Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Extremstellen 06:26 min
Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Extremstellen
Hallo. Wir sind bei Punkt vier unserer Funktionsuntersuchung und das bedeutet, wir bestimmen die Extremstellen. Und bevor es richtig losgeht, klären wir zwei Begriffe. Eine Extremstelle ist die x-Koordinate eines Extrempunktes. Wenn nach einem Extrempunkt gefragt ist, sind die x- und die y-Koordinaten nötig. Da oft nach Extrempunkt gefragt ist, bestimmen wir jetzt auch beide Koordinaten, obwohl da nur Extremstelle steht. Worum wir uns jetzt kümmern, ist der Ablauf einer Extremstellenbestimmung. Die einzelnen Schritte, also ableiten, Gleichungen lösen, Funktionswerte einsetzen, brauchen wir nicht zu machen. Das kannst du bereits. Wir bilden die erste Ableitung, dann bilden wir die zweite Ableitung, dann setzen wir die erste Ableitung gleich null. Denn die notwendige Bedingung besagt, dass sich nur an Nullstellen der ersten Ableitung Extrema befinden können. Das ist eine Gleichung, die hat eine oder mehrere Lösungen. Und diese setzen wir dann in die zweite Ableitung ein, weil die hinreichende Bedingung besagt, dass, wenn die erste Ableitung null ist und die zweite Ableitung an dieser Stelle ungleich null ist, dass sich dann dort ein Extremum befindet. Sollte die zweite Ableitung nicht ungleich null sein, ist das schade. Also, so schlimm ist es auch nicht. Wenn das in einer Klausuraufgabe vorkommt, dann steht da auch, wie man jetzt weiter verfahren soll. Sollte die zweite Ableitung ungleich null sein, gucken wir uns an, ob die zweite Ableitung größer oder kleiner als null ist. Sollte sie kleiner als null sein an dieser Stelle, rechnen wir an dieser Stelle den Funktionswert aus und haben dann einen Hochpunkt mit diesen Koordinaten. Sollte die zweite Ableitung größer als null sein an dieser Stelle, rechnen wir auch den Funktionswert aus und wir haben dann einen Tiefpunkt. So, dann geht es los mit den ersten beiden Ableitungen. Diese sind 12x2-200x+600 und die zweite Ableitung ist 24x-200. Wir setzen jetzt die erste Ableitung gleich null, weil uns nämlich die notwendige Bedingung folgendes sagt: Die notwendige Bedingung lautet: Nur dort wo f´(x)=0 ist, kann sich eine Extremstelle befinden. Wir setzen also die erste Ableitung gleich null. Das heißt, wir haben 12x2-200x+600=0. Das ist eine quadratische Gleichung und die hat die Lösungen x1 und x2, die da sind 25+-5×√7/3. Diese Nullstellen der ersten Ableitung setzen wir jetzt in die zweite Ableitung ein, denn die hinreichende Bedingung besagt: Gilt für eine bestimmte Stelle x erstens: f´(x)=0 und zweitens: f´´(x)≠0, so ist diese Stelle eine Extremstelle. Wir erhalten also zunächst 24×(25+5×√7)/3-200. Und hier ist es wichtig, dass du genau diesen Wert in die zweite Ableitung einsetzt und keinen gerundeten Wert, denn wir wollen wissen, ob genau an dieser Stelle die zweite Ableitung größer oder kleiner als null ist. Wir können das jetzt in den Taschenrechner eingeben, dauert aber zu lange. Wir können es auch abschätzen. 25 ist ungefähr 24/3=8. √7 ist ungefähr drei mit drei gekürzt bleibt die fünf übrig. Hier steht also 13×24 ist auf jeden Fall größer als 200. Deshalb ist die zweite Ableitung an dieser Stelle größer als null. Und damit haben wir an dieser Stelle einen Tiefpunkt. Und jetzt kommen die gerundeten Werte ins Spiel. Der Tiefpunkt ist nämlich bei ungefähr 12,7429 und der Funktionswert an dieser Stelle ist ungefähr -315,5652. Ob man da jetzt auf vier Stellen rundet oder nicht, weiß ich nicht. Kommt auf den Sachzusammenhang an. Ich runde jetzt hier einfach mal auf vier Stellen. Wir setzen die zweite Lösung in die zweite Ableitung ein und erhalten 24×(25-5×√7)/3-200. Und jetzt können wir uns überlegen, ob das größer oder kleiner als null ist. Ich schätze das mal hier quasi nach oben ab. Und das hier schätze ich nach unten ab. Wir sagen mal, Wurzel sieben ist ungefähr zwei. Also 10, 25-10=15 durch drei ist fünf. 5×24, also das ist ein bisschen zu groß. 5×24 ist auf jeden Fall kleiner als 200. Und deshalb ist diese Ableitung kleiner als null. Das heißt, wir haben an dieser Stelle einen Hochpunkt. Und diese Stelle ist ungefähr 3,9237. Und der Funktionswert an dieser Stelle ist ungefähr 1056,3059. So, wir haben also gesehen, wie wir die Extrempunkte bestimmen können. Wir setzen die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein. Und wenn die dann größer als null ist, haben wir ein Tiefpunkt. Wenn sie kleiner als null ist, haben wir ein Hochpunkt. Das ist schon alles. Viel Spaß damit. Tschüss.
Videobeschreibung
Um Extremstellen zu bestimmen, setzt du die erste Ableitung gleich 0 und bestimmst die Lösungen dieser Gleichung, denn die notwendige Bedingung besagt, dass sich nur an Nullstellen der ersten Ableitung Extremstellen befinden können. Diese Nullstellen setzt du dann in die zweite Ableitung ein, denn die hinreichende Bedingung besagt, dass, wenn die zweite Ableitung an einer Nullstelle der ersten Ableitung ungleich 0 ist, sich dort eine Extremstelle befindet. Nun rechnest du noch den Funktionswert an dieser Stelle aus und hast damit den Extrempunkt gefunden. Sollte die zweite Ableitung an der Nullstelle der ersten Ableitung gleich 0 sein, hast du keine Aussage darüber, ob sich dort eine Extremstelle befindet.
Der Tutor:
Mathematik / mathematische Logik
Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Extremstellen
Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Extremstellen Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Extremstellen kannst du es wiederholen und üben.
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Beschreibe die notwendige und hinreichende Bedingung zur Überprüfung der Extremstellen.
Tipps
Beachte, dass in jedem Extremum eine waagerechte Tangente vorliegt.
Die Ableitung ist die Steigung einer Tangente.
Es gibt auch Stellen mit waagerechter Tangente, die keine Extremstellen sind.
Der entsprechend zugehörige Punkt wird dann als Sattelpunkt bezeichnet. Bei der Funktion $f(x)=x^3$ befindet sich im Koordinatenursprung $(0|0)$ ein Sattelpunkt.
Nur wenn du einen Hund vor dir hast (notwendige Bedingung), kann es sich um einen Beagle halten. Es muss allerdings kein Beagle sein (hinreichende Bedingung), es könnte auch ein Mops sein.
Lösung
Die notwendige Bedingung für Extremstellen lautet: Nur dort, wo $f'(x)=0$ ist, kann sich eine Extremstelle befinden.
Die hinreichende Bedingung lautet: Gilt für eine bestimmte Stelle $x$
- $f'(x)=0$ und
- $f'(x)\neq0$,
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Bestimme die Extrempunkte der Funktion.
Tipps
Du kannst nicht überprüfen, ob eine Stelle wirklich eine Extremstelle ist, wenn du nicht vorher überprüft hast, ob es eine sein könnte.
Die notwendige Bedingung ist das Lösen einer Gleichung. Erst wenn du dies getan hast, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen.
Die Extremstellen sind exakt angegeben, die entsprechenden Punkte gerundet auf eine Nachkommastelle.
Du kannst die Extremstellen auch mit dem Taschenrechner berechnen. Beachte dabei jedoch, dass es zu Rundungsfehlern kommen kann.
Rechne mit den Taschenrechner-genauen Werten.
Da die Funktion stetig ist, muss die y-Koordinate des Hochpunktes größer sein als die des Tiefpunktes.
Lösung
Zunächst muss zur Bestimmung der Extremstellen die Gleichung $f'(x)=0$ gelöst werden. An allen Stellen, die diese Gleichung lösen, liegt eine waagerechte Tangente vor. Ohne waagerechte Tangente kann es kein Extremum geben. Dies ist die notwendige Bedingung:
$f'(x)=0~\Leftrightarrow~12x^2-200x+600=0$.
