variablen mit dem Gauß-Algorithmus lösen kann.

Gauß-Algorithmus – Erklärung

Der Gauß-Algorithmus ist ein Verfahren, mit dessen Hilfe man lineare Gleichungssysteme lösen kann. Ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen sieht in allgemeiner Form folgendermaßen aus:

$a_1x + a_2y + a_3z = A$

$b_1x + b_2y + b_3z = B$

$c_1x + c_2y + c_3z = C$

Die Variablen in diesem Gleichungssystem sind $x,y$ und $z$ und $a_1, a_2, a_3, b_1$ und so weiter sind konstante Koeffizienten, also Zahlen. Um das System zu lösen, müssen wir Schritt für Schritt Werte für die Variablen finden. Die Idee des Gauß-Verfahrens ist, zuerst Variablen durch das Additionsverfahren zu eliminieren. Und zwar so, dass wir eine Gleichung mit drei Variablen, eine Gleichung mit zwei Variablen und eine Gleichung mit nur einer Variablen erhalten. Man nennt diese Form des Gleichungssystems auch Stufenform.

$a_1^{\prime}x + a_2^{\prime}y + a_3^{\prime}z = A^{\prime}$

$b_2^{\prime}y + b_3^{\prime}z = B^{\prime}$

$c_3^{\prime}z = C^{\prime}$

Im Anschluss können wir die Gleichung mit nur einer Variablen nach dieser auflösen und dann rückwärts das Einsetzungsverfahren anwenden. Wir schreiben die einzelnen Schritte noch einmal stichpunktartig auf:

Gauß-Algorithmus – Regeln:

  1. Vorwärtselimination durch Anwendung des Additionsverfahrens
  2. Rückwärtseinsetzen durch Anwendung des Einsetzungsverfahrens

Um das Verfahren noch etwas anschaulicher zu machen, rechnen wir ein konkretes Beispiel.

Gauß-Algorithmus – Beispiel

Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem mit den drei Variablen $x,y$ und $z$:

$I: ~ ~ ~ 3x+2y+z = 7 $

$II: ~ ~ ~4x + 3y -z = 2$

$III: ~ ~ ~ -x-2y + 2z = 6$

1: Vorwärtselimination durch Anwendung des Additionsverfahrens

Im ersten Schritt wenden wir das Additionsverfahren an, um so Schritt für Schritt Variablen zu eliminieren. Wir beginnen damit, eine neue Gleichung $IIa$ zu bestimmen, in der wir die Variable $x$ eliminieren. Dazu rechnen wir Folgendes:

$IIa = 4\cdot I - 3\cdot II$

Das bedeutet: Wir subtrahieren von dem Vierfachen der Gleichung $I$ das Dreifache der Gleichung $II$.

Zunächst berechnen wir die Vielfachen der Gleichungen $I$ und $II$:

$4\cdot I: ~ ~ ~ 4\cdot (3x+2y+z) = 4\cdot 7 \Leftrightarrow 12x + 8y +4z = 28 $

$3 \cdot II: ~ ~ ~12x +9y -3z = 6$

Dann berechnen wir die Differenz und erhalten:

$IIa: ~ ~ ~ (12x + 8y +4z) -12x-9y+3z = 28 -6 $

$IIa: ~ ~ ~ -y + 7z = 22$

Um die Variable $x$ auch in der Gleichung $III$ zu eliminieren, rechnen wir das Folgende:

$IIIa = -1\cdot I - 3\cdot III $

Damit erhalten wir:

$IIIa: ~ ~ ~ 4y - 7z = -25 $

Jetzt müssen wir in der Gleichung $IIIa$ noch die Variable $y$ eliminieren, um die Stufenform zu erhalten. Dazu rechnen wir Folgendes:

$IIIb = 4\cdot IIa + IIIa$

Damit erhalten wir:

$IIIb: ~ ~ ~ 21z=63$

Insgesamt haben wir jetzt also das Gleichungssystem auf Stufenform gebracht:

$I: ~ ~ ~ 3x + 2y +z = 7$

$IIa: ~ ~ ~ -y + 7z = 22$

$IIIb: ~ ~ ~ 21z = 63$

Damit haben wir den ersten Schritt des Gauß-Algorithmus durchgeführt.

