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Team Digital
Produktregel – Einführung
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Grundlagen zum Thema Produktregel – Einführung

Inhalt

Was ist die Produktregel?

In Mathe kommt die Produktregel bei der Ableitung von Funktionen vor, die als Produkt anderer Funktionen geschrieben werden können. Die Funktion $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ ist das Produkt der Funktionen $u$ und $f$. Die Produktregel erklärt, wie sich die Ableitung des Produktes aus den Ableitungen der Faktoren zusammensetzt.

Produktregel – Formel

Die Ableitung der Funktion $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ ist durch folgende Formel gegeben:

$f' = (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Hierbei ist $u'$ die Ableitung der Funktion $u$ und $v'$ die Ableitung der Funktion $v$. Du kannst die Formel der Produktregel auch für die Auswertung der Funktionen an der Stelle $x$ aufschreiben:

Produktregel – Formel

Produktregel – Beispiel

Die Funktion $f(x) = x \cdot \sqrt{x}$ ist das Produkt der Funktionen $u(x) = x$ und $v(x) = \sqrt{x}$. Der Definitionsbereich der Funktionen $v$ und $f$ ist $\mathbb D = \mathbb R^{+}$, denn die Wurzel einer negativen Zahl ist nicht definiert. Bei $x=0$ können wir die Funktion $v$ zwar definieren, aber nicht differenzieren. Für die Anwendung der Kettenregel berechnen wir die Ableitungen der Funktionen $u$ und $v$:

$u(x) = x \qquad \implies \qquad u'(x) = 1 \newline v(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \qquad \implies \qquad v'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Mit der Formel aus der Produktregel erhalten wir die Ableitung der Funktion $f$, indem wir die Funktionen und ihre Ableitungen einsetzen:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 1 \cdot \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$

Zur Überprüfung des Ergebnisses kannst du die Ableitung der Funktion $f(x) = x \cdot \sqrt{x}$ auch mit der Potenzregel berechnen, denn die Funktion $f$ ist eine Potenzfunktion:

$f(x) = x^{1} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}} =x^{\frac{3}{2}}$

Für eine beliebige Potenzfunktion $g(x) = x^{n}$ gilt die Potenzregel:

$g'(x) = (x^{n})' = n \cdot x^{n-1}$

Angewendet auf die Potenz $n = \frac{3}{2}$ erhältst du:

$f'(x) = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}$

Dieses Ergebnis stimmt genau mit dem Ergebnis aus der Anwendung der Produktregel überein. Dass du die Ableitung einer Funktion auf verschiedene Arten ausrechnen kannst – wie hier mit der Produktregel oder mit der Potenzregel – ist eine sehr spezielle Situation. Für die meisten Funktionen hast du keine Auswahl, welche Ableitungsregeln du anwenden kannst.

