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Quotientenregel – Herleitung und Beispiel

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Martin Wabnik
Quotientenregel – Herleitung und Beispiel
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Beschreibung Quotientenregel – Herleitung und Beispiel

Die Quotientenregel in der Mathematik

In der Mathematik und in den Naturwissenschaften spielt das Ableiten von Funktionen eine wichtige Rolle, denn anhand der Ableitung einer Funktion kann man ihre Steigung und spezielle Punkte ermitteln. Du kennst sicher schon Methoden, mit denen man einfache Funktionen ableiten kann, indem man zum Beispiel die Potenzregel anwendet:

$\bigl( x^{n} \bigr)^\prime = n \cdot x^{n-1}$

Aber wie kann man die Ableitung der folgenden Funktion bestimmen?

$\bigl( \frac{x}{x+1} \bigr)^\prime = ?$

Um diese Funktion abzuleiten, kannst du die Quotientenregel benutzen. Aber ... was ist die Quotientenregel?

Quotientenregel – Definition

Die Quotientenregel ist eine Regel, nach der man Funktionen ableiten kann, deren Funktionsterme Quotienten enthalten. Dabei wird die Berechnung vereinfacht, indem Zähler und Nenner jeweils einzeln abgeleitet werden. Die Definition lautet folgendermaßen:

$\bigl( \frac{u(x)}{v(x)} \bigr)^\prime = \frac{u^\prime(x) v(x) - u(x) v^\prime(x)}{v(x)^{2}}$

Der Zähler $u(x)$ und der Nenner $v(x)$ werden jeweils als Funktion aufgefasst und einzeln abgeleitet. Anschließend müssen die Funktionen und ihre Ableitungen nur eingesetzt werden, um die Ableitung des Quotienten zu erhalten.

Quotientenregel – Beispiele

Beispiel 1
Wir wollen mithilfe der Quotientenregel die Ableitung der Beispielfunktion aus der Einleitung berechnen:

$\bigl( \frac{x}{x+1} \bigr)^\prime = ?$

Um die Regel anwenden zu können, müssen wir zunächst $u(x)$ und $v(x)$ identifizieren und ableiten. Wir beginnen mit dem Zähler:

$u(x) = x \rightarrow u^\prime(x) = 1$

Anschließend berechnen wir die Ableitung für den Nenner:

$v(x) = x+1 \rightarrow v^\prime(x) = 1$

Jetzt setzen wir die Funktionen und ihre Ableitungen gemäß der Quotientenregel ein:

$\bigl( \frac{x}{x+1} \bigr)^\prime = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^{2}} = \frac{1}{(x+1)^{2}}$

Im letzten Schritt haben wir noch die Terme zusammengefasst.

Beispiel 2
Als zweites Beispiel betrachten wir die folgende Funktion:

$\bigl( \frac{3-x}{3+x} \bigr)^\prime = ?$

Wir beginnen wieder, indem wir Zähler und Nenner separat ableiten:

$u(x) = 3-x \rightarrow u^\prime(x) = -1$

$v(x) = 3+x \rightarrow v^\prime(x) = 1$

Anschließend setzen wir die Funktionen und ihre Ableitungen gemäß der Quotientenregel ein:

$\bigl( \frac{3-x}{3+x} \bigr)^\prime = \frac{-1 \cdot (3+x) - (3-x) \cdot 1}{(3+x)^{2}} = \frac{-6}{(3+x)^{2}} $

Du weißt jetzt, wie man die Quotientenregel anwenden kann. Aber warum gilt diese Regel überhaupt? Das wollen wir uns im Folgenden anschauen, indem wir die Quotientenregel herleiten.