2: Rückwärtseinsetzen durch Anwendung des Einsetzungsverfahrens

Wir beginnen mit der Gleichung $IIIb$. Hier können wir $z$ bestimmen, indem wir durch den Koeffizienten $21$ teilen:

$21z = 63 ~ ~ |:21$

$\Rightarrow z = 3$

Diesen Wert setzen wir für $z$ in Gleichung $IIa$ ein und bestimmen durch Umformung den Wert für $y$:

$-y + 7 \cdot 3 = -y +21 = 22 ~ ~ |-21$

$\Rightarrow -y = 1 ~ ~ |\cdot(-1)$

$\Rightarrow y = -1$

Zuletzt setzen wir die Werte für $z$ und $y$ in die Gleichung $I$ ein, um den Wert für die Variable $x$ zu bestimmen:

$3x + 2\cdot(-1) + 3 = 7 ~ ~ |-1$

$3x = 6 ~ ~ |:3$

$x = 2$

Damit erhalten wir als Lösung des Gleichungssystems: $x=2$, $y=-1$, $z=3$. Du kannst das Ergebnis selbst auf Richtigkeit überprüfen, indem du eine Probe durch Einsetzen durchführst.

Gauß-Algorithmus – Zusammenfassung

In diesem Video wird dir der Gauß-Algorithmus einfach erklärt. Anhand eines Beispiels werden die einzelnen Rechenschritte erläutert. So kannst du in Zukunft selbst den Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme anwenden. Neben Text und Video findest du Aufgaben und Übungen, mit denen du dein Wissen gleich überprüfen kannst.

