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Differentialquotient – Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt

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Team Digital
Differentialquotient – Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt
lernst du in der Oberstufe 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Differentialquotient – Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du verstehen, was die Steigung einer Funktion in einem Punkt bedeutet und wissen, wie man die Steigung an einer Stelle näherungsweise mit dem Differenzenquotienten und exakt mit dem Differentialquotienten bestimmen kann.

Unterschied zwischen Differenzenquotient und Differentialquotient

Zunächst lernst du, wie man die Steigung einer Funktion an einer Stelle näherungsweise durch graphisches Differenzieren bestimmen. Anschließend erfährst du, wie man die Steigung in einem Punkt näherungsweise mit den Differenzenquotienten berechnen kann. Abschließend lernst du, dass wir mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten (also dem Differentialquotienten) die Steigung ganz exakt berechnen können.

Differentialquotient berechnen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Differenzenquotient, Steigung, Steigungsdreieck, Differentialquotient, Tangente, Sekante, Intervall, mittlere und lokale Änderungsrate und Näherungswert.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits neben dem Differenzenquotienten auch bereits die Idee des Grenzwertes (Limes) kennen und sicher im Umgang mit linearen Funktionen und dem Steigungsdreieck sein.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, mehr zur rechnerischen Bestimmung des Differentialquotienten zu lernen.

Transkript Differentialquotient – Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt

Endlich wieder Schnee! Was macht man da am besten? Richtig, es wird Zeit die Skier und den Schlitten aus dem Keller zu holen! Wintersport macht schließlich allen Spaß! Aber dazu braucht man natürlich erstmal einen guten Berg. Ob der Rodelberg auch steil genug für den Fahrspaß ist, können wir mit dem „Differentialquotienten“ herausfinden. Moment mal, wir kennen doch schon den Differenzenquotienten. Der gibt die durchschnittliche Steigung eines Funktionsgraphen auf einem bestimmten Intervall an. Wir können zum Beispiel dieses Intervall zwischen x-null und x betrachten. Den durchschnittlichen Anstieg können wir mit Hilfe des Steigungsdreiecks ausrechnen. Dafür dividieren wir die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der x-Werte. Und was ist jetzt bitte der Differentialquotient? Nun, wenn wir das betrachtete Intervall immer kleiner werden lassen, wandert der Punkt Q immer dichter an den Punkt P heran. Dabei nähert sich auch x immer weiter an x-null an. Sobald Q genau auf P liegt, ist aus der Sekante eine Tangente geworden. Aber wie kann man denn jetzt den Anstieg an diesem einen Punkt bestimmen? Für die Steigungsformel brauchen wir doch zwei Punkte, die wir einsetzen können! Das untersuchen wir mal genauer an diesem modellierten Rodelberg. Wir wollen herausfinden, wie steil der Berg in diesem Punkt, also an der Stelle eins ist. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten: Als erstes können wir den Anstieg graphisch ermitteln. Das heißt, wir zeichnen näherungsweise an dem Punkt P eine Tangente ein. Dabei versuchen wir die Tangente so durch den Punkt zu zeichnen, dass sie sich möglichst gut an den Funktionsgraphen anschmiegt. Dann können wir den Anstieg dieser Tangente ermitteln, indem wir ein Steigungsdreieck einzeichnen. Es geht drei Einheiten nach rechts und fast zwei Einheiten nach unten. Man könnte daher sagen, dass der Anstieg Pi mal Daumen „minus zwei Drittel“ beträgt. Natürlich ist diese Lösung kein fundiertes Ergebnis, da wir die Tangente ja nur ungefähr einzeichnen konnten. Deshalb schieben wir die Punkte sehr dicht zusammen, um den Anstieg an der Stelle eins näherungsweise zu berechnen. Der Punkt Q liegt nun minimal entfernt von P, zum Beispiel an der Stelle 1,001. Dann können wir nämlich wieder unseren Differenzenquotienten zur Hilfe nehmen. Dafür müssen wir zuerst die entsprechenden Werte in die etwas längere Funktionsgleichung einsetzen. Als Ergebnis erhalten wir ziemlich genau „minus 0,5“ also minus ein halb. Da waren wir mit unserer graphischen Lösung relativ dicht dran! Hier haben wir den Punkt Q ein Stückchen weiter rechts von P gesetzt. Schauen wir mal, was passiert, wenn wir Q nun minimal links neben P platzieren. Wir setzen erneut die x-Werte der beiden Punkte in den Differenzenquotienten ein. Auch dieses Mal erhalten wir knapp „minus 0,5“. Schön und gut, aber wie können wir denn nun ein wirklich exaktes Ergebnis für den Anstieg in diesem Punkt berechnen? Nun, eins ist klar: Je dichter wir x an „x null“ ranschieben, umso exakter wird das Ergebnis. Und wie führen wir mathematisch einen Wert immer dichter an eine bestimmte Stelle? Richtig, hier hilft uns der Limes! So wird aus dem groben Differenzenquotienten, ein feiner Differentialquotient. Den schauen wir uns jetzt mal genauer an. Um uns die Arbeit etwas zu erleichtern, nehmen wir ein einfacheres Einstiegsbeispiel: Wir wollen die Steigung der Normalparabel „x Quadrat“ in dem Punkt „drei, neun“ ermitteln. Dann setzen wir für die Grenzwertberechnung den Funktionsterm, und die Koordinaten von P ein. Jetzt greifen wir einmal tief in die Trickkiste und formen den Zähler mit Hilfe der dritten binomischen Formel um. Dadurch können wir den Bruch kürzen, und im übriggebliebenen Term, ganz easy drei einsetzen und den Grenzwert berechnen. Der Differentialquotient an der Stelle drei ist also gleich sechs. Und so sieht das Ganze übrigens für unseren Rodelberg aus. Für die Verrückten, die es mal nachrechnen wollen - es kommt tatsächlich genau „minus ein Halb“ raus. Der Differentialquotient ist also nichts anderes als der Grenzwert des Differenzenquotienten. Mit ihm können wir die Steigung der Tangenten an der Stelle „x null“ und damit auch die Steigung des Graphen an der Stelle „x null“ bestimmen. Dabei sind wir ganz geschmeidig von der mittleren Änderungsrate zur lokalen Änderungsrate gekommen, und konnten so den genauen Anstieg des Graphen im Punkt P berechnen. Beziehungsweise den Anstieg der Funktion f an der Stelle „x null“. Für den Differentialquotienten schreibt man verkürzt auch „f Strich von x null“. In unserem Rodelbeispiel wäre also „f Strich“ an der Stelle eins gleich minus ein Halb. Das bedeutet, der Graph von f hat an der Stelle eins den Anstieg minus ein Halb. Ob das steil genug zum Rodeln ist? Bevor wir das überprüfen, fassen wir noch einmal kurz zusammen. Um den Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt P zu bestimmen, müssen wir von der Steigung zwischen zwei Punkten zum Anstieg an einem einzigen Punkt kommen. Deshalb schieben wir die beiden Punkte so dicht zueinander, bis aus der Sekante eine Tangente geworden ist. Der Anstieg des Funktionsgraphen an diesem Punkt entspricht dann dem Anstieg der Tangente an dieser Stelle. So sind wir von der mittleren Änderungsrate zur lokalen Änderungsrate an der Stelle „x null“ gekommen. Dafür verwenden wir nicht mehr den Differenzenquotienten, sondern den Differentialquotienten. Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für x gegen x-null. Verkürzt schreibt man auch „f Strich von x null“. Dank ihm können wir immer genau berechnen, wie steil es an jeder Stelle des Graphen aufwärts oder abwärts geht. Und nachrechnen lohnt sich - da war der Berg wohl doch zu steil!

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