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Differentialquotient – Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt

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Team Digital
Differentialquotient – Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt
lernst du in der Oberstufe 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Differentialquotient – Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du verstehen, was die Steigung einer Funktion in einem Punkt bedeutet und wissen, wie man die Steigung an einer Stelle näherungsweise mit dem Differenzenquotienten und exakt mit dem Differentialquotienten bestimmen kann.

Unterschied zwischen Differenzenquotient und Differentialquotient

Zunächst lernst du, wie man die Steigung einer Funktion an einer Stelle näherungsweise durch graphisches Differenzieren bestimmen. Anschließend erfährst du, wie man die Steigung in einem Punkt näherungsweise mit den Differenzenquotienten berechnen kann. Abschließend lernst du, dass wir mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten (also dem Differentialquotienten) die Steigung ganz exakt berechnen können.

Differentialquotient berechnen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Differenzenquotient, Steigung, Steigungsdreieck, Differentialquotient, Tangente, Sekante, Intervall, mittlere und lokale Änderungsrate und Näherungswert.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits neben dem Differenzenquotienten auch bereits die Idee des Grenzwertes (Limes) kennen und sicher im Umgang mit linearen Funktionen und dem Steigungsdreieck sein.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, mehr zur rechnerischen Bestimmung des Differentialquotienten zu lernen.

Transkript Differentialquotient – Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt

Endlich wieder Schnee! Was macht man da am besten? Richtig, es wird Zeit die Skier und den Schlitten aus dem Keller zu holen! Wintersport macht schließlich allen Spaß! Aber dazu braucht man natürlich erstmal einen guten Berg. Ob der Rodelberg auch steil genug für den Fahrspaß ist, können wir mit dem „Differentialquotienten“ herausfinden. Moment mal, wir kennen doch schon den Differenzenquotienten. Der gibt die durchschnittliche Steigung eines Funktionsgraphen auf einem bestimmten Intervall an. Wir können zum Beispiel dieses Intervall zwischen x-null und x betrachten. Den durchschnittlichen Anstieg können wir mit Hilfe des Steigungsdreiecks ausrechnen. Dafür dividieren wir die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der x-Werte. Und was ist jetzt bitte der Differentialquotient? Nun, wenn wir das betrachtete Intervall immer kleiner werden lassen, wandert der Punkt Q immer dichter an den Punkt P heran. Dabei nähert sich auch x immer weiter an x-null an. Sobald Q genau auf P liegt, ist aus der Sekante eine Tangente geworden. Aber wie kann man denn jetzt den Anstieg an diesem einen Punkt bestimmen? Für die Steigungsformel brauchen wir doch zwei Punkte, die wir einsetzen können! Das untersuchen wir mal genauer an diesem modellierten Rodelberg. Wir wollen herausfinden, wie steil der Berg in diesem Punkt, also an der Stelle eins ist. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten: Als erstes können wir den Anstieg graphisch ermitteln. Das heißt, wir zeichnen näherungsweise an dem Punkt P eine Tangente ein. Dabei versuchen wir die Tangente so durch den Punkt zu zeichnen, dass sie sich möglichst gut an den Funktionsgraphen anschmiegt. Dann können wir den Anstieg dieser Tangente ermitteln, indem wir ein Steigungsdreieck einzeichnen. Es geht drei Einheiten nach rechts und fast zwei Einheiten nach unten. Man könnte daher sagen, dass der Anstieg Pi mal Daumen „minus zwei Drittel“ beträgt. Natürlich ist diese Lösung kein fundiertes Ergebnis, da wir die Tangente ja nur ungefähr einzeichnen konnten. Deshalb schieben wir die Punkte sehr dicht zusammen, um den Anstieg an der Stelle eins näherungsweise zu berechnen. Der Punkt Q liegt nun minimal entfernt von P, zum Beispiel an der Stelle 1,001. Dann können wir nämlich wieder unseren Differenzenquotienten zur Hilfe nehmen. Dafür müssen wir zuerst die entsprechenden Werte in die etwas längere Funktionsgleichung einsetzen. Als Ergebnis erhalten wir ziemlich genau „minus 0,5“ also minus ein halb. Da waren wir mit unserer graphischen Lösung relativ dicht dran! Hier haben wir den Punkt Q ein Stückchen weiter rechts von P gesetzt. Schauen wir mal, was passiert, wenn wir Q nun minimal links neben P platzieren. Wir setzen erneut die x-Werte der beiden Punkte in den Differenzenquotienten ein. Auch dieses Mal erhalten wir knapp „minus 0,5“. Schön und gut, aber wie können wir denn nun ein wirklich exaktes Ergebnis für den Anstieg in diesem Punkt berechnen? Nun, eins ist klar: Je dichter wir x an „x null“ ranschieben, umso exakter wird das Ergebnis. Und wie führen wir mathematisch einen Wert immer dichter an eine bestimmte Stelle? Richtig, hier hilft uns der Limes! So wird aus dem groben Differenzenquotienten, ein feiner Differentialquotient. Den schauen wir uns jetzt mal genauer an. Um uns die Arbeit etwas zu erleichtern, nehmen wir ein einfacheres Einstiegsbeispiel: Wir wollen die Steigung der Normalparabel „x Quadrat“ in dem Punkt „drei, neun“ ermitteln. Dann setzen wir für die Grenzwertberechnung den Funktionsterm, und die Koordinaten von P ein. Jetzt greifen wir einmal tief in die Trickkiste und formen den Zähler mit Hilfe der dritten binomischen Formel um. Dadurch können wir den Bruch kürzen, und im übriggebliebenen Term, ganz easy drei einsetzen und den Grenzwert berechnen. Der Differentialquotient an der Stelle drei ist also gleich sechs. Und so sieht das Ganze übrigens für unseren Rodelberg aus. Für die Verrückten, die es mal nachrechnen wollen - es kommt tatsächlich genau „minus ein Halb“ raus. Der Differentialquotient ist also nichts anderes als der Grenzwert des Differenzenquotienten. Mit ihm können wir die Steigung der Tangenten an der Stelle „x null“ und damit auch die Steigung des Graphen an der Stelle „x null“ bestimmen. Dabei sind wir ganz geschmeidig von der mittleren Änderungsrate zur lokalen Änderungsrate gekommen, und konnten so den genauen Anstieg des Graphen im Punkt P berechnen. Beziehungsweise den Anstieg der Funktion f an der Stelle „x null“. Für den Differentialquotienten schreibt man verkürzt auch „f Strich von x null“. In unserem Rodelbeispiel wäre also „f Strich“ an der Stelle eins gleich minus ein Halb. Das bedeutet, der Graph von f hat an der Stelle eins den Anstieg minus ein Halb. Ob das steil genug zum Rodeln ist? Bevor wir das überprüfen, fassen wir noch einmal kurz zusammen. Um den Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt P zu bestimmen, müssen wir von der Steigung zwischen zwei Punkten zum Anstieg an einem einzigen Punkt kommen. Deshalb schieben wir die beiden Punkte so dicht zueinander, bis aus der Sekante eine Tangente geworden ist. Der Anstieg des Funktionsgraphen an diesem Punkt entspricht dann dem Anstieg der Tangente an dieser Stelle. So sind wir von der mittleren Änderungsrate zur lokalen Änderungsrate an der Stelle „x null“ gekommen. Dafür verwenden wir nicht mehr den Differenzenquotienten, sondern den Differentialquotienten. Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für x gegen x-null. Verkürzt schreibt man auch „f Strich von x null“. Dank ihm können wir immer genau berechnen, wie steil es an jeder Stelle des Graphen aufwärts oder abwärts geht. Und nachrechnen lohnt sich - da war der Berg wohl doch zu steil!

Differentialquotient – Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Differentialquotient – Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man die Steigung einer Funktion in einem Punkt ermitteln kann.

    Tipps

    Hier ist die Tangente an die Funktion im Punkt $(1|1)$ eingezeichnet.

    Eine Tangente berührt den Graphen in einem Punkt.

    Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten.