Transkript Gauß-Algorithmus – Erklärung

Ach verdammt, schon wieder ein Fehler in der Matrix! Wir müssen wohl Herrn Professor Doktor Gauß um Hilfe bitten. Der ist schließlich für den ganzen Kram hier verantwortlich. Dann kann er uns seinen „Gauß-Algorithmus“ auch nochmal in Ruhe erklären. Der „Gauß-Algorithmus“, auch „Gaußsches Eliminationsverfahren“ oder einfach „Gauß-Verfahren“ genannt, ist nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß benannt. Dieser lebte von siebzehnhundertsiebenundsiebzig bis achtzehnhundertfünfundfünfzig und war ein ziemlich cleveres Kerlchen. Wir haben ihm viele bahnbrechende mathematische Erkenntnisse und Modelle, wie zum Beispiel die Gaußsche Glockenkurve zu verdanken. Keine Sorge, dieses Thema heben wir uns für ein andermal auf. Mit dem Gauß-Algorithmus entwickelte Gauß ein Verfahren, das sich sehr gut zum Lösen von linearen Gleichungssysteme eignet. Und dass uns so auch heute noch das Leben im Matheunterricht leichter machen kann. Aber immer der Reihe nach. Wir wollen ein lineares Gleichungssystem lösen. Das kann zum Beispiel so aussehen. Wir haben insgesamt drei Gleichungen, und drei Unbekannte. Mit dem Gauß-Algorithmus können wir die Lösungsmenge des Gleichungssystems mit möglichst wenig Rechenaufwand bestimmen. Dafür schreiben wir das Gleichungssystem zunächst in eine Matrix um. Genauer gesagt: In eine „erweiterte Koeffizienten Matrix“. Diese heißt so, weil wir in ihr nur die Koeffizienten des Gleichungssystems notieren. Also die Zahlen, die jeweils vor den Variablen stehen. In die erste Spalte tragen wir die Koeffizienten der x-Variable, in die zweite Spalte die der y-Variable, und in die dritte Spalte die Koeffizienten der z-Variable ein. Dabei müssen wir darauf achten, auch die Vorzeichen zu übernehmen. Die rechte Gleichungsseite schreiben wir hinter einem senkrechten Strich. Es ist hilfreich, die Zeilen der Matrix mit römisch eins bis drei zu beschriften, um später nicht den Überblick zu verlieren. Die Darstellung als Matrix spart uns einiges an Schreibarbeit. Jetzt wollen wir diese Matrix nämlich in die „Zeilenstufenform“ bringen. Das heißt, wir wollen an diesen drei Stellen Nullen erzeugen. Dann sieht die Anordnung der Nullen wie die Stufen einer Treppe aus! Haben wir die Matrix mit Hilfe des Gauß-Algorithmus in Zeilenstufenform gebracht, können wir die Lösung unseres Gleichungssystems anschließend ganz einfach bestimmen. Doch zunächst müssen wir die Matrix entsprechend umformen. Dafür können wir drei elementare Zeilenumformungen anwenden: Erstens dürfen wir jede Zeile unserer Matrix mit einer beliebigen Zahl multiplizieren oder dividieren. Allerdings immer die gesamte Zeile! Zweitens können wir zwei Zeilen miteinander addieren oder subtrahieren. Auch hier gilt, dass wir jeweils die gesamte Zeile in die Rechnung einbeziehen müssen. Und drittens dürfen wir die Reihenfolge der Zeilen beliebig vertauschen. Auch das kann manchmal sehr nützlich sein. Nicht immer müssen alle drei möglichen Zeilenumformungen angewandt werden. Zusammen bilden sie aber den nötigen Werkzeugkasten, den wir brauchen, um eine Matrix in Zeilenstufenform zu bringen. Wir knöpfen uns zuerst die zweite Zeile vor. An dieser Stelle wollen wir eine Null erzeugen. Siehst du schon, wie wir das möglichst einfach mit den elementaren Zeilenumformungen erreichen können? Wir können die erste Zeile mit zwei multiplizieren, und anschließend von der zweiten Zeile abziehen. Auch hier auf die Vorzeichen achten, sonst schleicht sich schnell mal ein Fehler ein! Die umgeformte Zeile nennen wir „zwei a“, und übernehmen sie in unsere Matrix. Jetzt brauchen wir noch zwei Nullen in der dritten Zeile. Zunächst die vordere Stelle. Um hier eine Null zu erhalten, multiplizieren wir die dritte Zeile mit zwei, und die erste Zeile mit drei. Dann subtrahieren wir das Dreifache der ersten von dem Doppelten der dritten Zeile. Und haben so eine weitere Null erzeugt. Die umgeformte Zeile „drei a“ können wir wieder in unsere Matrix übernehmen. Eine Null fehlt noch! Du siehst vielleicht bereits, wie wir sie erhalten. Genau! Wir müssen einfach die Zeile „drei a“ mit der Zeile „zwei a“ addieren. Die umgeformte Zeile übernehmen wir als „drei b“ in unsere Matrix, und siehe da, wir haben die Zeilenstufenform erreicht! Jetzt können wir die Lösung unseres Gleichungssystems ganz leicht bestimmen. Und zwar, indem wir die Gleichungen schrittweise nach z, y und x auflösen. Dazu schauen wir zuerst auf die dritte Zeile. Dort steht nämlich, dass minus drei z gleich minus fünfzehn ist. Wir müssen nur noch durch minus drei teilen, und haben unser z gefunden: fünf! In der zweiten Zeile können wir die fünf jetzt für z einsetzen, anschließend umformen, und haben dann auch y berechnet. Nun können wir die Werte für z und y jeweils in die erste Zeile einsetzen, und so x berechnen. x ist in unserem Fall gleich minus zwei. Jetzt haben wir x, y und z bestimmt und unser Gleichungssystem somit gelöst. Die Lösungsmenge können wir noch als geordnetes Tripel aufschreiben. Alles klar, war ja halb so wild! Wir fassen nochmal kurz und knapp zusammen. Mit Hilfe des Gauß-Algorithmus können wir lineare Gleichungssysteme lösen. Zuerst können wir unser Gleichungssystem mit Hilfe der Matrixschreibweise darstellen. Diese bringen wir dann in Zeilenstufenform, indem wir Nullen erzeugen, die eine Treppenform bilden. Dazu wenden wir die elementaren Zeilenumformungen an. Haben wir die Matrix so in Zeilenstufenform gebracht, können wir die Lösung unseres Gleichungssystems ermitteln, indem wir die verbliebenen Gleichungen von unten nach oben Schritt für Schritt lösen. Und schon haben wir die Lösungsmenge unseres Gleichungssystems. Mit diesem Algorithmus haben wir die Matrix also voll im Griff! Dank Gauß dem alten Fuchs!

