30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Produktregel – Übung

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Bewertung

Ø 5.0 / 3 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Produktregel – Übung
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Produktregel – Übung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Produktregel anzuwenden, um Funktion abzuleiten.

Zunächst lernst du, bei welchen Funktionen du die Produktregel anwenden solltest. Abschließend erfährst du, wie du die Produktregel anwenden kannst.

Produktregel

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Produktregel, Produkt, Ableitung, Potenz- Faktor- und Summenregel.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits die Potenzregel kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Ableitungen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Quotientenregel zu lernen.

Transkript Produktregel – Übung

Während des Unterrichts wird nicht gegessen! Finger weg vom Smartphone! Und bloß nicht mit dem Sitznachbarn quatschen. Das Leben in der Schule ist hart. An Regeln mangelt es nun wirklich nicht! Und dann kommt da auch noch diese „Produktregel“ um die Ecke, nice. Naja, mit ein bisschen Übung kriegen wir die auch noch gewuppt. Wenn wir ein Produkt ableiten möchten, bei dem beide Faktoren von x abhängig sind, gilt für die Ableitungsfunktion: Ableitung des ersten Faktors mal zweiten Faktor plus ersten Faktor mal Ableitung des zweiten Faktors. Also „abgeleitet mal unabgeleitet“ plus „unabgeleitet mal abgeleitet“. Oder – wenn wir die beiden Faktoren „u von x“ und „v von x“ nennen: „u-Strich mal v plus u mal v-Strich“. Wir können anschließend zusammenfassen und haben dann unser Ergebnis. Na dann mal los! Hier haben wir eine erste Aufgabe – Diese Funktion soll abgeleitet werden. Und das sind vier mögliche Ergebnisse. Welche dieser Ableitungsfunktionen ist tatsächlich richtig? Wir müssen zunächst beide Faktoren einzeln betrachten, und dann jeweils ableiten. Wenn wir „e hoch x“ ableiten ergibt das wieder „e hoch x“. Jetzt kommt die Regel zum Einsatz. Wir bilden „u-Strich mal v plus u mal v-Strich“. Richtig ist also d! Und hier kommt schon das nächste Beispiel! Versuch am Besten erstmal selbst die Funktion abzuleiten. Dann schauen wir uns gemeinsam die Lösung an. Zuerst müssen wir uns wieder klar machen, dass wir es mit zwei Faktoren zu tun haben. Diese können wir wieder u und v nennen, und zunächst einzeln ableiten. Um uns die Arbeit zu erleichtern, können wir „eins durch x“ vorher noch als Potenz umschreiben. Bei „v-Strich“ schreiben wir die Klammern direkt mit, um anschließend nicht durcheinander zu kommen. Und jetzt ist es auch schon fast geschafft! Wir müssen die einzelnen Bausteine nur noch zusammensetzen: „U-Strich mal v plus u mal v-Strich:“ Wir können noch ausmultiplizieren, und vereinfachen. Dass unser Ergebnis tatsächlich stimmt, sehen wir, wenn wir schon bei der Ausgangsfunktion ausmultiplizieren, und dann ableiten. Es soll tatsächlich Leute geben, die diesen Rechenweg leichter finden. Je nachdem wie komplex die vorliegende Funktion ist, lohnt es sich also manchmal, kurz zu überprüfen, ob es nicht eine praktische Alternative zur Produktregel gibt! Eine letzte Übungsrunde. Diese Funktion soll abgeleitet werden. Du kannst das Video wieder kurz pausieren und selber rechnen. Zuerst sollte uns auffallen, dass wir hier eine Summe haben. Die „drei x“ können wir also erstmal ignorieren. Um die kümmern wir uns später. Ein Produkt – wenn auch etwas versteckt – gibt es trotzdem, nämlich hier. Weil beide Faktoren ein x enthalten und uns auch das Ausmultiplizieren nicht weiterhilft, brauchen wir die Produktregel. Wir kümmern uns zuerst um die beiden Faktoren, und leiten sie einzeln ab. Wenn wir den Sinus ableiten, erhalten wir den Cosinus! Dann wenden wir die Produktregel an. Wir dürfen aber nicht die „drei x“ vergessen. Die können wir jetzt ganz einfach mit der Summenregel ableiten. Gar nicht so einfach, da immer den Überblick zu behalten. Daher fassen wir das Wichtigste am besten nochmal kurz zusammen. Die Produktregel kommt zum Einsatz, wenn wir eine Funktion ableiten wollen, die zwei Faktoren enthält, die jeweils von x abhängig sind. Als erstes müssen wir uns also immer klar machen, ob wir zwei solcher Faktoren gegeben haben und wie genau diese aussehen. Manchmal kann es aber auch einfacher sein, die Faktoren auszumultiplizieren und erst anschließend abzuleiten. Haben wir uns darauf festgelegt, die Produktregel anzuwenden, können wir die beiden Faktoren in einem Zwischenschritt zunächst einzeln ableiten. Dann müssen wir die Regel nur noch anwenden. „u-Strich mal v plus u mal v-Strich“. Anschließend können wir noch vereinfachen. Mit diesen Tipps und Tricks ist dann auch das Leben in der Schule nicht mehr ganz so hart. Trotz der ganzen Regeln! Zumindest die Produktregel hat sich jetzt hoffentlich durchgesetzt!