    Lösung

    Die mittlere Änderungsrate
    Die mittlere Änderungsrate gibt den durchschnittlichen Anstieg einer Funktion in einem bestimmten Intervall an. Wir stellen sie graphisch durch eine Sekante durch die beiden Punkte an den Intervallgrenzen dar. Der durchschnittliche Anstieg entspricht dann der Sekantensteigung.
    Rechnerisch können wir diesen Anstieg mit dem Differenzenquotienten beschreiben:
    $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

    Die lokale Änderungsrate:
    Um den Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt $P$ zu bestimmen, müssen wir von der Steigung zwischen zwei Punkten zum Anstieg an einem einzigen Punkt kommen. Dazu legen wir die beiden Punkte ganz dicht aneinander. Graphisch betrachtet wird somit aus der Sekante eine Tangente, die den Graphen in $P$ berührt. Der Anstieg des Funktionsgraphen an diesem Punkt entspricht dann der Steigung $m$ dieser Tangente.

    Rechnerisch können wir diesen Anstieg mit dem Differentialquotienten bestimmen. Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für $x \to x_0$. Wir schreiben:
    $\lim \limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

  • Gib an, zu welchem Fachbegriff die Elemente gehören.

    Tipps

    Der Differenzenquotient bezieht sich auf ein Intervall $[x; x_0]$, der Differentialquotient auf einen Punkt $P(x_0 \vert f(x_0))$.

    Die lokale Änderungsrate des Graphen bei $x_0$ ist $-\frac{1}{2}$.

    Lösung

    Bei der Untersuchung der Steigung eine Funktion unterscheiden wir die Begriffe Differenzenquotient und Differentialquotient. Auch wenn die beiden Fachbegriffe sehr ähnlich klingen, sind zwei unterschiedliche Aspekte damit gemeint:

    Der Differenzenquotient:
    Die mittlere Änderungsrate gibt den durchschnittlichen Anstieg einer Funktion in einem bestimmten Intervall an. Wir stellen sie graphisch durch eine Sekante durch die beiden Punkte an den Intervallgrenzen dar. Der durchschnittliche Anstieg entspricht dann der Sekantensteigung. Diese können wir durch ein Steigungsdreieck an der Sekante bestimmen.
    Rechnerisch können wir diesen Anstieg mit dem Differenzenquotienten beschreiben:
    $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

    Der Differentialquotient:
    Um den Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt $P$ zu bestimmen, müssen wir von der Steigung zwischen zwei Punkten zum Anstieg an einem einzigen Punkt kommen. Dazu legen wir die beiden Punkte ganz dicht aneinander. Graphisch betrachtet wird somit aus der Sekante eine Tangente. Der Anstieg des Funktionsgraphen an diesem Punkt entspricht dann der Tangentensteigung an dieser Stelle. Diese können wir durch ein Steigungsdreieck an der Tangente bestimmen. Wir sprechen auch von der lokalen Änderungsrate der Funktion.
    Rechnerisch können wir diesen Anstieg mit dem Differentialquotienten bestimmen. Dieser ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für $x \to x_0$. Wir schreiben:
    $\lim \limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

  • Überprüfe die Aussagen zur Bestimmung der Steigung der Funktion an der Stelle $x_0=2$ durch Annäherung des Differenzenqoutienten an diese Stelle.

    Tipps

    Der Differenzenquotient lautet: $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

    Wenn du mehrere Werte in den Differenzenquotienten eingesetzt hast, kannst du daraus den Grenzwert schlussfolgern.

    Lösung

    Um den Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt $P$ zu bestimmen betrachten wir die Steigung einer Tangente an den Funktionsgraphen in diesem Punkt. Diese erhalten wir, indem wir zunächst eine Sekante durch zwei Punkte auf dem Graphen ziehen und den Abstand zwischen diesen Punkten dann immer kleiner werden lassen. So kommen wir von der mittleren Änderungsrate in einem Intervall zur lokalen Änderungsrate, also der Steigung in einem Punkt.

    Rechnerisch führen wir dies durch, indem wir uns der Stelle $x_0=2$ immer weiter annähern und jeweils den Differenzenquotienten bestimmen.