Quotientenregel – Herleitung

Wir betrachten zur Herleitung die folgende Funktion:

$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$

Wir können den Funktionsterm auch anders schreiben. Zum einen können wir ihn als Produkt aus $u(x)$ und $\frac{1}{v(x)}$ schreiben, zum anderen können wir den Bruchterm $\frac{1}{v(x)}$ durch die Potenzschreibweise $v(x)^{-1}$ ersetzen:

$f(x) = u(x) \cdot v(x)^{-1}$

Wir haben den Funktionsterm damit so umgeformt, dass er ein Produkt darstellt. Wir können zur Berechnung der Ableitung daher die Produktregel anwenden:

$f^\prime(x) = u(x)^\prime \bigl( v(x)^{-1} \bigr) + u(x) \cdot \bigl( v(x)^{-1} \bigr)^\prime \newline = u^\prime(x) \bigl( v(x)^{-1} \bigr) + u(x) \cdot (-1) \cdot \bigl( v(x)^{-2} \bigr) \cdot v(x)^\prime$

Für den Term $\bigl( v(x)^{-1} \bigr)^\prime$ haben wir außerdem die Kettenregel verwendet.

Um die Gleichung zu vereinfachen, schreiben wir die Terme mit negativem Exponenten als Brüche:

$f^\prime(x) = u^\prime(x) \frac{1}{v(x)} - u(x)\frac{v^\prime(x)}{v(x)^{2}}$

Um beide Brüche auf einen Nenner zu bringen, erweitern wir den linken Term mit $v(x)$:

$f^\prime(x) = \frac{u^\prime(x) v(x)}{v(x) \cdot v(x)} - u(x)\frac{v^\prime(x)}{v(x)^{2}}$

Das Zusammenfassen ergibt:

$\bigl( \frac{u(x)}{v(x)} \bigr)^\prime = \frac{u^\prime(x) v(x) - u(x) v^\prime(x)}{v(x)^{2}}$

Das ist gerade die Definition der Quotientenregel, die wir zu Beginn eingeführt haben.

Dieses Video

In diesem Video lernst du die Quotientenregel kennen. Ihre Anwendung wird dir anhand zweier Beispiele einfach erklärt. Außerdem lernst du, wie man die Quotientenregel herleitet, indem man Produkt- und Kettenregel anwendet. Neben Text und Video findest du zum Thema Quotientenregel ein Arbeitsblatt mit Aufgaben sowie interaktive Übungen.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. @Salehzahran Leider nein. Es ist in Prag. Es gibt aber auch ein Video, das in Regensburg aufgenommen wurde ;-)

    Von Martin Wabnik, vor mehr als einem Jahr
  2. sie sind in Regensburg am anfAng richtig?

    Von Salehzahran, vor mehr als einem Jahr

Quotientenregel – Herleitung und Beispiel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quotientenregel – Herleitung und Beispiel kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Herleitung der Quotientenregel zum Ableiten an.

    Tipps

    Überführe den Quotienten $\frac {u(x)}{v(x)}$ zunächst in ein Produkt.

    Du kannst Brüche erst subtrahieren, wenn sie gleichnamig sind.

    Die Produktregel lautet: $~\big(g(x)\cdot h(x)\big)'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$

    Lösung

    Wir leiten die Quotientenregel her, indem wir den Quotienten zunächst in ein Produkt überführen. Wir erhalten dann:

    $\begin{array}{lllll} \\ \left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)' &=& \left(u(x)\cdot \dfrac {1}{v(x)}\right)' &=&\left(u(x)\cdot v^{-1}(x)\right)' \\ \\ \end{array}$

    Dieses Produkt können wir nun mit der Produktregel ableiten. Für den Faktor $v^{-1}(x)$ benötigen wir noch die Kettenregel und die Potenzregel. Die Regeln sind wie folgt definiert:

