Ableitung der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus

Ableitung der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus Übung

• Gib jeweils die Ableitung der Funktionsgleichung $f(x)$ an.

  Tipps

  Koeffizienten bleiben beim Ableiten erhalten.

  Leite jede Gleichung einzeln ab.

  Achte auf die Vorzeichen!

  Die Ableitung der Funktionsgleichung $f(x)=sin(x)$ lautet $f'(x)=cos(x)$.

  Die Ableitung der Funktionsgleichung $f(x)=cos(x)$ lautet $f'(x)=-sin(x)$.

  Lösung

  Wir gehen die Funktionen einzeln durch und bestimmen ihre Ableitungen:

  • $f(x) = -9\cdot sin(x)$: Der Koeffizient $-9$ bleibt erhalten und die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Daher lautet die Ableitung insgesamt; $f'(x)=-9 \cdot cos(x)$
  • $f(x)=5x-cos(x)$: Hier wird jeder Term einzeln abgeleitet. Die Ableitung von $5x$ ist $5$, die Ableitung von $cos(x)$ ist $-sin(x)$. Die Ableitung lautet insgesamt also $f'(x) = 5 + sin(x)$.
  • $f(x)=3\cdot sin(x) + \frac{1}{2}\cdot cos(x)$: Der Koeffizient $3$ bleibt erhalten. Die Ableitung lautet insgesamt also: $f'(x)=3\cdot cos(x) - \frac{1}{2} \cdot sin(x)$.

• Beschreibe den Verlauf der beiden Funktionen.

  Tipps

  Sieh in der Abbildung nach, zwischen welchen $y$-Werten sich der Graph bewegt.

  An welchen Stellen haben die Graphen besondere Merkmale wie Hoch- oder Tiefpunkte und Nullstellen?

  Nullstellen sind die Schnittpunkte des Graphen mit der $x$-Achse.

  Lösung

  Die beiden Funktionen $f(x)=sin(x)$ und $f(x)=cos(x)$ sehen vom Verlauf her fast gleich aus: Sie sind nur gegeneinander verschoben. Ihre Funktionswerte liegen zwischen den Werten $-1$ und $1$, das kannst du in der Grafik gut erkennen. Beide Funktionen sind periodische Funktionen mit der Periodenlänge von $2\pi$. Das bedeutet, der Funktionsverlauf wiederholt sich regelmäßig nach $2\pi$.

  Wenn du die Graphen genauer anschaust, erkennst du Folgendes: Der Funktionsgraph der Sinusfunktion startet bei $0$ für $x=0$ und erreicht bei $x=\frac{1}{2} \pi$ den Hochpunkt. Dann schneidet er die $x$-Achse bei $x=\pi$. Dort besitzt die Funktion also eine Nullstelle. Der Graph erreicht den Tiefpunkt bei $x= \frac{3}{2} \pi$ und schneidet die $x$-Achse erneut bei $x=2 \pi$. Hier beginnt eine neue Periode.

  Der Graph der Kosinusfunktion ist dazu um $\frac{1}{2} \pi$ verschoben.

• Wende die Ableitungsregeln für die trigonometrischen Funktionen auf die Funktionsgleichung $g(x)$ an.

  Tipps

  Wie lauten die Ableitungsregeln für die trigonometrischen Funktionen $sin(x)$ und $cos(x)$?

  Koeffizienten bleiben beim Ableiten erhalten.

  Was passiert beim Ableiten mit einem konstanten Term?

  Achte auf die Vorzeichen!

  Lösung

  Um die Ausgangsfunktion $g(x) = -3\cdot sin(x)+cos(x)+5$ abzuleiten, gehe folgendermaßen vor:

  • Der Koeffizient $-3$ bleibt beim Ableiten erhalten.
  • Aus $sin(x)$ wird $cos(x)$, aus $cos(x)$ wird hingegen $-sin(x)$.
  • Der Summand $+5$ fällt beim Ableiten weg.

  Insgesamt ergibt sich damit die Ableitung:

  $g'(x)=-3\cdot cos(x)-sin(x)$.

• Bestimme die Ableitungen der gegebenen Funktionen.