Um die pq-Formel anwenden zu können, muss zunächst durch $12$ dividiert werden; dies führt zu $x^2-\frac{50}3+50=0$. Wir verwenden dann die pq-Formel:
$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{-\frac{50}3}2\pm\sqrt{\left(\frac {-\frac{50}3}2\right)^2-50}\\ &=&\frac{25}3\pm\sqrt{\frac{625}9-\frac{450}9}\\ &=&\frac{25}3\pm\frac{5\sqrt 7}3\\ x_1&=&\frac{25+5\sqrt 7}{3}\approx 12,7\\ x_2&=&\frac{25-5\sqrt 7}{3}\approx 3,9 \end{array}$
Nun muss für jede dieser Lösungen geprüft werden, ob tatsächlich ein Extremum vorliegt, also die hinreichende Bedingung:
- $f''\left(24\cdot \frac{25+5\sqrt 7}{3}\right)\approx 105,8>0$. Hier liegt ein Tiefpunkt vor, dessen y-Koordinate man durch Einsetzen von $x= \frac{25+5\sqrt 7}{3}$ in die Funktionsgleichung erhält: $y\approx -315,6$, also $TP(12,7|-315,6)$.
- $f''\left(24\cdot \frac{25-5\sqrt 7}{3}\right)\approx -105,8<0$, also liegt hier ein Hochpunkt vor. Die y-Koordinate dieses Punktes erhält man durch Einsetzen von $x=\frac{25-5\sqrt 7}{3}$ in die Funktionsgleichung $y\approx 1056,3$, also $HP(3,9|1056,3)$.
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Leite die Funktion zweimal ab.
Tipps
Verwende die folgenden Ableitungsregeln:
- Summenregel $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$,
- Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ sowie
- Faktorregel $(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)$.
Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung.
Wenn du die zweite Ableitung nochmal ableitest, erhältst du $f'''(x)=6$.
Die dritte Ableitung einer kubischen Funktion ist immer eine Konstante.
Lösung
Die notwendige Bedingung für Extremstellen besagt, dass die erste Ableitung an diesen Stellen $0$ sein muss. Die hinreichende Bedingung besagt, dass zusätzlich die zweite Ableitung an dieser Stelle ungleich $0$ sein soll. Das bedeutet, dass man die ersten beiden Ableitungen der Funktion benötigt.
Um diese zu bestimmen, verwendet man die folgenden Regeln:
- Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$,
- Faktorregel $(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)$ sowie
- Summenregel $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$.
$\begin{array}{rclll} f'(x)&=&~(x^3)'-(3x^2)'+(4)'&|&\text{Summenregel}\\ &=&~3x^2-6x&|&\text{Faktorregel und Potenzregel} \end{array}$
Nun kann die zweite Ableitung als Ableitung der ersten Ableitung ebenso bestimmt werden:
$f''(x)=6x-6$.
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Ermittle die Extrempunkte der Funktion.
Tipps
Zur Lösung der Gleichung $f'(x)=0$ kannst du $3x$ ausklammern.
Du kannst die Nullstellen dann „ablesen“.
Es gibt noch einen Tiefpunkt, dieser ist $TP(2|0)$.
Um die y-Koordinate eines Punktes bei bekannter x-Koordinate zu erhalten, muss die x-Koordinate in der Funktionsgleichung eingesetzt werden.
Zum Beispiel ist $f(2)=2^3-3\cdot 2^2+4=0$.
Lösung
Der Ablauf bei der Bestimmung von Extrempunkten ist immer gleich:
- Es wird die Gleichung $f'(x)=0$ gelöst.
- Die Lösungen dieser Gleichung werden in der zweiten Ableitung eingesetzt.
- Ist diese ungleich $0$, liegen Extrema vor.
- Das Vorzeichen der zweiten Ableitung zeigt an, welches Extremum vorliegt: Positive (negative) zweite Ableitung bedeutet Tiefpunkt (Hochpunkt).
- Es muss noch durch Einsetzen des entsprechenden x-Wertes in der Funktionsgleichung die y-Koordinate des jeweiligen Punktes bestimmt werden.
- $f(x) = x^3-3x^2+4$
- $f'(x) = 3x^2-6x$
- $f''(x) = 6x-6$
Nun wird jeweils die zweite Ableitung an jeder dieser Stellen überprüft:
- $f''(0)=-6\neq 0$, das bedeutet, dass ein Extremum vorliegt.
- $f''(2)=12-6=6\neq 0$. Also liegt auch hier ein Extremum vor.
- $f''(0)=-6<0$. Hier liegt also ein Hochpunkt vor. Die y-Koordinate des Hochpunktes ist $f(0)=4$, also $HP(0|4)$.
- $f''(2)=6>0$. Dies heißt, dass ein Tiefpunkt vorliegt. Die y-Koordinate des Tiefpunktes ist $f(2)=2^3-3\cdot 2^2+4=0$, also $TP(2|0)$.
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Gib den Unterschied zwischen Extremstellen und Extrempunkten an.
Tipps
Jeder Punkt im Koordinatensystem hat eine x-Koordinate sowie eine y-Koordinate. Diese werden - wie hier abgebildet für den Punkt $P$ - notiert.
Die Funktion $f(x)=x-2$ hat eine Nullstelle bei $x=2$. Wir können dann auch sagen, dass ein Nullpunkt gegeben ist durch $(2|0)$.
Die Extremstelle erhält man durch Auflösen einer Gleichung nach $x$.
Die y-Koordinate des Extrempunktes erhält man durch Einsetzen der Extremstelle in der Funktionsgleichung.
Lösung
Wenn in der Mathematik von einer Stelle gesprochen wird, ist damit üblicherweise ein $x$ gemeint:
- Eine Nullstelle ist eine Stelle $x$, an welcher ein Funktionsgraph die x-Achse schneidet.
- Eine Extremstelle ist eine Stelle $x$, an welcher ein Extremum vorliegt.
Die Stelle, an welcher ein Funktionsgraph die y-Achse schneidet, wird übrigens als y-Achsenabschnitt bezeichnet.
In Abituraufgaben kann die Frage nach Extrema auch wie folgt gestellt werden: „Untersuchen Sie die Funktion auf Extrema und geben Sie deren Art und Lage an.“
Die Art wäre „Tiefpunkt“ oder „Hochpunkt“ und die Lage die genaue Lage im Koordinatensystem, also die x- und y-Koordinate. Man schreibt dies folgendermaßen:
- $HP(x_E|f(x_E))$ oder
- $TP(x_E|f(x_E))$
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Untersuche die Funktion $f(x)=x^5-15x^3$ auf Extrema.
Tipps
Die Funktion $f(x)$ ist punktsymmetrisch, da alle Exponenten ungerade sind.
Bei einer punktsymmetrischen Funktion gilt für alle $x$ die abgebildete Gleichheit. Der Betrag eines Funktionswertes ist für $x$ und $-x$ identisch.
Hat eine punktsymmetrische Funktion einen Hochpunkt $HP(3|7)$, so hat sie auch einen Tiefpunkt $TP(-3|-7)$.
Zum einen wechselt die Art des Extrempunktes und zum anderen kehrt sich in beiden Koordinaten das Vorzeichen um.
Beachte: Wenn die zweite Ableitung an einer Stelle, die $f'(x)=0$ erfüllt, ebenfalls $0$ ist, so ist die hinreichende Bedingung nicht erfüllt.
Lösung
Für die Überprüfung auf Extrema benötigt man die ersten beiden Ableitungen:
- $f'(x)=5x^4-45x^2$
- $f''(x)=20x^3-90x$
- entweder $x^2-9=0$
- oder $x^2=0$, dies ist äquivalent zu $x=0$.
Die Extremstellen lauten also $x_1=-3$; $x_2=0$ sowie $x_3=3$.
Hinreichende Bedingung: Jede der Lösungen wird in die zweite Ableitung eingesetzt.
- $f''(x_2)=f''(0)=0$. Diese Bedingung ist nicht erfüllt. Hier könnte tatsächlich trotzdem noch ein Extrempunkt vorliegen. Da jedoch $f'''(x)=60x^2-90$ an dieser Stelle ungleich $0$ ist, liegt ein Wendepunkt vor. Dieser hat die Besonderheit, dass eine waagerechte Tangente, das bedeutet $f'(0)=0$, vorliegt. Man nennt einen solchen Wendepunkt auch Sattelpunkt.
- $f''(x_3)=f''(3)=270>0$. Hier liegt ein Tiefpunkt vor: $TP(3|-162)$. Die y-Koordinate des Tiefpunktes erhält man durch Einsetzen von $x_3=3$ in die Funktionsgleichung.
- Da die Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist (alle Exponenten sind ungerade), muss es auch noch einen Hochpunkt geben. Dieser ist $HP(-3|162)$. Die Vorzeichen der Koordinaten kehren sich jeweils um.
