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Produktregel – Übung

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Team Digital
Produktregel – Übung
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Produktregel – Übung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Produktregel anzuwenden, um Funktion abzuleiten.

Zunächst lernst du, bei welchen Funktionen du die Produktregel anwenden solltest. Abschließend erfährst du, wie du die Produktregel anwenden kannst.

Produktregel

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Produktregel, Produkt, Ableitung, Potenz- Faktor- und Summenregel.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits die Potenzregel kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Ableitungen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Quotientenregel zu lernen.

Transkript Produktregel – Übung

Während des Unterrichts wird nicht gegessen! Finger weg vom Smartphone! Und bloß nicht mit dem Sitznachbarn quatschen. Das Leben in der Schule ist hart. An Regeln mangelt es nun wirklich nicht! Und dann kommt da auch noch diese „Produktregel“ um die Ecke, nice. Naja, mit ein bisschen Übung kriegen wir die auch noch gewuppt. Wenn wir ein Produkt ableiten möchten, bei dem beide Faktoren von x abhängig sind, gilt für die Ableitungsfunktion: Ableitung des ersten Faktors mal zweiten Faktor plus ersten Faktor mal Ableitung des zweiten Faktors. Also „abgeleitet mal unabgeleitet“ plus „unabgeleitet mal abgeleitet“. Oder – wenn wir die beiden Faktoren „u von x“ und „v von x“ nennen: „u-Strich mal v plus u mal v-Strich“. Wir können anschließend zusammenfassen und haben dann unser Ergebnis. Na dann mal los! Hier haben wir eine erste Aufgabe – Diese Funktion soll abgeleitet werden. Und das sind vier mögliche Ergebnisse. Welche dieser Ableitungsfunktionen ist tatsächlich richtig? Wir müssen zunächst beide Faktoren einzeln betrachten, und dann jeweils ableiten. Wenn wir „e hoch x“ ableiten ergibt das wieder „e hoch x“. Jetzt kommt die Regel zum Einsatz. Wir bilden „u-Strich mal v plus u mal v-Strich“. Richtig ist also d! Und hier kommt schon das nächste Beispiel! Versuch am Besten erstmal selbst die Funktion abzuleiten. Dann schauen wir uns gemeinsam die Lösung an. Zuerst müssen wir uns wieder klar machen, dass wir es mit zwei Faktoren zu tun haben. Diese können wir wieder u und v nennen, und zunächst einzeln ableiten. Um uns die Arbeit zu erleichtern, können wir „eins durch x“ vorher noch als Potenz umschreiben. Bei „v-Strich“ schreiben wir die Klammern direkt mit, um anschließend nicht durcheinander zu kommen. Und jetzt ist es auch schon fast geschafft! Wir müssen die einzelnen Bausteine nur noch zusammensetzen: „U-Strich mal v plus u mal v-Strich:“ Wir können noch ausmultiplizieren, und vereinfachen. Dass unser Ergebnis tatsächlich stimmt, sehen wir, wenn wir schon bei der Ausgangsfunktion ausmultiplizieren, und dann ableiten. Es soll tatsächlich Leute geben, die diesen Rechenweg leichter finden. Je nachdem wie komplex die vorliegende Funktion ist, lohnt es sich also manchmal, kurz zu überprüfen, ob es nicht eine praktische Alternative zur Produktregel gibt! Eine letzte Übungsrunde. Diese Funktion soll abgeleitet werden. Du kannst das Video wieder kurz pausieren und selber rechnen. Zuerst sollte uns auffallen, dass wir hier eine Summe haben. Die „drei x“ können wir also erstmal ignorieren. Um die kümmern wir uns später. Ein Produkt – wenn auch etwas versteckt – gibt es trotzdem, nämlich hier. Weil beide Faktoren ein x enthalten und uns auch das Ausmultiplizieren nicht weiterhilft, brauchen wir die Produktregel. Wir kümmern uns zuerst um die beiden Faktoren, und leiten sie einzeln ab. Wenn wir den Sinus ableiten, erhalten wir den Cosinus! Dann wenden wir die Produktregel an. Wir dürfen aber nicht die „drei x“ vergessen. Die können wir jetzt ganz einfach mit der Summenregel ableiten. Gar nicht so einfach, da immer den Überblick zu behalten. Daher fassen wir das Wichtigste am besten nochmal kurz zusammen. Die Produktregel kommt zum Einsatz, wenn wir eine Funktion ableiten wollen, die zwei Faktoren enthält, die jeweils von x abhängig sind. Als erstes müssen wir uns also immer klar machen, ob wir zwei solcher Faktoren gegeben haben und wie genau diese aussehen. Manchmal kann es aber auch einfacher sein, die Faktoren auszumultiplizieren und erst anschließend abzuleiten. Haben wir uns darauf festgelegt, die Produktregel anzuwenden, können wir die beiden Faktoren in einem Zwischenschritt zunächst einzeln ableiten. Dann müssen wir die Regel nur noch anwenden. „u-Strich mal v plus u mal v-Strich“. Anschließend können wir noch vereinfachen. Mit diesen Tipps und Tricks ist dann auch das Leben in der Schule nicht mehr ganz so hart. Trotz der ganzen Regeln! Zumindest die Produktregel hat sich jetzt hoffentlich durchgesetzt!

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