  Tipps

  Koeffizienten bleiben beim Ableiten erhalten.

  Der Graph der Ableitung von $cos(x)$ sieht genau so aus wie der an der $x$-Achse gespiegelte Graph von $sin(x)$.

  Leite jeden Term einzeln ab.

  Achte auf die Vorzeichen!

  Lösung

  Allgemein gilt: Die Ableitung von $f(x)=sin(x)$ ist $f'(x)=cos(x)$ und die Ableitung von $f(x)=cos(x)$ ist $f'(x)=-sin(x)$.

  Koeffizienten bleiben jeweils erhalten, konstante Terme fallen beim Ableiten hingegen weg.

  Für $f(x)= 12\cdot sin(x)+5\cdot x$ teilst du die Gleichung in die Terme $12\cdot sin(x)$ und $5\cdot x$ und leitest einzeln ab.

  Im ersten Term bleibt der Koeffizient erhalten; $sin(x)$ leitest du zu $cos(x)$ ab. Die Ableitung des Terms lautet also $12\cdot cos(x)$.

  Den zweiten Term kannst du bereits schon länger ableiten; die Ableitung lautet $5$.

  Für $f(x)= 12\cdot sin(x)+5\cdot x$ ist die Ableitung also $f'(x)= 12\cdot cos(x)+5$.

  Gehe so auch für die anderen Funktionsgleichungen vor.

• Prüfe, welche Aussagen stimmen.

  Tipps

  Skizziere dir den Verlauf der Sinus- und der Kosinusfunktion.

  In einer Periode liegen jeweils zwei Nullstellen, ein Hochpunkt und ein Tiefpunkt.

  Der Graph der Ableitung von $f(x)=cos(x)$ sieht aus wie der an der $x$-Achse gespiegelte Graph von $f(x)=sin(x)$.

  Lösung

  Die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion sehen fast gleich aus. Allerdings sind sie auf der $x$-Achse gegeneinander verschoben. Daher verschieben sich auch Hoch- und Tiefpunkte sowie Nullstellen: Die Nullstellen der Kosinusfunktion liegen genau bei den Hoch- und Tiefpunkten der Sinusfunktion (und anders herum).

  Bei Hoch- und Tiefpunkten von Funktionen ist die Steigung gleich Null. Daher haben Funktionsgraphen in diesem Punkt eine waagerechte Tangente.

  Die Ableitung von $f(x)=sin (x)$ lautet $f' (x)=cos(x)$. Die Ableitung von $f(x)=cos (x)$ sieht aus wie der an der $x$-Achse gespiegelte Graph von $f(x)=sin(x)$. Sie lautet $f' (x)=-sin(x)$.

• Berechne jeweils die Steigung des Graphen der Funktionen $f$, $g$ und $h$ an der Stelle $x=\pi$.

  Tipps

  Wie hängen die Steigung einer Funktion und die erste Ableitung dieser Funktion zusammen?

  Welchen Wert musst du in die Ableitung der Funktionsgleichung einsetzen?

  Achte auf die Vorzeichen!

  Koeffizienten bleiben beim Ableiten erhalten!

  Die Ableitung der Funktion $f(x)=cos(x)$ ist $f'(x)=-sin(x)$.

  Lösung

  Um die Steigung einer Funktion an einer Stelle bestimmen zu können, bilden wir die erste Ableitung der Funktionsgleichung.

  Die erste Ableitung von $f(x)=-8\cdot sin(x)$ lautet $f'(x)=-8\cdot cos(x)$.

  Die erste Ableitung von $g(x)=3+cos(x)$ lautet $g'(x)=-sin(x)$.

  Die erste Ableitung von $h(x)=4x-sin(x)$ lautet $h'(x)=4-cos(x)$.

  Um nun jeweils die Steigung an der Stelle $x=\pi$ bestimmen zu können, setzen wir $x=\pi$ in die erste Ableitung ein:

  $f'(\pi)=-8\cdot cos(\pi)=-8\cdot (-1)=8$,

  $g'(\pi)=-sin(\pi)=0$ und

  $h'(\pi)=4-cos(\pi)=4-(-1)=5$.