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Produktregel – Einführung

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Team Digital
Produktregel – Einführung
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Produktregel – Einführung

Inhalt

Was ist die Produktregel?

In Mathe kommt die Produktregel bei der Ableitung von Funktionen vor, die als Produkt anderer Funktionen geschrieben werden können. Die Funktion $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ ist das Produkt der Funktionen $u$ und $v$. Die Produktregel erklärt, wie sich die Ableitung des Produktes aus den Ableitungen der Faktoren zusammensetzt.

Produktregel – Formel

Die Ableitung der Funktion $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ ist durch folgende Formel gegeben:

$f' = (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Hierbei ist $u'$ die Ableitung der Funktion $u$ und $v'$ die Ableitung der Funktion $v$. Du kannst die Formel der Produktregel auch für die Auswertung der Funktionen an der Stelle $x$ aufschreiben:

Produktregel – Formel

Produktregel – Beispiel

Die Funktion $f(x) = x \cdot \sqrt{x}$ ist das Produkt der Funktionen $u(x) = x$ und $v(x) = \sqrt{x}$. Der Definitionsbereich der Funktionen $v$ und $f$ ist $\mathbb D = \mathbb R^{+}$, denn die Wurzel einer negativen Zahl ist nicht definiert. Bei $x=0$ können wir die Funktion $v$ zwar definieren, aber nicht differenzieren. Für die Anwendung der Kettenregel berechnen wir die Ableitungen der Funktionen $u$ und $v$:

$u(x) = x \qquad \implies \qquad u'(x) = 1 \newline v(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \qquad \implies \qquad v'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Mit der Formel aus der Produktregel erhalten wir die Ableitung der Funktion $f$, indem wir die Funktionen und ihre Ableitungen einsetzen:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 1 \cdot \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$

Zur Überprüfung des Ergebnisses kannst du die Ableitung der Funktion $f(x) = x \cdot \sqrt{x}$ auch mit der Potenzregel berechnen, denn die Funktion $f$ ist eine Potenzfunktion:

$f(x) = x^{1} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}} =x^{\frac{3}{2}}$

Für eine beliebige Potenzfunktion $g(x) = x^{n}$ gilt die Potenzregel:

$g'(x) = (x^{n})' = n \cdot x^{n-1}$

Angewendet auf die Potenz $n = \frac{3}{2}$ erhältst du:

$f'(x) = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}$

Dieses Ergebnis stimmt genau mit dem Ergebnis aus der Anwendung der Produktregel überein. Dass du die Ableitung einer Funktion auf verschiedene Arten ausrechnen kannst – wie hier mit der Produktregel oder mit der Potenzregel – ist eine sehr spezielle Situation. Für die meisten Funktionen hast du keine Auswahl, welche Ableitungsregeln du anwenden kannst.