Transkript Produktregel – Einführung

In der Wirtschaft geht es immer um Produkte, Produkte, Produkte. Und dabei heißt es, der Markt würde alles von alleine regeln – kapitalistisches Geschwätz! Mathematiker aller Länder, vereinigt euch! Wir fordern die „Produktregel“. So oder so ähnlich können wir uns wohl die Einführung der Produktregel vorstellen. Spaß beiseite Wozu brauchen wir die Produktregel eigentlich? Es geht um das Ableiten. Schauen wir uns zunächst mal eine normale ganzrationale Funktion an, wie diese hier. Wie wir die ableiten, wissen wir. Wir können jeden Summanden einzeln betrachten, und jeweils mit der Potenzregel ableiten. „Exponenten als Faktor nach vorne ziehen und um eins verringern.“ Easy! Aber was ist, wenn – wie bei dieser Funktion – zwischen den verschieden x-Termen kein Plus- sondern ein Malzeichen steht? Nun, wir können ja auch hier mal jeden Faktor einzeln ableiten. Schon haben wir die Ableitung! Oder? Wenn wir genau hinschauen, fällt uns auf, dass hier etwas nicht aufgeht. Schließlich können wir die beiden Faktoren der Ausgangsfunktion auch einfach miteinander multiplizieren. Und wie wir diese Funktion ableiten, können wir mit Sicherheit sagen. Das muss „neun x Quadrat“ ergeben. Unser vorheriges Ergebnis ist also falsch! Wenn wir es mit einem Produkt und nicht mit einer Summe zu tun haben, können wir offensichtlich nicht einfach die Faktoren einzeln ableiten. Um ein Produkt abzuleiten, bei dem beide Faktoren von x abhängig sind und das Ausmultiplizieren nicht so einfach weiterhilft – wie bei dieser Funktion – brauchen wir daher die Produktregel! Wie sie funktioniert, schauen wir uns an diesem Beispiel an. Zuerst machen wir eine Nebenrechnung: Wir leiten „x Quadrat plus eins“ und „Wurzel x“ jeweils einzeln ab. „X Quadrat plus eins“ abgeleitet ergibt „zwei x“, und „Wurzel x“ abgeleitet ist „eins durch zwei mal Wurzel x“. Diese beiden einzelnen Ableitungen brauchen wir dann als Bausteine für die gesamte Ableitungsfunktion. Jetzt nehmen wir nämlich zuerst die erste Ableitung „zwei x“ und multiplizieren sie mit „Wurzel x“. Den zweiten Faktor behalten wir also einfach bei. Dann schnappen wir uns den ersten Faktor – „x Quadrat plus eins“ – so, wie er ist und multiplizieren ihn mit der Ableitung von „Wurzel x“. Anschließend müssen wir diese beiden Produkte nur noch addieren und fertig ist unsere Ableitungsfunktion. Zugegeben: Das sieht erstmal etwas ungewöhnlich aus. Aber wir können ja nochmal einen Blick auf unsere vorherige Funktion werfen und diese nach dem gleichen Prinzip ableiten. Die einzelnen Faktoren hatten wir ja schon abgeleitet. Dann multiplizieren wir wieder die Ableitung des ersten Faktors mit dem zweiten Faktor und addieren das Produkt von dem ersten Faktor und der Ableitung des zweiten Faktors. Wir vereinfachen und siehe da: Wir kommen auf das richtige Ergebnis! Um uns die Produktregel gut merken zu können, geben wir den einzelnen Faktoren und deren Ableitungen mal Namen.
Den ersten nennen wir „u von x“, den zweiten „v von x“. Allgemein gilt dann für die Ableitung von „u mal v“: „u-Strich mal v plus u mal v-Strich“. Diese Regel können wir für alle Funktionen anwenden, deren Term wir als Produkt schreiben können, bei dem beide Faktoren von x abhängig sind. Bei dieser Funktion handelt es sich zum Beispiel eindeutig um ein Produkt, das wir mit der Produktregel ableiten können. Aber auch wenn wir genau hinschauen müssen, um die Faktoren zu erkennen – wie bei dieser, und dieser Funktion – können wir manchmal ein Produkt beziehungsweise zwei Faktoren ausfindig machen und daher mit der Produktregel ableiten. Wie du siehst, benötigt das Ganze ein bisschen Übung! Wir fassen das Gelernte aber erstmal zusammen. Wenn wir eine Funktion gegeben haben, die sich aus dem Produkt von zwei Teilfunktionen – u von x und v von x – zusammensetzt, können wir diese mit der Produktregel „u-Strich mal v plus u mal v-Strich“ ableiten. Konkret heißt das: Bei einer gegebenen Funktion müssen wir zunächst die beiden Faktoren erkennen. Diese leiten wir dann einzeln ab. Anschließend setzen wir die entsprechenden Terme in die Formel ein. Wir können noch vereinfachen, und fertig ist die Ableitung. Mit der Produktregel haben wir ein weiteres wichtiges Werkzeug zur Hand, mit dem wir in die Massenproduktion von Ableitungen einsteigen können. Zumindest wenn uns kein Rechenfehler sabotiert.

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