Gauß-Algorithmus – Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gauß-Algorithmus – Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Anwendung des Gauß-Algorithmus auf lineare Gleichungssysteme.

    Tipps

    Aus dem linearen Gleichungssystem

    $\begin{array}{rrrrrcr} 3x & + & 4y & - & z & = & 5 \\ x & + & 2y & + & 6z & = & 1 \\ -3x & - & y & + & 3z & = & 4 \\ \end{array}$

    können wir die folgende Matrix bilden:

    $\left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & 1 & 5\\ 1 & 2 & 6 & 1\\ -3 & -1 & 3 & 4\\ \end{array} \right)$

    Erst wenn wir alle Gleichungen gelöst haben, können wir die Lösungsmenge angeben.

    Lösung

    Mit dem Gauß-Algorithmus können wir lineare Gleichungssysteme lösen. Dazu schreiben wir zuerst das lineare Gleichungssystem als Matrix. Wir notieren jeweils nur die Koeffizienten, also die Zahlen, die vor den Variablen stehen. Negative Vorzeichen werden ebenfalls übernommen. Die rechte Gleichungsseite schreiben wir hinter einem senkrechten Strich. Wir nennen diese Matrix auch erweiterte Koeffizientenmatrix.

    Um das Gleichungssystem zu lösen, können wir die folgenden elementaren Zeilenumformungen anwenden:

    • Eine Zeile der Matrix mit einer beliebigen Zahl multiplizieren oder dividieren.
    • Zwei Zeilen miteinander addieren oder subtrahieren.
    • Zeilen miteinander vertauschen.
    Das Ziel ist es dabei die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen.

    Ist die Matrix in Zeilenstufenform, so können wir die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmen, indem wir die Gleichungen schrittweise nach den Variablen auflösen.

    Zuletzt können wir die Lösungsmenge angeben.

  • Wende elementare Zeilenumformungen an, um die Matrix auf Stufenform zu bringen.

    Tipps

    Eine Matrix in Stufenform sieht z.B. so aus:

    $\left( \begin{array}{rrr|r} 3 &4& 1 & 5 \\ \bf{0} &2& 6 & 1 \\ \bf{0} &\bf{0}& 3 & 4 \\ \end{array} \right)$

    Um das Gleichungssystem zu lösen, können wir die folgenden elementaren Zeilenumformungen anwenden:

    • Eine Zeile der Matrix mit einer beliebigen Zahl multiplizieren oder dividieren.
    • Zwei Zeilen miteinander addieren oder subtrahieren.
    • Zeilen miteinander vertauschen.
    Lösung

    Um die Matrix auf Stufenform zu bringen, können wir elementaren Zeilenumformungen anwenden. Diese sind:

    • Eine Zeile der Matrix mit einer beliebigen Zahl multiplizieren oder dividieren.
    • Zwei Zeilen miteinander addieren oder subtrahieren.
    • Zeilen miteinander vertauschen.
    Wir betrachten die gegebene Matrix:

    $\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 5 & -4 & -5 \\ 0 & -5& 1 & -10 \\ \end{array} \right)$

    Um die fehlende Null in der dritten Zeile zu erzeugen, addieren wir die zweite Zeile zur dritten Zeile:

    $\begin{array}{rrrr|r} & 0 & -5& 1 & -10 \\ + & 0 & 5 & -4 & -5 \\ \hline & 0 & 0 & -3 & -15 \end{array}$

    Wir setzen das Ergebnis in die dritte Zeile ein und erhalten die Matrix in Zeilenstufenform:

    $\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 5 & -4 & -5 \\ 0 & 0& -3 & -15 \\ \end{array} \right)$

  • Beschreibe die elementaren Zeilenumformungen, die bei der Umwandlung der Matrix nach einander angewandt wurden.

    Tipps

    Um das Gleichungssystem zu lösen, können wir elementare Zeilenumformungen anwenden. Diese sind:

    • Eine Zeile der Matrix mit einer beliebigen Zahl multiplizieren oder dividieren.
    • Zwei Zeilen miteinander addieren oder subtrahieren.
    • Zeilen miteinander vertauschen.
    Das Ziel ist es dabei die Matrix auf Stufenform zu bringen.

    Überlege dir, wie die Nullen im unteren linken Teil der Matrix erzeugt wurden.

    Lösung

    Um die Matrix auf Stufenform zu bringen, können wir elementare Zeilenumformungen anwenden. Diese sind:

    • Eine Zeile der Matrix mit einer beliebigen Zahl multiplizieren oder dividieren.
    • Zwei Zeilen miteinander addieren oder subtrahieren.
    • Zeilen miteinander vertauschen.
    Wir betrachten die gegebene Matrix:

    $\left( \begin{array}{rrr|r} 0 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 & 11 \\ 1 & 4& 2 & 1 \\ \end{array} \right)$

    Zuerst vertauschen wir die Zeile $\text{I}$ und die Zeile $\text{II}$ und erhalten somit eine Null an der gewünschten Stelle in der zweiten Zeile:

    $\left( \begin{array}{rrr|r} 3 & -2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 4& 2 & 1 \\ \end{array} \right)$

    Wir addieren nun die erste Zeile zum negativen Dreifachen der dritten Zeile:: $- 3 \cdot \text{III} +\text{I} $

    $\begin{array}{rrrr|c} & -3 & -12& -6 & -3 \\ +& (3 & -2 & 1 & 11) \\ \hline & 0 & -14 & -5 & 8 \end{array}$

    Wir setzen das Ergebnis in die dritte Zeile ein und erhalten:

    $\left( \begin{array}{rrr|r} 3 & -2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -14& -5 & 8 \\ \end{array} \right)$

    Wir addieren das Vierzehnfache der zweiten Zeile zur dritten Zeile: $\text{III} + 14 \cdot \text{II}$

    $\begin{array}{rrrr|c} & 0 & -14& -5 & 8 \\ +& (0 & 14 & 14 & 28) \\ \hline & 0 & 0 & 9 & 36 \end{array}$

    Wenn wir dieses Ergebnis in die dritte Zeile der Matrix einsetzen, hat die Matrix Stufenform:

    $\left( \begin{array}{rrr|r} 3 & -2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0& 9 & 36 \\ \end{array} \right)$

  • Ermittle jeweils aus der Matrix in Stufenform die Lösung des linearen Gleichungssystems.

    Tipps

    Beginne mit der letzten Zeile. Formuliere diese als Gleichung.

    Wenn du bereits einen Wert für $z$ oder auch für $y$ ermittelt hast, kannst du diesen in die folgenden Gleichungen einsetzen.

    Lösung

    Ist die Matrix in Zeilenstufenform gegeben, so können wir die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmen, indem wir die Gleichungen schrittweise nach $z$, $y$ und $x$ auflösen. Wir arbeiten uns dabei von der untersten bis zur obersten Zeile vor.

    Beispiel 1:

    $\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 2 & 9 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0& 2 & 4 \\ \end{array} \right)$

    • $2z=4 \Leftrightarrow z=2$
    • $y-z=1 \Leftrightarrow y-2=1 \Leftrightarrow y=3$
    • $x+2y+2z=9 \Leftrightarrow x+4+6=9 \Leftrightarrow x=-1$
    Beispiel 2:

    $\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 9 \\ 0 & 2 & 1 & 8 \\ 0 & 0& 3 & 6 \\ \end{array} \right)$

    • $3z=6 \Leftrightarrow z=2$
    • $2y+z=8 \Leftrightarrow 2y+2=8 \Leftrightarrow y=3$
    • $x+y+z=9 \Leftrightarrow x+3+2=9 \Leftrightarrow x=4$
    Beispiel 3:

    $\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & -1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & 5 \\ 0 & 0& 1 & 2 \\ \end{array} \right)$

    • $1z=2 \Leftrightarrow z=2$
    • $y+4z=5 \Leftrightarrow y+8=5 \Leftrightarrow y=-3$
    • $2x-y-z=3 \Leftrightarrow 2x+3-2=3\Leftrightarrow x=1$
    Beispiel 4:

    $\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & -3 & -10 \\ 0 & 3 & -1 & -1 \\ 0 & 0& 4 & 16 \\ \end{array} \right)$

    • $4z=16 \Leftrightarrow z=4$
    • $3y-z=-1 \Leftrightarrow 3y-4=-1 \Leftrightarrow y=1$
    • $x+y-3z=-10 \Leftrightarrow x+1-12=-10 \Leftrightarrow x=1$

  • Gib die Gleichungen an, aus welchen die Matrix entstanden ist.

    Tipps

    Wir können ein lineares Gleichungssystem als Matrix schreiben. Dazu notieren wir jeweils nur die Koeffizienten. Die rechte Gleichungsseite schreiben wir hinter einem senkrechten Strich. Wir nennen diese Matrix auch erweiterte Koeffizientenmatrix.

    Koeffizienten sind die Zahlen, die vor den Variablen stehen.

    Lösung

    Mit dem Gauß-Algorithmus können wir lineare Gleichungssysteme lösen. Dazu schreiben wir das lineare Gleichungssystem als Matrix. Wir notieren dafür jeweils nur die Koeffizienten, also die Zahlen, die vor den Variablen stehen. Die rechte Gleichungsseite schreiben wir hinter einem senkrechten Strich. Wir nennen diese Matrix auch erweiterte Koeffizientenmatrix.

    Andersherum können wir aus einer Matrix ein Gleichungssystem bilden, indem wir jeweils an die ersten drei Zahlen die Variablen $x$, $y$ und $z$ anhängen. Anstatt dem senkrechten Strich schreiben wir jeweils das Gleichheitszeichen.

    So entsteht das der gegebenen Matrix

    $ \left( \begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & 1 & 4 \\ 4 & 7 & -2 & 3 \\ 3 & -1& 2 & 1 \\ \end{array} \right)$

    das folgende Gleichungssystem:

    $\begin{array}{rrr} 2x+y+z&= & 4 \\ 4x+ 7y -2z&= & 3 \\ 3x-y+2z & = & 1 \\ \end{array}$

  • Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus.

    Tipps

    Stelle zunächst die Koeffizientenmatrix auf.
    Um die Einträge direkt ablesen zu können musst du die Gleichungen in die Form $ax + by + cz = d$ bringen.

    Bringe die Matrix auf Zeilenstufenform. Dazu kannst du Zeilen mit einer Zahl multiplizieren oder auch zwei Zeilen addieren oder subtrahieren.

    Wenn du die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht hast, kannst du die Lösungen für $z$, $y$ und $x$ bestimmen, indem du die Zeilen von unten beginnend wieder als Gleichungen schreibst.

    Lösung

    Wir erstellen zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix, indem wir nur die Koeffizienten des Gleichungssystems notieren. Dazu müssen wir die Gleichungen zunächst umstellen und ordnen:

    $\begin{array}{rrcl} \text{I.} & 2x + 4z &=& 12+y \\ \text{II.} & 1,5y &=& 11 - 3x - 5z\\ \text{III.} & 2x &=& y + 17 - 9z \\ \end{array}$

    $\text{I.}: \begin{array}{rcll} 2x + 4z &=& 12+y & \vert -y \\ 2x - y + 4z &=& 12 \end{array}$

    $\text{II.}: \begin{array}{rcll} 1,5y &=& 11 - 3x - 5z & \vert +3x \\ 3x + 1,5y &=& 11 -5z & \vert + 5z \\ 3x + 1,5 y + 5z &=& 11 \end{array}$

    $\text{III.}: \begin{array}{rcll} 2x &=& y + 17 - 9z & \vert -y \\ 2x - y &=& 17 -9z & \vert + 9z \\ 2x - y + 9z &=& 17 \end{array}$

    Aus dem geordneten Gleichungssystem:

    $\begin{array}{rrrrr} \text{I.} & 2x &- & y& +&4z&=&12 \\ \text{II.} & 3x & +&1,5y&+ & 5z&=& 11 \\ \text{III.} & 2x & -&y& +&9z&= & 17 \\ \end{array}$

    ...übertragen wir die Koeffizienten in eine Matrix:

    $\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & -1 & 4 & 12 \\ 3 & 1,5 & 5 & 11 \\ 2 & -1& 9 & 17 \\ \end{array} \right)$

    Um die Matrix auf Stufenform zu bringen, können wir elementare Zeilenumformungen anwenden. Diese sind:

    • Eine Zeile der Matrix mit einer beliebigen Zahl multiplizieren oder dividieren.
    • Zwei Zeilen miteinander addieren oder subtrahieren.
    • Zeilen miteinander vertauschen.
    Wir betrachten die gegebene Matrix:

    $\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & -1 & 4 & 12 \\ 3 & 1,5 & 5 & 11 \\ 2 & -1& 9 & 17 \\ \end{array} \right)$

    Zuerst multiplizieren wir die erste Zeile mit $3$ und die zweite Zeile mit $2$. Wir ziehen dann das Dreifache der ersten Zeile vom Doppelten der zweiten Zeile ab:

    $\begin{array}{rrrr|l} & 6 & 3 & 10 & 22 \\ -& (6 & -3& 12 & 36) \\ \hline & 0 & 6 & -2 & -14 \end{array} $

    Wir setzen das Ergebnis in die zweite Zeile der Matrix ein und erhalten:

    $\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & -1 & 4 & 12 \\ 0 & 6 & -2 & -14 \\ 2 & -1& 9 & 17 \\ \end{array} \right)$

    Wir subtrahieren nun die erste Zeile von der dritten Zeile:

    $\begin{array}{rrrr|l} & 2 & -1& 9 & 17 \\ -& (2 & -1 & 4 & 12) \\ \hline & 0 & 0 & 5 & 5 \end{array}$

    Wenn wir dieses Ergebnis in die dritte Zeile der Matrix einsetzen, hat die Matrix Stufenform:

    $\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & -1 & 4 & 12 \\ 0 & 6 & -2 & -14 \\ 0 & 0& -5 & -5 \\ \end{array} \right)$

    Wir können nun die Lösung bestimmen, indem wir die Zeilen von unten nach oben als Gleichung schreiben und lösen:

    Aus der dritten Zeile erhalten wir die Gleichung:

    $-5z=-5 \Leftrightarrow z=1$

    Auch aus der zweiten Zeile formulieren wir eine Gleichung und setzen hier das Ergebnis von $z$ ein:

    $6y-2z=-14 \Leftrightarrow 6y-2=-14 \Leftrightarrow y=-2$

    Zuletzt schreiben wir die erste Zeile als Gleichung, setzen die Werte für $y$ und $z$ ein und lösen nach $x$ auf:

    $2x-y+4z=12 \Leftrightarrow 2x -(-2)+4=12 \Leftrightarrow 2x=6 \Leftrightarrow x=3$

    Wir können nun die Lösungsmenge schreiben:

    $\mathbb{L} = \lbrace (3 \vert -2 \vert 1)\rbrace$

    Hinweis: Die Matrix kann auch durch andere Zeilenumformungen auf eine Stufenform gebracht werden. Die Lösung des Gleichungssystems ist aber gleich.

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