Transkript Produktregel – Einführung

In der Wirtschaft geht es immer um Produkte, Produkte, Produkte. Und dabei heißt es, der Markt würde alles von alleine regeln – kapitalistisches Geschwätz! Mathematiker aller Länder, vereinigt euch! Wir fordern die „Produktregel“. So oder so ähnlich können wir uns wohl die Einführung der Produktregel vorstellen. Spaß beiseite Wozu brauchen wir die Produktregel eigentlich? Es geht um das Ableiten. Schauen wir uns zunächst mal eine normale ganzrationale Funktion an, wie diese hier. Wie wir die ableiten, wissen wir. Wir können jeden Summanden einzeln betrachten, und jeweils mit der Potenzregel ableiten. „Exponenten als Faktor nach vorne ziehen und um eins verringern.“ Easy! Aber was ist, wenn – wie bei dieser Funktion – zwischen den verschieden x-Termen kein Plus- sondern ein Malzeichen steht? Nun, wir können ja auch hier mal jeden Faktor einzeln ableiten. Schon haben wir die Ableitung! Oder? Wenn wir genau hinschauen, fällt uns auf, dass hier etwas nicht aufgeht. Schließlich können wir die beiden Faktoren der Ausgangsfunktion auch einfach miteinander multiplizieren. Und wie wir diese Funktion ableiten, können wir mit Sicherheit sagen. Das muss „neun x Quadrat“ ergeben. Unser vorheriges Ergebnis ist also falsch! Wenn wir es mit einem Produkt und nicht mit einer Summe zu tun haben, können wir offensichtlich nicht einfach die Faktoren einzeln ableiten. Um ein Produkt abzuleiten, bei dem beide Faktoren von x abhängig sind und das Ausmultiplizieren nicht so einfach weiterhilft – wie bei dieser Funktion – brauchen wir daher die Produktregel! Wie sie funktioniert, schauen wir uns an diesem Beispiel an. Zuerst machen wir eine Nebenrechnung: Wir leiten „x Quadrat plus eins“ und „Wurzel x“ jeweils einzeln ab. „X Quadrat plus eins“ abgeleitet ergibt „zwei x“, und „Wurzel x“ abgeleitet ist „eins durch zwei mal Wurzel x“. Diese beiden einzelnen Ableitungen brauchen wir dann als Bausteine für die gesamte Ableitungsfunktion. Jetzt nehmen wir nämlich zuerst die erste Ableitung „zwei x“ und multiplizieren sie mit „Wurzel x“. Den zweiten Faktor behalten wir also einfach bei. Dann schnappen wir uns den ersten Faktor – „x Quadrat plus eins“ – so, wie er ist und multiplizieren ihn mit der Ableitung von „Wurzel x“. Anschließend müssen wir diese beiden Produkte nur noch addieren und fertig ist unsere Ableitungsfunktion. Zugegeben: Das sieht erstmal etwas ungewöhnlich aus. Aber wir können ja nochmal einen Blick auf unsere vorherige Funktion werfen und diese nach dem gleichen Prinzip ableiten. Die einzelnen Faktoren hatten wir ja schon abgeleitet. Dann multiplizieren wir wieder die Ableitung des ersten Faktors mit dem zweiten Faktor und addieren das Produkt von dem ersten Faktor und der Ableitung des zweiten Faktors. Wir vereinfachen und siehe da: Wir kommen auf das richtige Ergebnis! Um uns die Produktregel gut merken zu können, geben wir den einzelnen Faktoren und deren Ableitungen mal Namen.
Den ersten nennen wir „u von x“, den zweiten „v von x“. Allgemein gilt dann für die Ableitung von „u mal v“: „u-Strich mal v plus u mal v-Strich“. Diese Regel können wir für alle Funktionen anwenden, deren Term wir als Produkt schreiben können, bei dem beide Faktoren von x abhängig sind. Bei dieser Funktion handelt es sich zum Beispiel eindeutig um ein Produkt, das wir mit der Produktregel ableiten können. Aber auch wenn wir genau hinschauen müssen, um die Faktoren zu erkennen – wie bei dieser, und dieser Funktion – können wir manchmal ein Produkt beziehungsweise zwei Faktoren ausfindig machen und daher mit der Produktregel ableiten. Wie du siehst, benötigt das Ganze ein bisschen Übung! Wir fassen das Gelernte aber erstmal zusammen. Wenn wir eine Funktion gegeben haben, die sich aus dem Produkt von zwei Teilfunktionen – u von x und v von x – zusammensetzt, können wir diese mit der Produktregel „u-Strich mal v plus u mal v-Strich“ ableiten. Konkret heißt das: Bei einer gegebenen Funktion müssen wir zunächst die beiden Faktoren erkennen. Diese leiten wir dann einzeln ab. Anschließend setzen wir die entsprechenden Terme in die Formel ein. Wir können noch vereinfachen, und fertig ist die Ableitung. Mit der Produktregel haben wir ein weiteres wichtiges Werkzeug zur Hand, mit dem wir in die Massenproduktion von Ableitungen einsteigen können. Zumindest wenn uns kein Rechenfehler sabotiert.

Produktregel – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Produktregel – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie ein Produkt abgeleitet wird.

    Tipps

    Die abzuleitende Funktion muss die Form $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ haben.

    Zuerst sammeln wir alle Elemente, die für die Ableitung von $f$ nötig sind und setzen dann alles in die Formel der Produktregel ein.

    Lösung

    Wenn wir eine Funktion der Form $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ ableiten wollen, identifizieren wir zuerst die einzelnen Teilfunktionen $u(x)$ und $v(x)$. Diese Teilfunktionen leiten wir jeweils getrennt voneinander ab und erhalten damit $u^\prime(x)$ und $v^\prime(x)$.

    Nun haben wir alle Bausteine, um die Ableitung $f^\prime(x)$ aufzustellen. Dafür setzen wir die Teilfunktionen $u(x)$ und $v(x)$ zusammen mit ihren Ableitungen $u^\prime(x)$ und $v^\prime(x)$ in die folgende Funktion ein:

    $f^\prime(x) = u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x)$.

    Damit erhalten wir die Ableitung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ mithilfe der Produktregel.

  • Bestimme die Ableitung mithilfe der Produktregel.

    Tipps

    Die Funktion $f$ wird mit einem Multiplikationsoperator in zwei Teile geteilt.

    Leite beide Teilfunktionen mithilfe der Potenzregel ab.

    Überlege, welche Elemente für die Formel der Produktregel notwendig sind und setze sie ein.

    Lösung

    Die Funktion $f(x)$ ist ein Produkt mit den Faktoren $u(x)$ und $v(x)$. Um die Ableitung von $f$ zu erhalten, müssen wir beide Faktoren jeweils einzeln ableiten und sie zusammen mit ihren Ableitungen $u^\prime(x)$ und $v^\prime(x)$ in die Formel der Produktregel $f^\prime(x) = u^\prime(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v^\prime(x)$ einsetzen. Das Ergebnis kann, falls möglich, dann noch weiter zusammengefasst werden.

    Beispiel

    Die Funktion $f(x) = (x^2 + 1)\cdot \sqrt x$ enthält die Faktoren

    $u(x) = x^2 +1$ und $v(x) = \sqrt x$ mit den Ableitungen $u^\prime(x) = 2x$ und $v^\prime(x) = \frac{1}{2\sqrt x}$.

    Daraus erhalten wir die Ableitung: $f^\prime(x) = 2x \cdot \sqrt x + (x^2 + 1)\cdot \frac{1}{2\sqrt x}$.

    Das Ergebnis können wir jetzt noch weiter vereinfachen, indem wir die Klammer im zweiten Term auflösen:

    $f^\prime(x) = 2x\cdot \sqrt x + \frac{x^2}{2\sqrt x} + \frac{1}{2\sqrt x}$.

    Außerdem können wir den ersten Term mit $2\sqrt x$ erweitern, um alle Terme auf den gleichen Nenner zu bringen:

    $\large{f^\prime(x) = \frac{4x {\sqrt x}^2}{2\sqrt x} + \frac{x^2}{2\sqrt x} + \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{4x^2}{2\sqrt x} + \frac{x^2}{2\sqrt x} + \frac{1}{2\sqrt x}}$.

    Als Letztes können wir die Brüche addieren:

    $\large{f^\prime(x) = \frac{4x^2 + x^2 + 1}{2\sqrt x} = \frac{5x^2 +1}{2\sqrt x}}$.

  • Ermittle die Ableitung mithilfe der Produktregel.

    Tipps

    Die Formel der Produktregel lautet $f^\prime(x) = u^\prime(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v^\prime(x)$.

    Versuche die Ableitung durch Ausklammern in eine andere Form zu bringen.

    Achte auf die Vorzeichen bei den trigonometrischen Funktionen.

    Die Ableitung von $e^x$ ist $e^x$.

    Die Ableitung von $\sin(x)$ ist $\cos(x)$ und die Ableitung von $\cos(x)$ ist $-\sin(x)$.

    Lösung

    Das Vorgehen ist immer dasselbe. Zuerst ermitteln wir die einzelnen Faktoren, dann leiten wir sie ab und setzen sie in die Formel für die Produktregel ein. Am Ende können wir die Formel noch vereinfachen oder umstellen.

    Für die Funktion $f(x) = \underbrace{5x^3}_{u(x)}\cdot \underbrace{e^x}_{v(x)}$ erhalten wir die Ableitung $f^\prime(x) = \underbrace{15x^2}_{u^\prime(x)}\cdot \underbrace{e^x}_{v(x)} + \underbrace{5x^3}_{u(x)}\cdot \underbrace{e^x}_{v^\prime(x)}$.