    • Produktregel: $~\big(g(x)\cdot h(x)\big)'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$
    • Kettenregel: $~\big(g(h(x))\big)'=h'(x)\cdot g'(h(x))$
    • Potenzregel: $~\big( x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
    $\begin{array}{lll} \\ \left(u(x)\cdot v^{-1}(x)\right)' &=& \dfrac{u'(x)}{v(x)}+\dfrac{u(x)v'(x)}{-v^2(x)} \\ \\ &=& \dfrac{u'(x)v(x)}{v^2(x)}-\dfrac{u(x)v'(x)}{v^2(x)} \\ \\ &=& \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \\ \\ \end{array}$

    Im vorletzten Schritt wurden die beiden Brüche gleichnamig gemacht und im letzten Schritt schließlich subtrahiert. Damit können wir die Quotientenregel wie folgt angeben:

    $\begin{array}{lll} \\ \left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \end{array}$

  • Bestimme jeweils die erste Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel.

    Tipps

    Die Quotientenregel lautet:

    • $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

    Eine Potenz $x^n$ mit $n \in \mathbb{N}$ leitest du wie folgt ab:

    • $~\big( x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$

    Sieh dir folgendes Beispiel an: $~f(x)=\dfrac {x}{(x+3)^2}$

    • $u(x)=x$
    • $v(x)=(x+3)^2$
    • $u'(x)=1$
    • $v'(x)=2(x+3)$
    Lösung

    Mit der Quotientenregel können wir die Funktionen $f$ und $g$ ableiten. Die Quotientenregel ist wie folgt definiert:

    • $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
    $~$

    Beispiel 1

    $ \begin{array}{l} \\ f(x)=\dfrac x{x+1}; \qquad \mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash \lbrace -1 \rbrace \\ \\ \end{array} $

    Mit $u(x)=x$ und $v(x)=x+1$ erhalten wir die folgenden Ableitungen $u'(x)=1$ und $v'(x)=1$ und somit:

    $ \begin{array}{lllllll} \\ f'(x) &=& \dfrac{1\cdot (x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2} &=& \dfrac{x+1-x}{(x+1)^2} &=& \dfrac{1}{(x+1)^2} \\ \\ \end{array} $

    Beispiel 2

    $ \begin{array}{l} \\ g(x)=\dfrac {3-x}{3+x}; \qquad \mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash \lbrace -3 \rbrace \\ \\ \end{array} $

    Mit $u(x)=3-x$ und $v(x)=3+x$ erhalten wir die folgenden Ableitungen $u'(x)=-1$ und $v'(x)=1$ und somit:

    $ \begin{array}{lllllll} \\ g'(x) &=& \dfrac{-1\cdot (3+x)-(3-x)\cdot 1}{(3+x)^2} &=& \dfrac{-3-x-3+x}{(3+x)^2} &=& \dfrac{-6}{(3+x)^2} \\ \\ \end{array} $

  • Ermittle jeweils die erste und zweite Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel.

    Tipps

    Für die zweite Ableitung genügt auch die Potenzregel. Hierzu kannst du den Funktionsterm der ersten Ableitung als Potenz schreiben und ableiten.

    Die Quotientenregel lautet:

    $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)’=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

    Manchmal kann man den resultierenden Bruchterm noch kürzen.

    Lösung

    Die Quotientenregel lautet:

    $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

    Manchmal kann man den resultierenden Bruchterm noch kürzen. Das ist hier jeweils bei der 2. Ableitung der Fall, wenn wir diese mit der Quotientenregel bestimmen. Für die zweite Ableitung können wir hier nämlich auch die Potenzregel nutzen. Hierzu können wir den Funktionsterm der ersten Ableitung als Potenz schreiben und ableiten.

    Beispiel 1: $~f(x)=\dfrac{x-1}{x}$

    Die 1. Ableitung erhalten wir wie folgt:

    • $u(x)=x-1$
    • $v(x)=x$
    • $u'(x)=1$
    • $v'(x)=1$
    Damit folgt:

    • $f'(x)=\dfrac{1\cdot x-(x-1)\cdot 1}{x^2}=\dfrac{1}{x^2}$
    Für die zweite Ableitung können wir entweder $x^{-2}$ mit der Potenzregel ableiten oder wir nutzen ein weiteres Mal die Quotientenregel. In diesem Beispiel wählen wir mal die Quotientenregel:

    • $u(x)=1$
    • $v(x)=x^2$
    • $u'(x)=0$
    • $v'(x)=2x$
    Damit folgt:

    • $f''(x)=\dfrac{0\cdot x^2-1\cdot 2x}{x^4}=\dfrac{-2x}{x^4}=-\dfrac{2}{x^3}$
    $~$

    Beipiel 2: $~g(x)=\dfrac{1-x}{x}$

    Die 1. Ableitung erhalten wir wie folgt:

    • $u(x)=1-x$
    • $v(x)=x$
    • $u'(x)=-1$
    • $v'(x)=1$
    Damit folgt:

    • $f'(x)=\dfrac{-1\cdot x-(1-x)\cdot 1}{x^2}=-\dfrac{1}{x^2}$
    Für die 2. Ableitung schreiben wir diesen Funktionsterm als Potenz und leiten mit der Potenzregel ab:

    • $f''(x)=\big(-x^{-2}\big)'=-(-2)x^{-3}=\dfrac {2}{x^3}$
  • Bestimme jeweils die erste Ableitung der Funktionen.

    Tipps

    Vereinfache den Term im Zähler so weit wie möglich, indem du alle gleichartigen Terme zusammenfasst.

    Achte im Zähler auf die Minusklammer.

    Nutze die Quotientenregel:

    $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)’=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

    Beachte, dass du für die Ableitung von $u(x)$ in einem Beispiel die Kettenregel brauchst.

    Lösung

    Wir nutzen für die Ableitungen die Quotientenregel:

    • $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
    In einem Beispiel benötigen wir für die Ableitung von $u(x)$ die Kettenregel:

    • $\big(u(v(x))\big)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
    Die Potenzregel kommt in jedem Beispiel vor:

    • $\big(x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
    Wir erhalten die folgenden Ableitungen:

    Beispiel: $~f(x)=\dfrac{(2x+1)^2}{x}$

    • $u(x)=(2x+1)^2$
    • $v(x)=x$
    Die Ableitung der Funktion $u(x)$ erhältst du mit der Kettenregel. Für die innere Ableitung sowie für die Ableitung von $v(x)$ verwendest du die Potenzregel:

    • $u'(x)=4(2x+1)$
    • $v'(x)=1$
    Damit folgt:

    • $f'(x)=\dfrac{4(2x+1)\cdot x-(2x+1)^2\cdot 1}{x^2}=\dfrac{8x^2+4x-(4x^2+4x+1)}{x^2}=\dfrac{4x^2-1}{x^2}$
    $~$

    übrige Beispiele

    Gehst du in den übrigen Beispielen genauso vor, erhältst du folgende Ableitungen:

    • $f(x)=\dfrac{2x+1}{x}\quad \rightarrow\quad f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$
    • $f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x}\quad \rightarrow\quad f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x}$
    • $f(x)=\dfrac{x^2+x-1}{x}\quad \rightarrow\quad f'(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2}$
  • Gib die jeweiligen Ableitungsregeln wieder.

    Tipps

    Sieh dir die Ableitung zu $f(x)=\frac{\sin(2x)}{2x}$ an:

    • $f'(x)=\dfrac{2\cdot \cos(2x)\cdot 2x-\sin(2x)\cdot 2}{4x^2}$
    Für diese Ableitung verwendest du die Quotienten-, Potenz- und Kettenregel.

    Bei einer Subtraktion darfst du den Minuenden und Subtrahenden nicht vertauschen. Achte bei der Quotientenregel auf den Minuenden und Subtrahenden im Zähler.

    Lösung

    Die Ableitungsregeln können wie folgt angegeben werden:

    • Potenzregel: $~\big(x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
    • Produktregel: $~\big( u(x)\cdot v(x) \big)'=u'(x)\cdot v(x)+ u(x)\cdot v'(x)$
    • Kettenregel: $~\big(u(v(x))\big)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
    • Quotientenregel: $~\left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
    Wenn du eine Funktion ableitest, benötigst du oft mehr als nur eine Ableitungsregel. Im folgenden Beispiel benötigst du die Quotienten-, Ketten- und Potenzregel:

    Beispiel: $~f(x)=\dfrac{\sin(2x)}{2x}$

    • $u(x)=\sin(2x)$
    • $v(x)=2x$
    Die Ableitung der Funktion $u(x)$ erhältst du mit der Kettenregel. Für die innere Ableitung sowie für die Ableitung von $v(x)$ verwendest du die Potenzregel, denn $x=x^1$:

    • $u'(x)=2\cdot\cos(2x)$
    • $v'(x)=2$
    Damit folgt:

    • $f'(x)=\dfrac{2\cdot \cos(2x)\cdot 2x-\sin(2x)\cdot 2}{4x^2}=\dfrac{4x\cdot\cos(2x)-2\sin(2x)}{4x^2}=\dfrac{2x\cdot\cos(2x)-\sin(2x)}{2x^2}$
  • Erschließe die ersten Ableitungen der gegebenen Funktionen.

    Tipps

    Die Ableitungsregeln sind wie folgt definiert:

    • Potenzregel: $~\big(x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
    • Produktregel: $~\big( u(x)\cdot v(x) \big)'=u'(x)\cdot v(x)+ u(x)\cdot v'(x)$
    • Kettenregel: $~\big(u(v(x))\big)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
    • Quotientenregel: $~\left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
    Lösung

    Die Ableitungsregeln sind wie folgt definiert:

    • Potenzregel: $~\big(x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
    • Produktregel: $~\big( u(x)\cdot v(x) \big)'=u'(x)\cdot v(x)+ u(x)\cdot v'(x)$
    • Kettenregel: $~\big(u(v(x))\big)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
    • Quotientenregel: $~\left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
    Beispiel 1

    Wir betrachten zunächst die Funktion: $~f(x)=\dfrac{x(x+1)^2}{(2x+1)^2}$

    Für $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ können wir die Funktionen wie folgt angeben:

    • $u(x)=x(x+1)^2$
    • $v(x)=(2x+1)^2$
    Die Funktion $u$ ist ein Produkt zweier Funktionen, von denen eine eine verkettete Funktion ist. Also brauchen wir für die Ableitung $u'(x)$ die Produkt- und Kettenregel:

    • $u'(x)=1\cdot (x+1)+x\cdot 2\cdot (x+1)=(x+1)^2+2x(x+1)$
    Für die Ableitung $v'(x)$ nutzen wir die Kettenregel:

    • $v'(x)=2\cdot 2\cdot (2x+1)=4(2x+1)$
    Die erste Ableitung lautet dann:

    • $f'(x)=\dfrac{(x+1)(2x^2+x+1)}{(2x+1)^3}$
    Beispiel 2

    Wir betrachten die Funktion: $~g(x)=\dfrac{xe^{2x}}{(x-1)^2}$

    Für $g(x)=\dfrac{a(x)}{b(x)}$ können wir die Funktionen wie folgt angeben:

    • $a(x)=$ $xe^{2x}$
    • $b(x)=$ $(x-1)^2$
    Hier gehen wir ähnlich vor und erhalten:

    • $a'(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2\cdot e^{2x}=e^{2x}+2xe^{2x}=e^{2x}\cdot (1+2x)$
    • $b'(x)=1\cdot 2\cdot (x-1)=2(x-1)$
    Die erste Ableitung lautet somit:

    • $f'(x)=\dfrac{(2x^2-3x-1)e^{2x}}{(x-1)^3}$
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