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Quotientenregel – Herleitung

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Die Autor*innen
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Fritze Michael
Quotientenregel – Herleitung
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Quotientenregel – Herleitung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quotientenregel – Herleitung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Quotientenregel an.

    Tipps

    Die Quotientenregel kann mit der Produktregel und der Kettenregel hergeleitet werden.

    Die Produktregel lautet in der Kurzschreibweise:

    $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$.

    Die Kettenregel lautet:

    $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

    Es gilt:

    $\left(\frac1x\right)'=-\frac2{(v(x))^2}$.

    Lösung

    Die Regel, um einen Quotienten aus zwei Funktionen

    $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$

    abzuleiten, lautet:

    $f'(x_0)=\frac{u'(x_0)\cdot v(x_0)-u(x_0)\cdot v'(x_0)}{(v(x_0))^2}$,

    dabei

    • müssen $u$ und $v$ differenzierbare Funktionen und
    • $u(x_0)\neq$ sein.
    Die Kurzschreibweise lautet:

    $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$.

  • Bestimme die erste Ableitung der Funktion $f$.

    Tipps

    Verwende die Quotientenregel:

    $\large{\left(\frac uv\right)'=\frac{u\cdot v-u\cdot v'}{u^2}}$.

    Vereinfache den Term so weit als möglich.

    Lösung

    Die Funktion

    $f(x)=\frac{2x^2}{3x-1}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac13\right\}$,

    soll abgeleitet werden. Hierfür kann die Quotientenregel, in Kurzschreibweise:

    $\large{\left(\frac uv\right)'=\frac{u\cdot v-u\cdot v'}{u^2}}$

    verwendet werden. Es ist:

    • $u=2x^2$ und damit $u'=4x$ sowie
    • $v=3x-1$ und damit $v'=3$.
    Dies kann in die Quotientenregel eingesetzt werden und liefert:

    $\begin{align*} f'(x)&=\frac{4x\cdot(3x-1)-2x^2\cdot 3}{(3x-1)^2}\\ &=\frac{12x^2-4x-6x^2}{(3x-1)^2}\\ &=\frac{6x^2-4x}{(3x-1)^2}. \end{align*}$

  • Leite die Funktion einmal ab.

    Tipps

    Du kannst dir die Quotientenregel auch in Worten merken: „... Ableitung der Zählers mal den Nenner minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch Nenner im Quadrat.“

    Achte darauf, dass ein Minuszeichen vor einer Klammer in der Klammer jedes Vorzeichen vertauscht.

    Du kannst den Nenner in der Form $(u(x))^2$ stehen lassen und musst diesen nicht ausmultiplizieren.

    Lösung

    Um die Quotientenregel anzuwenden, wird die Ableitung sowohl des Zählers als auch des Nenners der Funktion

    $f(x)=\frac{3x^2+2}{x^2+1}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}$

    benötigt. Diese sind

    • $(3x^2+2)'=6x$ sowie
    • $(x^2+1)'=2x$.
    Somit ist

    $\begin{align*} f'(x)&=\frac{6x\cdot (x^2+1)-(3x^2+2)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}\\ &=\frac{12x^2+6x-6x^2-4x}{(x^2+1)^2}\\ &=\frac{6x^2+2x}{(x^2+1)^2}. \end{align*}$

  • Entscheide, ob die Ableitung richtig ist oder falsch.

    Tipps

    Verwende die Quotientenregel:

    $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

    Vereinfache den jeweiligen Term so weit als möglich.

    Es gilt:

    $\left((x+1)^2\right)'=2(x+1)$.

    Zwei der vier Ableitungen sind richtig.

    Lösung

    Bei jeder der Funktionen wird die Quotientenregel angewendet:

    $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

    Betrachten wir zunächst die Ableitung der Funktion

    $f(x)=\frac{2x-1}{x^2}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$:

    $\begin{align*} f'(x)&=\frac{2x^2-(2x-1)\cdot 2x}{x^4}\\ &=\frac{-2x^2+2x}{x^4}\\ &=\frac{-2x+2}{x^3}. \end{align*}$

    Nun die Ableitung der zweiten Funktion:

    $f(x)=\frac{2x-1}{x}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$:

    $\begin{align*} f'(x)&=\frac{2x-(2x-1)\cdot 1}{x^2}\\ &=\frac{1}{x^2}. \end{align*}$

    Es folgt die Ableitung von

    $f(x)=\frac{2x-1}{x^2+2}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}$:

    $\begin{align*} f'(x)&=\frac{2(x^2+2)-(2x-1)\cdot 2x}{(x^2+2)^2}\\ &=\frac{-2x^2+2x+4}{(x^2+2)^2}. \end{align*}$

    Bei der Funktion

    $f(x)=\frac{2x}{(x+1)^2}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$:

    $\begin{align*} f'(x)&=\frac{2(x+1)^2-2x\cdot2\cdot(x+1)}{(x+1)^4}\\ &=\frac{2(x+1)-4x}{(x+1)^3}\\ &=\frac{-2x+2}{(x+1)^3}. \end{align*}$

    müssen wir zusätzlich die Kettenregel $\left((x+1)^2\right)'=2(x+1)$ verwenden sowie mit dem Faktor $x+1$ kürzen.

  • Ergänze die Produktregel.

    Tipps

    Ein Spezialfall der Produktregel ist die Faktorregel:

    $(r\cdot f(x))'=r\cdot f'(x)$.

    Die Reihenfolge bei der Produktregel ist, anders als bei der Quotientenregel, nicht von Bedeutung.

    Es ist egal, ob du $u\cdot v$ oder $v\cdot u$ ableitest.

    Lösung

    Die Regel, um ein Produkt aus zwei Funktionen

    $f(x)=u(x)\cdot v(x)$

    abzuleiten, lautet:

    $f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$.

    Die Kurzschreibweise lautet:

    $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$.

  • Gib eine Formel an, um Funktionen der Form $f(x)=\frac1{(ax+b)^n}$ abzuleiten.

    Tipps

    Du kannst entweder die Funktion mit negativem Exponenten schreiben und die Kettenregel anwenden oder die Quotientenregel und die Kettenregel anwenden.

    Die Ableitung einer Konstanten ist $0$.

    Potenzen werden potenziert, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird.

    Lösung

    Bei der Funktion

    $f(x)=\frac1{(ax+b)^n}$, $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac ba\right\}$

    ist

    • der Zähler $1$ und somit dessen Ableitung $0$ sowie
    • der Nenner $(ax+b)^n$ und dessen Ableitung $n\cdot (ax+b)^{n-1}\cdot a$ nach der Kettenregel.
    Die Ableitung lautet also

    $f'(x)=\frac{0\cdot (ax+b)^n-1\cdot n\cdot (ax+b)^{n-1}\cdot a}{\left((ax+b)^n\right)^2}$.

    Nun können zum einen Potenzregeln angewendet sowie gekürzt werden zu:

    $f'(x)=\frac{- n\cdot (ax+b)^{n-1}\cdot a}{(ax+b)^{2n}}=-\frac{a\cdot n}{(ax+b)^{n+1}}$.

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