    Wenn wir $e^x$ ausklammern, erhalten wir $f^\prime(x) = (15x^2 + 5x^3)\cdot e^x $.

    Die Funktion $f(x) = \underbrace{\sin(x)}_{u(x)}\cdot \underbrace{\cos(x)}_{v(x)}$ besitzt die Ableitung

    $f^\prime(x) = \underbrace{\cos(x)}_{u^\prime(x)}\cdot \underbrace{\cos(x)}_{v(x)} + \underbrace{\sin(x)}_{u(x)}\cdot \underbrace{(-\sin(x))}_{v^\prime(x)} = \cos^2(x) - \sin^2(x)$.

    Achtung: Die Ableitung von $\cos(x)$ ist $-\sin(x)$.

    Für die Funktion $f(x) = \underbrace{\frac{1}{x}}_{u(x)}\cdot \underbrace{(3x^4 + 6x + 2)}_{v(x)}$ erhalten wir auf die gleiche Weise die Ableitung

    $f^\prime(x) = \underbrace{-\frac{1}{x^2}}_{u^\prime(x)}\cdot \underbrace{(3x^4 + 6x + 2)}_{v(x)} + \underbrace{\frac{1}{x}}_{u(x)}\cdot \underbrace{(12x^3 + 6x)}_{v^\prime(x)}$.

    Dieses Ergebnis können wir noch weiter vereinfachen, indem wir die Klammern auflösen und zusammenfassen:

    $f^\prime(x) =-\frac{1}{x^2}\cdot (3x^4 + 6x + 2) + \frac{1}{x}\cdot (12x^3 + 6x) = -3x^2 -\frac{6}{x} - \frac{2}{x^2} + 12x^2 + \frac{6}{x} = 9x^2 - \frac{2}{x^2}$.

    Alternativ: Hier können wir auch zuerst die Klammern auflösen und dann die Ableitung mithilfe der Potenzregel berechnen, statt die Produktregel anzuwenden. Die Ableitung lässt sich dann folgendermaßen bestimmen:

    $f(x) = \frac{1}{x}\cdot (3x^4 + 6x + 2) = 3x^3 + 6 + \frac{2}{x}$

    $f^\prime(x) = 9x^2 - \frac{4}{2x^2} = 9x^2 - \frac{2}{x^2}$.

    Die Funktion $f(x) = \underbrace{x^3}_{u(x)}\cdot \underbrace{\sin(x)}_{v(x)}$ gibt mit der Formel der Produktregel folgende Ableitung:

    $f^\prime(x) = \underbrace{3x^2}_{u^\prime(x)}\cdot \underbrace{\sin(x)}_{v(x)} + \underbrace{x^3}_{u(x)}\cdot \underbrace{\cos(x)}_{v^\prime(x)}$.

    Hier können wir $x^2$ aus beiden Produkten ausklammern, um die gewünschte Form zu erhalten:

    $f^\prime(x) = x^2\cdot (3\sin(x) + x\cos(x))$.

  • Bestimme die ersten zwei Ableitungen mithilfe der Produktregel.

    Tipps

    Schreibe den Bruch als Multiplikation.

    Durch $2x^2$ zu teilen ist das gleiche wie mit $\frac{1}{2x^2}$ zu multiplizieren.

    Lösung

    Wir identifizieren zuerst die beiden Faktoren:

    $u(x) = \frac{1}{2x^2}$ und $v(x) = 3\cos(x)$.

    Dann bestimmen wir die Ableitungen der beiden Faktoren:

    $u^\prime(x) = -\frac{2}{2x^3} = -\frac{1}{x^3}$ und $v^\prime(x) = -3\sin(x)$.

    Die Ableitung von $f$ setzt sich dann mithilfe der Produktregel folgendermaßen zusammen:

    $f^\prime(x) = -\frac{1}{x^3}\cdot 3\cos(x) + \frac{1}{2x^2}\cdot (-3\sin(x)) = -\frac{3}{x^3}\cos(x) - \frac{3}{2x^2}\sin(x)$.