Produktregel – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Produktregel – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die erste Ableitung der Funktion mithilfe der Produktregel an.

    Tipps

    Potenzen werden folgendermaßen abgeleitet:

    $f(x) = a \cdot x^n \quad \rightarrow \quad f'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1}$

    Beispiel: $f(x)=4x^2+8$ und $f^\prime(x)=8x$

    Im letzten Schritt musst du die Teilfunktionen anhand der Produktregel zusammenbringen.

    Lösung

    Die gegebene Funktion besteht aus zwei Faktoren $u(x)=(3x+7)$ und $v(x)=(2x^2+5x)$, die beide von $x$ abhängen. Somit können wir sie mithilfe der Produktregel ableiten.

    Als erstes ordnen wir die Teilfunktionen $u$ und $v$ zu und leiten sie einzeln ab. Anschließend führen wir die Teilfunktionen mit ihren Ableitungen anhand der Produktregel zusammen, um die Ableitung von $f$ zu erhalten.

    $u(x)=(3x+7)$
    $u^\prime(x)=3$
    $v(x)=(2x^2+5x)$
    $v^\prime(x)=4x+5$

    Korrekte Ableitung:

    $f^\prime(x)= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 3 \cdot (2x^2+5x) + (3x+7) \cdot (4x+5)$

    In einem weiteren Schritt können wir die Funktion weiter zusammenfassen. Das Endergebnis wäre hier

    $f^\prime(x)=18x^2+58x+35$.

  • Beschreibe die Produktregel.

    Tipps

    Beispiel: $f(x)= x^2 \cdot (1-x)$ kannst du mit der Produktregel ableiten.

    Beispiel: Die Funktion $f(x)= x^2 + (1-x)$ kannst du nicht mit der Produktregel ableiten.

    Lösung

    Die Produktregel ist eine der Regeln, die wir zur Ableitung von Funktionen benötigen, deren Funktionsterm ein Produkt ist, bei dem beide Faktoren von $x$ abhängen.

    Zuerst müssen wir die einzelnen Faktoren erkennen, anschließend leiten wir sie einzeln ab. Um auf das Ergebnis zu kommen, wenden wir dann die Produktregel an.

    Sie lautet für $f(x) = u(x) \cdot v(x)$:

    $ f^\prime(x) = \color{#99CC00}{\mathbf{u^\prime(x)}} \color{black}{~\cdot~ v(x)~} \color{#99CC00}{\mathbf{+}} \color{#99CC00}{\mathbf{~u(x)}} \color{black}{~\cdot~} \color{#99CC00}{\mathbf{v^\prime(x)}}$

    Das bedeutet, wir multiplizieren zuerst die Ableitung des ersten Faktors mit dem zweiten Faktor und addieren dann das Produkt des ersten Faktors mit der Ableitung des zweiten Faktors.

  • Ermittle die Ableitung der Funktion.

    Tipps

    Die Produktregel lautet:

    $ \Bigl(u(x) \cdot v(x) \Bigr)^\prime = u^\prime(x) \cdot ~ v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x)$.

    Brüche können folgendermaßen zu Potenzen umgewandelt werden:

    $\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}$

    Beispiel: $\dfrac{1}{x^5} = x^{-5}$

    Bei vielen Produkten kann der Term zunächst so vereinfach werden, dass er auch ohne die Produktregel abgeleitet werden kann. Trotzdem ist auch in diesen Fällen eine Ableitung durch Anwendung der Produktregel möglich.

    Lösung

    Bevor wir die Ableitung von $f(x)=x^5 \cdot \frac{1}{x^2}$ bestimmen, betrachten wir zunächst den Funktionsterm genauer.

