Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Extremstellen

Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Extremstellen Übung

• Beschreibe die notwendige und hinreichende Bedingung zur Überprüfung der Extremstellen.

  Tipps

  Beachte, dass in jedem Extremum eine waagerechte Tangente vorliegt.

  Die Ableitung ist die Steigung einer Tangente.

  Es gibt auch Stellen mit waagerechter Tangente, die keine Extremstellen sind.

  Der entsprechend zugehörige Punkt wird dann als Sattelpunkt bezeichnet. Bei der Funktion $f(x)=x^3$ befindet sich im Koordinatenursprung $(0|0)$ ein Sattelpunkt.

  Nur wenn du einen Hund vor dir hast (notwendige Bedingung), kann es sich um einen Beagle halten. Es muss allerdings kein Beagle sein (hinreichende Bedingung), es könnte auch ein Mops sein.

  Lösung

  Die notwendige Bedingung für Extremstellen lautet: Nur dort, wo $f'(x)=0$ ist, kann sich eine Extremstelle befinden.

  Die hinreichende Bedingung lautet: Gilt für eine bestimmte Stelle $x$

  1. $f'(x)=0$ und
  2. $f'(x)\neq0$,

  so ist diese Stelle eine Extremstelle.

• Bestimme die Extrempunkte der Funktion.

  Tipps

  Du kannst nicht überprüfen, ob eine Stelle wirklich eine Extremstelle ist, wenn du nicht vorher überprüft hast, ob es eine sein könnte.

  Die notwendige Bedingung ist das Lösen einer Gleichung. Erst wenn du dies getan hast, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen.

  Die Extremstellen sind exakt angegeben, die entsprechenden Punkte gerundet auf eine Nachkommastelle.

  Du kannst die Extremstellen auch mit dem Taschenrechner berechnen. Beachte dabei jedoch, dass es zu Rundungsfehlern kommen kann.

  Rechne mit den Taschenrechner-genauen Werten.

  Da die Funktion stetig ist, muss die y-Koordinate des Hochpunktes größer sein als die des Tiefpunktes.

  Lösung

  Zunächst muss zur Bestimmung der Extremstellen die Gleichung $f'(x)=0$ gelöst werden. An allen Stellen, die diese Gleichung lösen, liegt eine waagerechte Tangente vor. Ohne waagerechte Tangente kann es kein Extremum geben. Dies ist die notwendige Bedingung:

  $f'(x)=0~\Leftrightarrow~12x^2-200x+600=0$.

  Um die pq-Formel anwenden zu können, muss zunächst durch $12$ dividiert werden; dies führt zu $x^2-\frac{50}3+50=0$. Wir verwenden dann die pq-Formel:

  $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{-\frac{50}3}2\pm\sqrt{\left(\frac {-\frac{50}3}2\right)^2-50}\\ &=&\frac{25}3\pm\sqrt{\frac{625}9-\frac{450}9}\\ &=&\frac{25}3\pm\frac{5\sqrt 7}3\\ x_1&=&\frac{25+5\sqrt 7}{3}\approx 12,7\\ x_2&=&\frac{25-5\sqrt 7}{3}\approx 3,9 \end{array}$

  Nun muss für jede dieser Lösungen geprüft werden, ob tatsächlich ein Extremum vorliegt, also die hinreichende Bedingung:

  • $f''\left(24\cdot \frac{25+5\sqrt 7}{3}\right)\approx 105,8>0$. Hier liegt ein Tiefpunkt vor, dessen y-Koordinate man durch Einsetzen von $x= \frac{25+5\sqrt 7}{3}$ in die Funktionsgleichung erhält: $y\approx -315,6$, also $TP(12,7|-315,6)$.
  • $f''\left(24\cdot \frac{25-5\sqrt 7}{3}\right)\approx -105,8<0$, also liegt hier ein Hochpunkt vor. Die y-Koordinate dieses Punktes erhält man durch Einsetzen von $x=\frac{25-5\sqrt 7}{3}$ in die Funktionsgleichung $y\approx 1056,3$, also $HP(3,9|1056,3)$.

• Leite die Funktion zweimal ab.

  Tipps

  Verwende die folgenden Ableitungsregeln:

  • Summenregel $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$,
  • Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ sowie
  • Faktorregel $(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)$.

  Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung.

  Wenn du die zweite Ableitung nochmal ableitest, erhältst du $f'''(x)=6$.

  Die dritte Ableitung einer kubischen Funktion ist immer eine Konstante.

  Lösung

  Die notwendige Bedingung für Extremstellen besagt, dass die erste Ableitung an diesen Stellen $0$ sein muss. Die hinreichende Bedingung besagt, dass zusätzlich die zweite Ableitung an dieser Stelle ungleich $0$ sein soll. Das bedeutet, dass man die ersten beiden Ableitungen der Funktion benötigt.

  Um diese zu bestimmen, verwendet man die folgenden Regeln:

  • Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$,
  • Faktorregel $(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)$ sowie
  • Summenregel $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$.

  Machen wir uns an die Ableitung:

  $\begin{array}{rclll} f'(x)&=&~(x^3)'-(3x^2)'+(4)'&|&\text{Summenregel}\\ &=&~3x^2-6x&|&\text{Faktorregel und Potenzregel} \end{array}$

  Nun kann die zweite Ableitung als Ableitung der ersten Ableitung ebenso bestimmt werden:

  $f''(x)=6x-6$.

• Ermittle die Extrempunkte der Funktion.

  Tipps

  Zur Lösung der Gleichung $f'(x)=0$ kannst du $3x$ ausklammern.

  Du kannst die Nullstellen dann „ablesen“.

  Es gibt noch einen Tiefpunkt, dieser ist $TP(2|0)$.

  Um die y-Koordinate eines Punktes bei bekannter x-Koordinate zu erhalten, muss die x-Koordinate in der Funktionsgleichung eingesetzt werden.

  Zum Beispiel ist $f(2)=2^3-3\cdot 2^2+4=0$.

  Lösung

  Der Ablauf bei der Bestimmung von Extrempunkten ist immer gleich:

  1. Es wird die Gleichung $f'(x)=0$ gelöst.
  2. Die Lösungen dieser Gleichung werden in der zweiten Ableitung eingesetzt.
  3. Ist diese ungleich $0$, liegen Extrema vor.
  4. Das Vorzeichen der zweiten Ableitung zeigt an, welches Extremum vorliegt: Positive (negative) zweite Ableitung bedeutet Tiefpunkt (Hochpunkt).
  5. Es muss noch durch Einsetzen des entsprechenden x-Wertes in der Funktionsgleichung die y-Koordinate des jeweiligen Punktes bestimmt werden.

  Man benötigt somit die ersten beiden Ableitungen der Funktion:

  • $f(x) = x^3-3x^2+4$
  • $f'(x) = 3x^2-6x$
  • $f''(x) = 6x-6$

  Zunächst wird die Gleichung $f'(x)=0$ gelöst. Ausklammern von $3x$ führt zu $3x(x-2) =0$. Die gesuchten Lösungen sind somit $x_1=0$ sowie $x_2=2$.

  Nun wird jeweils die zweite Ableitung an jeder dieser Stellen überprüft:

  • $f''(0)=-6\neq 0$, das bedeutet, dass ein Extremum vorliegt.
  • $f''(2)=12-6=6\neq 0$. Also liegt auch hier ein Extremum vor.

  Da nun jeweils die zweite Ableitung an der jeweiligen Stelle bereits bestimmt ist, kann anhand des Vorzeichens entschieden werden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt:

  • $f''(0)=-6<0$. Hier liegt also ein Hochpunkt vor. Die y-Koordinate des Hochpunktes ist $f(0)=4$, also $HP(0|4)$.
  • $f''(2)=6>0$. Dies heißt, dass ein Tiefpunkt vorliegt. Die y-Koordinate des Tiefpunktes ist $f(2)=2^3-3\cdot 2^2+4=0$, also $TP(2|0)$.

  Der zugehörige Funktionsgraph ist hier zu sehen.

• Gib den Unterschied zwischen Extremstellen und Extrempunkten an.

  Tipps

  Jeder Punkt im Koordinatensystem hat eine x-Koordinate sowie eine y-Koordinate. Diese werden - wie hier abgebildet für den Punkt $P$ - notiert.