    Je geringer die Differenz zwischen $x_0$ und $x$ ist, desto genauer ist dabei die Näherung.
    Diese Aussage ist richtig.

    Der Differenzenquotient lautet: $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

    Für die Bestimmung des Grenzwertes dürfen wir nur $x$-Werte einsetzen, die kleiner als $x_0$ sind.
    Diese Aussage ist falsch. Wir wählen in unserem Beispiel Werte, die größer als $x_0$ sind:

    • Für $x=2,1$ ergibt sich: $\dfrac{2,1^3-8 \cdot 2,1 -3 - (2^3 -8 \cdot 2 -3)}{2,1-2} = 4,61$
    • Für $x=2,01$ ergibt sich: $\dfrac{2,01^3-8 \cdot 2,01 -3 - (2^3 -8 \cdot 2 -3)}{2,01-2} = 4,0601$
    • Für $x=2,001$ ergibt sich: $\dfrac{2,001^3-8 \cdot 2,001 -3 - (2^3 -8 \cdot 2 -3)}{2,001-2} = 4,006001$
    • Für $x=2,0001$ ergibt sich: $\dfrac{2,0001^3-8 \cdot 2,0001 -3 - (2^3 -8 \cdot 2 -3)}{2,0001-2} = 4,00060001$
    Der Differenzenquotient für den Wert $x=2,01$ beträgt $4,0601$.
    Diese Aussage ist, wie wir an der obigen Berechnung erkennen können, richtig.

    $2,001$ liegt näher an $2$ als $2, 01$.
    Diese Aussage ist richtig. Der Abstand zwischen $2$ und $2,001$ ist mit $0,001$ geringer als der zwischen $2$ und $2,01$ mit $0,01$.

    Setzen wir für $x$ mehrere Werte nahe $x_0$ ein, so ist der Differenzenquotient für den Wert von $x$, der am nächsten an $x_0$ liegt, gleich der Steigung.
    Diese Aussage ist falsch. Wir können statt dessen anhand der Werte erkennen, dass sich der Wert immer mehr der $4$ annähert. Der Differentialquotient, also der Grenzwert des Differenzenquotienten, ist hier:
    $\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=4$
    Dieser Wert ist gleich der Steigung.

    Der Differenzenquotient für den Wert $x=2,1$ ist kleiner als der Differentialquotient.
    Diese Aussage ist falsch, denn der Differenzenquotient an der Stelle $x=2,1$ beträgt $4,61$ und der Differentialquotient beträgt $4$. Es gilt $4,61>4$.

  • Ermittle den Grenzwert des Differenzenquotienten.

    Tipps

    Du kannst den Differentialquotienten ermitteln, indem du in den Differenzenquotienten $x$-Werte einsetzt, die sehr dicht an $x_0$ liegen, oder indem du versuchst den Bruch $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ zu kürzen. Dabei können dir die binomischen Formeln helfen.

    Beispiel:

    $\frac{-0,2x^2 + 5}{x - 5} = \frac{-0,2 \cdot (x^2 - 25)}{x - 5} = \frac{-0,2 \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)}{x - 5} = -0,2 \cdot (x + 5)$

    Hier siehst du den Graphen der Funktion.

    Wenn der Graph fällt, ist der Differentialquotient negativ, wenn er steigt, ist der Differentialquotient positiv.

    Lösung

    Wir können den Anstieg einer Funktion in einem Punkt rechnerisch mit dem Differentialquotienten bestimmen. Dieser ist gleich dem Grenzwert des Differenzenquotienten:

    $\lim \limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

    Wir betrachten also die Funktion $f(x)=-0,5x^2+2$ und setzen jeweils ein:

    erste Stelle: $x_0=2$
    $f(2)=-0,5 \cdot 2^2 +2 = -2+2 = 0$
    $\frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{-0,5x^2+2-0}{x-2} = \frac{-0,5x^2+2}{x-2} = \frac{-0,5(x^2-4)}{x-2} = \frac{-0,5(x+2)(x-2)}{x-2} = -0,5(x+2) = -0,5x-1$
    $\lim \limits_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \lim \limits_{x \to 2} -0,5x-1 = -0,5 \cdot 2 -1 = -2$
    Der Differentialquotient ist negativ, dies erkennen wir auch daran, dass die Funktion an der Stelle $x_0=2$ fällt.