    Da sich bei der Ausgangsfunktion nach dem ersten Ableiten die Produkte nicht auflösen, müssen wir auch beim zweiten Ableiten die Produktregel verwenden. Diesmal haben wir zwei Produkte statt einem und müssen daher vier Faktoren in $f^\prime$ identifizieren:

    $u_2(x) = -\frac{1}{x^3}$

    $v_2(x) = 3\cos(x)$

    $\bar{u}_2(x) = \frac{1}{2x^2}$

    $\bar{v}_2(x) = -3\sin(x)$.

    Diese Teilfunktionen können wir jetzt jeweils ableiten:

    $u^\prime_2(x) = \frac{3}{x^4}$

    $v^\prime_2(x) = -3\sin(x)$

    $\bar{u}^\prime_2(x) = -\frac{1}{x^3}$

    $\bar{v}^\prime_2(x) = -3\cos(x)$.

    Schließlich führen wir alles zusammen für die zweite Ableitung von $f$:

    $f^{\prime\prime}(x) = \frac{3}{x^4}\cdot 3\cos(x) + (-\frac{1}{x^3})\cdot (-3\sin(x)) + (-\frac{1}{x^3})\cdot (-3\sin(x)) + \frac{1}{2x^2}\cdot -3\cos(x)$.

  • Bestimme die einzelnen Teile in der Formel der Produktregel.

    Tipps

    Die Formel der Produktregel lautet $f^\prime(x) = u^\prime(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v^\prime(x)$.

    Lösung

    Um die einzelnen Elemente der Produktregel zu bekommen, identifizieren wir zuerst

    $u(x) = x^2$ und $v(x) = 4x - 5$.

    Diese können wir direkt in der Ableitung erkennen und markieren.

    Dann leiten wir $u$ und $v$ jeweils ab und erhalten

    $u^\prime(x) = 2x$ und $v^\prime(x) = 4$.

    Nun können wir auch diese in der Ableitung von $f$ mithilfe der Formel

    $f^\prime(x) = u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x)\cdot v^\prime(x)$

    markieren.

  • Bestimme die Ableitung und vereinfache soweit wie möglich.

    Tipps

    Die Formel der Produktregel lautet $f^\prime(x) = u^\prime(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v^\prime(x)$.

    Für eine Funktion $f(x) = u(x)\cdot v(x)\cdot w(x)$ erhalten wir mithilfe der Produktregel die Ableitung $f^\prime(x) = u^\prime(x)\cdot (v(x)\cdot) + u(x)\cdot (v^\prime(x)\cdot w(x) + v(x)\cdot w^\prime(x))$.

    Lösung

    Beim Verwenden der Produktregel gehen wir immer auf die gleiche Weise vor, auch wenn wir diese mehrfach anwenden müssen. Für eine Funktion

    $f(x) = x^4 \cdot e^x \cdot \ln(x)$

    können wir zuerst die Teilfunktionen $u(x) = x^4$ und $v(x) = e^x \cdot \ln(x)$ identifizieren und damit die Formel der Produktregel verwenden:

    $f^\prime(x) = u^\prime(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v^\prime(x)$.

    Bis auf $v^\prime(x)$ können wir hier schon alles einsetzen:

    $f^\prime(x) = 4x^3\cdot e^x\cdot \ln(x) + x^4 \cdot v^\prime(x)$.

    Um $v^\prime(x)$ zu bestimmen, müssen wir nochmal die Produktregel anwenden:

    $v^\prime(x) = e^x \cdot \ln(x) + e^x \cdot \frac{1}{x}$

    Das können wir jetzt auch in $f^\prime$ einsetzen, um die Ableitung von $f$ zu erhalten:

    $f^\prime(x) = 4x^3\cdot e^x\cdot \ln(x) + x^4 \cdot (e^x \cdot \ln(x) + e^x \cdot \frac{1}{x})$.

    Dieses Ergebnis können wir nun noch weiter vereinfachen und Elemente, die in allen Termen vorkommen ausklammern. Wir sehen, dass $x^3$ und $e^x$ in allen Termen vorkommen und ziehen diese deshalb vor die Klammer. Außerdem können wir den Term $x^4 \cdot \frac{1}{x}$ zu $x^3$ vereinfachen.

    $f^\prime(x) = x^3 \cdot e^x (4\ln(x) + x\cdot \ln(x) + 1)$.

    Damit erhalten wir die vereinfachte Form der Ableitung von $f$.

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