    Das Produkt $x^5 \cdot \frac{1}{x^2}$ lässt sich beispielsweise mithilfe der Potenzgesetzte zusammenfassen:

    $x^5 \cdot \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^5}{x^2} = x^{5-2} = x^3$

    Die Ableitung lässt sich nun direkt mit der Potenzregel bestimmen: $\color{#99CC00}{f^\prime(x) = 3x^2}$

    Da es sich bei $x^5 \cdot \frac{1}{x^2}$ um ein Produkt aus zwei Faktoren handelt, die beide von $x$ abhängen, können wir die Ableitung natürlich auch durch Anwendung der Produktregel bestimmen:

    $f(x)= x^5 \cdot \dfrac{1}{x^2}$ mit

    $u(x)=x^5$
    $v(x)=\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$

    Mit den Ableitungen:

    $u^\prime(x)=5x^4$
    $v^\prime(x)=-2x^{-3}$

    Einsetzten in die Produktregel liefert:

    $\color{#99CC00}{f^\prime(x) = 5x^4 \cdot x^{-2} + x^5 \cdot (-2x^{-3})}$

    Durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen erhalten wir ebenfalls $f^\prime(x) = 3x$:

    $\begin{array}{ll} f^\prime(x) &= 5x^4 \cdot x^{-2} + x^5 \cdot (-2x^{-3}) \\ &= 5x^2-2x^2 \\ &= 3x^2 \end{array}$

  • Bestimme die Ableitungen mit der Produktregel.

    Tipps

    Die Ableitung von $2e^x$ ist wieder $2e^x$.

    Faktoren, die in mehreren Summanden vorkommen, können wir ausklammern.

    Beispiel:

    $e^x \cdot 3 + e^x \cdot 4 = e^x \cdot (3+4)$

    Die allgemeine Potenzregel lautet:

    $f(x) = a \cdot x^n \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1}$

    Lösung

    Um mit der Produktregel abzuleiten, müssen die beiden Faktoren von $x$ abhängig sein. Die Produktregel lautet: $ \Bigl(u(x) \cdot v(x) \Bigr)^\prime = u^\prime(x) \cdot ~ v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x)$.

    Hinweis: Die Ableitung von $e^x$ ist wieder $e^x$.

    Lösung Aufgabe 1:
    $\begin{array}{rl} f(x) &= x^2 \cdot \sin(x) \\ f^\prime(x) &= 2x \cdot \sin(x)+x^2 \cdot \cos(x) \end{array}$

    Lösung Aufgabe 2:
    $\begin{array}{rl} f(x) &= 3e^x \cdot \cos(x) \\ f^\prime(x) &= 3e^x \cdot \cos(x)+3e^x \cdot (-\sin(x)) \\ f^\prime(x) &= 3e^x \cdot ( \cos(x) - \sin(x) ) \end{array}$

    Lösung Aufgabe 3:
    $\begin{array}{rl} f(x) &= x^5 \cdot e^x \\ f^\prime(x) &=5x^4 \cdot e^x + x^5 \cdot e^x \\ f^\prime(x) &= e^x \cdot (5x^4+x^5) \end{array}$

    Lösungen Aufgabe 4:
    $\begin{array}{rl} f(x) &= 2x^3 \cdot 2e^x \\ f^\prime(x) &= 6x^2 \cdot 2e^x + 2x^3 \cdot 2e^x \\ f^\prime(x) &= 2e^x \cdot (6x^2+2x^3) \end{array}$

  • Berechne die Ableitungen der Faktoren.

    Tipps

    Potenzen werden folgendermaßen abgeleitet:

    $f(x) = a \cdot x^n \quad \rightarrow \quad f'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1}$

    Beispiel: Die Funktion $f(x)=5x^2+9x$ hat die Ableitung:

    $f^\prime(x)=10x+9$

    Konstante Terme fallen beim Ableiten weg.

    Beispiel: Die Funktion $f(x) = 2x + 5$ hat die Ableitung:

    $f'(x) = 2$

    Lösung

    Die Produktregel ist eine der Regeln, die wir zur Ableitung von Funktionen benötigen. Wenn in einer Funktion beide Faktoren von $x$ abhängen, können wir sie mithilfe der Produktregel ableiten.

    Sie lautet: $\Bigl(u(x) \cdot v(x) \Bigr)^\prime = u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x)$.

    Zuerst musst du die beiden Teilfunktionen $u$ und $v$ identifizieren.
    Bei der Funktion $f(x)= (2x^2+4) \cdot (5x-0{,}75) $ ist

    $u(x)=(2x^2+4)$ und

    $v(x)=(5x-0{,}75)$

    Potenzen werden folgendermaßen abgeleitet:

    $f(x)\, = a \cdot x^n$

    $f'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1}$

    Damit erhalten wir die folgenden Ableitungen der Teilfunktionen:

    $u^\prime(x)=4x$
    $v^\prime(x)=5$

    Für die Ableitung von $f$ setzten wir diese in die Produktregel ein und erhalten:

    $\begin{array}{ll} f^\prime(x) &= 4x \cdot (5x-0{,}75) + (2x^2+4) \cdot 5 \\ &= 20x^2 - 3x + 10x^2 + 20 \\ &= 30x^2 - 3x + 20 \end{array}$

  • Berechne die Ableitung der Funktion.