    zweite Stelle: $x_0=-3$
    $f(-3)=-0,5 \cdot (-3)^2 +2 = -4,5+2 = -2,5$
    $\frac{f(x)-f(-3)}{x+3} = \frac{-0,5x^2+2+2,5}{x+3} = \frac{-0,5x^2+4,5}{x+3} = \frac{-0,5(x^2-9)}{x+3} = \frac{-0,5(x+3)(x-3)}{x+3} = -0,5(x-3) = -0,5x+1,5$
    $\lim \limits_{x \to -3} \frac{f(x)-f(-3)}{x+3} = \lim \limits_{x \to -3} -0,5x+1,5 = -0,5 \cdot (-3) +1,5 = 3$
    Der Differentialquotient ist positiv, dies erkennen wir auch daran, dass die Funktion an der Stelle $x_0=-3$ steigt.

    dritte Stelle: $x_0=0,5$
    $f(2)=-0,5 \cdot 0,5^2 +2 = -0,125+2 = 1,875$
    $\frac{f(x)-f(0,5)}{x-0,5} = \frac{-0,5x^2+2-1,875}{x-0,5} = \frac{-0,5x^2+0,125}{x-0,5} = \frac{-0,5(x^2-0,25)}{x-0,5} = \frac{-0,5(x+0,5)(x-0,5)}{x-0,5} = -0,5(x+0,5) = -0,5x-0,25$
    $\lim \limits_{x \to 0,5} \frac{f(x)-f(0,5)}{x-0,5} = \lim \limits_{x \to 0,5} -0,5x-0,25 = -0,5 \cdot 0,5 -0,25 = -0,5$
    Der Differentialquotient ist negativ, dies erkennen wir auch daran, dass die Funktion an der Stelle $x_0=0,5$ fällt.

    vierte Stelle: $x_0=-1$
    $f(2)=-0,5 \cdot (-1)^2 +2 = -0,5+2 = 1,5$
    $\frac{f(x)-f(-1)}{x+1} = \frac{-0,5x^2+2-1,5}{x+1} = \frac{-0,5x^2+0,5}{x+1} = \frac{-0,5(x^2-1)}{x+1} = \frac{-0,5(x+1)(x-1)}{x+1} = -0,5(x+-1) = -0,5x+0,5$
    $\lim \limits_{x \to -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1} = \lim \limits_{x \to -1} -0,5x+0,5 = -0,5 \cdot -1 +0,5 = 1$
    Der Differentialquotient ist positiv, dies erkennen wir auch daran, dass die Funktion an der Stelle $x_0=-1$ steigt.

    Hinweis: Wir können den Differentialquotienten auch ermitteln, indem wir uns der Stelle $x_0$ immer weiter annähern und jeweils den Differenzenquotienten bestimmen. Daraus können wir dann den Grenzwert schlussfolgern.

    Beispielrechnung zur ersten Stelle $x_0=2$
    $f(2)=-0,5 \cdot 2^2 +2 = -2+2 = 0$
    $\frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{-0,5x^2+2-0}{x-2}$
    $x=2,5 \quad \frac{f(2,5)-f(2)}{2,5-2} = \frac{-3,125+2-0}{0,5} = -2,25$
    $x=2,1 \quad \frac{f(2,1)-f(2)}{2,1-2} = \frac{-2,205+2-0}{0,1} = -2,05$
    $x=2,01 \quad \frac{f(2,01)-f(2)}{2,01-2} = \frac{-2,02005+2-0}{0,01} = -2,005$
    $x=2,001 \quad \frac{f(2,001)-f(2)}{2,001-2} = \frac{-2,0020005+2-0}{0,001} = -2,0005$
    Wir erkennen also: $\lim \limits_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = -2$

  • Berechne die Tangentensteigung mit Hilfe des Steigungsdreiecks.

    Tipps

    Für die Steigung $m$ gilt: $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$

    Wenn eine Gerade steigt, ist ihre Steigung positiv.

    Wenn eine Gerade fällt, ist ihre Steigung negativ.

    Lösung

    Eine Tangente berührt den Funktionsgraphen nur in einem Punkt. Mit Hilfe der Tangente können wir die Steigung des Funktionsgraphen in diesem Punkt ermitteln, da sie gleich der Tangentensteigung ist.

    Die Tangentensteigung $m$ berechnen wir mit Hilfe eines Steigungsdreiecks. Dabei gilt:

    $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$

    In unserem Fall geht das Steigungsdreieck etwa $2$ Einheiten nach unten ($\Delta y = -2$) und $3$ Einheiten nach rechts ($\Delta x = 3$).

    Die Steigung beträgt damit $m=\frac{\Delta y}{\Delta x} =-\frac{2}{3}$.

    Da die Tangente fallend ist, ist die Steigung negativ.

  • Bestimme den Differentialquotienten.

    Tipps

    Die dritte binomische Formel lautet:

    $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

    Berechne zunächst den Funktionswert an der Stelle $x_0$, also $f(x_0)$.

    Setze diesen dann in $\lim \limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ ein.

    Versuche den Bruch $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ geschickt zu kürzen, indem du im Zähler $x-x_0$ ausklammerst.

    Lösung

    Mit Hilfe des Differenzialquotienten können wir den Anstieg einer Funktion in einem Punkt rechnerisch bestimmen. Der Differentialquotient ist gleich dem Grenzwert des Differenzenquotienten:

    $\lim \limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

    Beispiel 1:
    Wir betrachten die Funktion $f(x)=2x^2$ an der Stelle $x_0=-1$:
    $f(-1)=2 \cdot (-1)^2 = 2$
    $\frac{f(x)-f(-1)}{x+1} = \frac{2x^2-2}{x+1} = \frac{2(x^2-1)}{x+1} = \frac{2(x+1)(x-1)}{x+1} = 2(x-1) = 2x-2$
    $\lim \limits_{x \to -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1} = \lim \limits_{x \to -1} 2x-2 = 2 \cdot (-1) -2 = -4$

    Beispiel 2:
    Wir betrachten die Funktion $f(x)=3x^4+4x^2-2x$ an der Stelle $x_0=0$:
    $f(0)=2 \cdot 0^4 + 4 \cdot 0^2 -2 \cdot 0= 0$
    $\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{3x^4+4x^2-2x-0}{x} = \frac{3x^4+4^2-2x}{x} = \frac{(3x^3+4x-2)\cdot x}{x} = 3x^3+4x-2$
    $\lim \limits_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim \limits_{x \to 0} 3x^3+4x-2 = 3 \cdot 0^3 + 4 \cdot 0 -2=-2$

    Beispiel 3:
    Wir betrachten die Funktion $f(x)=2x^3+2x^2-20x+16$ an der Stelle $x_0=2$:
    $f(2) = 2 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 - 20 \cdot 2 +16 = 16+8-40 +16 = 0$
    $\frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{2x^3+2x^2-20x+16}{x-2} = \frac{2(x^3+x^2-10x+8)}{x-2} = \frac{2(x^2+3x-4)(x-2)}{x-2} = 2(x^2+3x-4) = 2x^2+6x-8$
    $\lim \limits_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \lim \limits_{x \to 2} 2x^2+6x-8= 2 \cdot 2^2+6 \cdot 2-8 = 12$
    Die faktorisierte Form im Zähler erhalten wir hier, indem wir durch Ausprobieren eine Nullstelle des Nenners ermitteln (hier $x=2$). Dann können wir eine Polynomdivision durch $(x - 2)$ durchführen und den Term faktorisieren.

    $\,$

    Hinweis: Wir können den Differentialquotienten auch ermitteln, indem wir uns der Stelle $x_0$ immer weiter annähern und jeweils den Differenzenquotienten bestimmen. Daraus können wir dann den Grenzwert schlussfolgern.

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