  Die Funktion $f(x)=x-2$ hat eine Nullstelle bei $x=2$. Wir können dann auch sagen, dass ein Nullpunkt gegeben ist durch $(2|0)$.

  Die Extremstelle erhält man durch Auflösen einer Gleichung nach $x$.

  Die y-Koordinate des Extrempunktes erhält man durch Einsetzen der Extremstelle in der Funktionsgleichung.

  Lösung

  Wenn in der Mathematik von einer Stelle gesprochen wird, ist damit üblicherweise ein $x$ gemeint:

  • Eine Nullstelle ist eine Stelle $x$, an welcher ein Funktionsgraph die x-Achse schneidet.
  • Eine Extremstelle ist eine Stelle $x$, an welcher ein Extremum vorliegt.

  Im Gegensatz dazu ist ein Extrempunkt ein Punkt im Koordinatensystem: Es ist also die x- sowie die y-Koordinate anzugeben.

  Die Stelle, an welcher ein Funktionsgraph die y-Achse schneidet, wird übrigens als y-Achsenabschnitt bezeichnet.

  In Abituraufgaben kann die Frage nach Extrema auch wie folgt gestellt werden: „Untersuchen Sie die Funktion auf Extrema und geben Sie deren Art und Lage an.“

  Die Art wäre „Tiefpunkt“ oder „Hochpunkt“ und die Lage die genaue Lage im Koordinatensystem, also die x- und y-Koordinate. Man schreibt dies folgendermaßen:

  • $HP(x_E|f(x_E))$ oder
  • $TP(x_E|f(x_E))$

• Untersuche die Funktion $f(x)=x^5-15x^3$ auf Extrema.

  Tipps

  Die Funktion $f(x)$ ist punktsymmetrisch, da alle Exponenten ungerade sind.

  Bei einer punktsymmetrischen Funktion gilt für alle $x$ die abgebildete Gleichheit. Der Betrag eines Funktionswertes ist für $x$ und $-x$ identisch.

  Hat eine punktsymmetrische Funktion einen Hochpunkt $HP(3|7)$, so hat sie auch einen Tiefpunkt $TP(-3|-7)$.

  Zum einen wechselt die Art des Extrempunktes und zum anderen kehrt sich in beiden Koordinaten das Vorzeichen um.

  Beachte: Wenn die zweite Ableitung an einer Stelle, die $f'(x)=0$ erfüllt, ebenfalls $0$ ist, so ist die hinreichende Bedingung nicht erfüllt.

  Lösung

  Für die Überprüfung auf Extrema benötigt man die ersten beiden Ableitungen:

  • $f'(x)=5x^4-45x^2$
  • $f''(x)=20x^3-90x$

  Notwendige Bedingung: Zunächst wird für die Gleichung $f'(x)=0$ der Term $5x^2$ ausgeklammert und man erhält $5(x^2-9)x^2=0$. Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird, also ist

  • entweder $x^2-9=0$
  • oder $x^2=0$, dies ist äquivalent zu $x=0$.

  Die obere Gleichung führt zu $x=\pm\sqrt{9}=\pm3$.

  Die Extremstellen lauten also $x_1=-3$; $x_2=0$ sowie $x_3=3$.

  Hinreichende Bedingung: Jede der Lösungen wird in die zweite Ableitung eingesetzt.

  • $f''(x_2)=f''(0)=0$. Diese Bedingung ist nicht erfüllt. Hier könnte tatsächlich trotzdem noch ein Extrempunkt vorliegen. Da jedoch $f'''(x)=60x^2-90$ an dieser Stelle ungleich $0$ ist, liegt ein Wendepunkt vor. Dieser hat die Besonderheit, dass eine waagerechte Tangente, das bedeutet $f'(0)=0$, vorliegt. Man nennt einen solchen Wendepunkt auch Sattelpunkt.
  • $f''(x_3)=f''(3)=270>0$. Hier liegt ein Tiefpunkt vor: $TP(3|-162)$. Die y-Koordinate des Tiefpunktes erhält man durch Einsetzen von $x_3=3$ in die Funktionsgleichung.
  • Da die Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist (alle Exponenten sind ungerade), muss es auch noch einen Hochpunkt geben. Dieser ist $HP(-3|162)$. Die Vorzeichen der Koordinaten kehren sich jeweils um.