    Tipps

    Finde die Faktoren und leite sie einzeln ab.

    Auch bei der Ableitung eines Faktors kannst du wieder die verschiedenen Ableitungsregeln verwenden.

    Mithilfe der Potenzgesetze kannst du einen Quotienten als Produkt schreiben:

    $\dfrac{5}{x^2} = 5 \cdot x^{-2}$

    Bruchterme können durch Erweiterung auf einen gemeinsamen Nenner zusammengefasst werden.

    Beispiel:

    $\begin{array}{ll} 2x -7 + \dfrac{5}{x +9} &= \dfrac{(2x - 7) \cdot (x+9)}{x+9} + \dfrac{5}{x+9} \\ &= \dfrac{2x^2 + 18x -7x -63 + 5}{x +9} \\ &= \dfrac{2x^2 + 11x -58}{x+9} \end{array}$

    Lösung

    Wenn wir den Term von $f$ betrachten, sehen wir, dass es sich um ein Produkt von Funktionen handelt:

    $\begin{array}{rcccc} f(x) &=& \underbrace{\dfrac{x^2+3}{(x - 7)^3}} &\cdot& \underbrace{e^x} \\ &=& u(x) &\cdot& v(x) \end{array}$

    Wir können also die Produktregel anwenden. Dazu betrachten wir die Faktoren einzeln:

    $u(x) = \dfrac{x^2+3}{(x - 7)^3} = (x^2+3) \cdot (x-7)^{-3}$

    $\begin{array}{rcl} u^\prime(x) &=& 2x \cdot (x-7)^{-3} + (x^2+3) \cdot (-3) \cdot (x-7)^{-4} \\ &=& (x-7)^{-3} \cdot \left[2x - 3(x^2+3)(x-7)^{-1}\right] \end{array}$

    $v(x) = e^x$

    $v^\prime(x) = e^x$

    Für die Ableitung von $u$ haben wir den Quotienten zunächst mithilfe der Potenzgesetze als Produkt geschrieben und dann die Produktregel angewendet. Hinweis: Hier kannst du auch die Quotientenregel für die Ableitung nutzen.

    Wir bilden nun die Ableitung von $f$, indem wir in die Produktregel einsetzen und zusammenfassen:

    $\begin{array}{rcl} f^\prime(x) &=& u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x) \\ \\ &=& (x-7)^{-3} \cdot [2x - 3(x^2+3)(x-7)^{-1}] \cdot e^x + (x^2+3) \cdot (x-7)^{-3} \cdot e^x \\ \\ &=& (x-7)^{-3} \cdot e^x \cdot \left[2x - 3(x^2+3)(x-7)^{-1} +x^2 +3\right] \\ \\ &=& (x-7)^{-3} \cdot e^x \cdot \left[x^2 + 2x + 3 - (3x^2+9)(x-7)^{-1} \right] \\ \\ &=& \dfrac{e^x}{(x-7)^3} \cdot \left[\dfrac{(x^2 + 2x +3) \cdot(x-7)}{x-7} - \dfrac{3x^2+9}{x-7}\right] \\ \\ &=& \dfrac{e^x}{(x-7)^3} \cdot \left[\dfrac{x^3 -7x^2 + 2x^2 -14x +3x -21}{x-7} - \dfrac{3x^2+9}{x-7}\right] \\ \\ &=& \dfrac{e^x}{(x-7)^3} \cdot \left[\dfrac{x^3 -5x^2 -11x -21 -(3x^2+9)}{x-7}\right] \\ \\ &=& \dfrac{e^x}{(x-7)^3} \cdot \left[\dfrac{x^3 -8x^2 -11x -30}{x-7}\right] \\ \\ &=& \dfrac{x^3 - 8x^2 - 11x - 30}{(x - 7)^4}~e^x \end{array}$

    Durch Erweiterung auf den Hauptnenner $(x-7)$ können wir die Terme in der Klammer zu einem Bruch zusammenfassen und mit dem Vorfaktor verrechnen.

    Wir erhalten für die erste Ableitung von $f$:

    $f^\prime(x) = \dfrac{x^3 - \color{#99CC00}{8}\color{black}{x^2} \color{#99CC00}{~-~ 11}\color{black}{x} \color{#99CC00}{~-~ 30}}{(x - 7)^\color{#99CC00}{4}}~e^\color{#99CC00}{x}$

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

4.200

sofaheld-Level

6.572

vorgefertigte
Vokabeln

8.912

Lernvideos

38.911

Übungen

35.014

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden