Symmetrie von Funktionsgraphen – Beispiele

Symmetrie von Funktionsgraphen – Beispiele Übung

• Definiere die Begriffe Punktsymmetrie und Achsensymmetrie.

  Tipps

  Hier siehst du den Graphen der Funktion $f(x)=x^2$, eine Normalparabel.

  Du kannst erkennen, dass diese Parabel symmetrisch zu einer Koordinatenachse ist.

  Beachte: Die Definition einer Funktion verlangt, dass zu jedem $x\in\mathbb{D_f}$ genau ein Funktionswert gehört.

  Hier siehst du den Graphen der Funktion $f(x)=x^3$, welcher punktsymmetrisch ist.

  Lösung

  Graphen von Funktionen können symmetrisch sein.

  Wir unterscheiden die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung sowie die Achsensymmetrie zur $y$-Achse.

  Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung

  Der Graph einer Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn $f(x)=-f(-x)$ für alle $x\in\mathbb{D}_f$ gilt.

  Achsensymmetrie zur $y$-Achse

  Der Graph einer Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn $f(x)=f(-x)$ für alle $x\in\mathbb{D}_f$ gilt.

  Hier siehst du den Graphen der Funktion $f(x)=x^2$, eine Normalparabel. Diese ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

  Hinweis: Eine Achsensymmetrie kann nur zur $y$-Achse vorliegen. Eine Symmetrie zur $x$-Achse würde der Eindeutigkeit einer Funktion widersprechen.

  Es gibt noch weitere Symmetrien, die hier in der Aufgabe aber keine Rolle spielen: Der Graph einer Funktion kann...

  • ...achsensymmetrisch zu einer beliebigen Parallelen der $y$-Achse sein.
  • ...punktsymmetrisch zu einem beliebigen Punkt im Koordinatensystem sein.

  Der Graph einer Funktion ist entweder punkt- oder achsensymmetrisch, bis auf eine Funktion: $f(x)=0$. Deren Graph ist sowohl punkt- als auch achsensymmetrisch.

• Gib an, welche der Funktionen punkt- oder achsensymmetrisch sind.

  Tipps

  • Der Graph einer Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn $f(x)=-f(-x)$ für alle $x\in\mathbb{D}_f$ gilt.
  • Der Graph einer Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn $f(x)=f(-x)$ für alle $x\in\mathbb{D}_f$ gilt.

  Bei ganzrationalen Funktionen kannst du die Untersuchung auf Symmetrie vereinfachen:

  • Sind in dem Funktionsterm alle Exponenten von $x$ gerade, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
  • Sind in dem Funktionsterm alle Exponenten von $x$ ungerade, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

  Beachte auch den Definitionsbereich der Funktion. Wenn die Funktion beispielsweise nur für negative $x$ definiert ist, kann sie nicht symmetrisch sein.

  Lösung

  Wir schauen uns nun an einigen Beispielen an, wie man die Symmetrie von Funktionsgraphen untersuchen kann.

  Funktion 1: $f(x)=x^4-3x^2$

  Es ist $f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2=x^4-3x^2$, da „Minus mal Minus Plus“ ist. Du siehst, dass $f(x)=f(-x)$ ist. Der Graph dieser Funktion ist also achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

  Funktion 2: $f(x)=x^4-3x^2+x$

  • $f(1)=1^4-3\cdot 1^2+1=-1$, aber
  • $f(-1)=(-1)^4-3\cdot (-1)^2+1=-2$

  Also ist weder $f(1)=f(-1)$ noch $f(1)=-f(-1)$. Der Graph der Funktion ist nicht symmetrisch.

  Du kannst bei ganzrationalen Funktionen die Untersuchung auf Symmetrie mit Hilfe der Exponenten durchführen:

  • Sind bei dem Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion alle Exponenten gerade, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
  • Sind bei dem Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion alle Exponenten ungerade, ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

  Funktion 3: $f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2$

  Mit der oben genannten Argumentation ist nur die Untersuchung auf Symmetrie von ganzrationalen Funktionen möglich. Bei dieser Funktion funktioniert diese Technik also nicht. Du musst bei dieser Funktion $f(x)=f(-x)$ oder $f(x)=-f(-x)$ untersuchen:

  $\begin{array}{rclll} f(-x)&=&\frac{e^{-x}+e^x}2&|&\text{Kommutativit}\ddot{\text{a}}\text{t der Addition}\\ &=&\frac{e^x+e^{-x}}2\\ &=&f(x) \end{array}$

  Der Graph dieser Funktion ist also achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

  Funktion 4: $f(x)=\frac1x$

  Auch hier untersuchen wir wieder die Funktionswerte:

  $\begin{array}{rclll} f(-x)&=&\frac1{-x}\\ &=&-\frac1x\\ &=&-f(x) \end{array}$

  Das bedeutet, dass der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.

  Funktion 5: $f(x)=\sqrt x$ mit $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}^+_0$

  Bei Wurzelfunktionen musst du beachten, dass der Definitionsbereich gegebenenfalls eingeschränkt ist.

  Diese Funktion ist beispielsweise nicht für $x<0$ definiert. Somit kann der Graph der Funktion nicht symmetrisch sein.

  Funktion 6: $f(x)=\sqrt{1+x^2}$ mit dem Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}$

  Es gilt:

  $\begin{array}{rclll} f(-x)&=&\sqrt{1+(-x)^2}&|&\text{Minus mal Minus gleich Plus}\\ &=&\sqrt{1+x^2}\\ &=&f(x) \end{array}$

  Der Graph dieser Funktion ist also achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

• Entscheide, welche der Funktionen einen zur $y$-Achse symmetrischen Graphen haben.

  Tipps

  Hier siehst du den Graphen der Funktion $f(x)=x^2+1$. Dieser ist eine zur $y$-Achse symmetrische Normalparabel.

  Merke dir:

  Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn im Funktionsterm alle Exponenten von $x$ gerade sind.

  Beachte, dass eine Konstante wie zum Beispiel $4$ auch so geschrieben werden kann:

  $4=4\cdot x^0$.

  Außerdem gilt $x=x^1$.

  Sobald im Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion eine Potenz von $x$ mit einem ungeraden Exponenten vorkommt, kann keine Achsensymmetrie mehr vorliegen.

  Lösung

  Wenn du in einer Aufgabe den Graphen einer ganzrationalen Funktion auf Symmetrie untersuchen sollst, genügt es, wenn du dir im Funktionsterm die Exponenten von $x$ anschaust:

  • Sind diese alle gerade, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
  • Sind diese alle ungerade, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

  Wir schauen uns in dieser Aufgabe einige Beispiele an. Hierbei untersuchen wir auf Achsensymmetrie:

  • $f(x)=3x^4-2x^2+3$: Die Exponenten sind $4$, $2$ und $0$. Diese sind alle gerade. Der Graph ist also achsensymmetrisch.
  • $f(x)=4x^3-2x^2+3$: Die Exponenten sind $3$, $2$ und $0$. Es gibt also sowohl ungerade als auch gerade Exponenten. Der Graph ist nicht symmetrisch.
  • $f(x)=3x^4-2x^2+3x$: Die Exponenten sind $4$, $2$ und $1$. Es gibt also sowohl ungerade als auch gerade Exponenten. Der Graph ist nicht symmetrisch.
  • $f(x)=-2x^2-3x$: Die Exponenten sind $2$ und $1$. Es gibt also sowohl ungerade als auch gerade Exponenten. Der Graph ist nicht symmetrisch.
  • $f(x)=-2x^2-3$: Die Exponenten sind $2$ und $0$, also alle gerade. Der Graph ist achsensymmetrisch.
  • $f(x)=-2x^2$: Der einzige Exponent ist $2$, also gerade. Der Graph ist achsensymmetrisch.

• Untersuche die Funktionsterme und entscheide, ob der jeweils zugehörige Graph symmetrisch ist.

  Tipps

  Bilde für jede der Funktionen zuerst $f(-x)$.

  Es gibt dann drei Fälle:

  • $f(-x)=f(x)$, dann ist der Graph achsensymmetrisch,
  • $f(-x)=-f(x)$, dann ist der Graph punktsymmetrisch,
  • sonst liegt keine der obigen Symmetrien vor.

  Achte auf den Definitionsbereich:

  • Die natürliche Logarithmusfunktion $\ln(x)$ ist beispielsweise nur für positive reelle Zahlen definiert.
  • Bei einer gebrochenrationalen Funktion darf der Term im Nenner nicht den Wert $0$ annehmen.

  Der Graph einer Funktion kann nicht symmetrisch sein, wenn du zum Beispiel zwar $f(1)$ berechnen kannst, jedoch nicht $f(-1)$, da $-1$ nicht im Definitionsbereich liegt.

  Lösung

  Ganz allgemein kannst du die Symmetrie von Funktionsgraphen wie folgt untersuchen:

  • Der Graph einer Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn $f(x)=-f(-x)$ für alle $x\in\mathbb{D}_f$ gilt.
  • Der Graph einer Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn $f(x)=f(-x)$ für alle $x\in\mathbb{D}_f$ gilt.

  Du kannst zum Beispiel immer das Argument $x$, sofern möglich, durch $-x$ ersetzen und dann umformen.

  1. Funktion: $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2$ mit dem Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}$

  $\begin{array}{rclll} f(-x)&=&\frac{e^{-x}-e^x}2&|&\text{Ausklammern von }-1\\ &=&\frac{-(e^x-e^{-x})}2\\ &=&-\frac{e^x-e^{-x}}2\\ &=&-f(x) \end{array}$

  Der Graph dieser Funktion ist punktsymmetrisch.

  2. Funktion: $f(x)=\ln(x^2)$ mit dem Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

  $\begin{array}{rclll} f(-x)&=&\ln((-x)^2)&|&\text{Minus mal Minus gleich Plus }\\ &=&\ln(x^2)\\ &=&f(x) \end{array}$

  Der Graph dieser Funktion ist achsensymmetrisch. Allerdings schneidet der Graph die $y$-Achse nicht, da $f(x)$ für $x=0$ nicht definiert ist.

  3. Funktion: $f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$ mit dem Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}$

  $\begin{array}{rclll} f(-x)&=&\frac{(-x)^2}{(-x)^2+1}&|&\text{Minus mal Minus gleich Plus }\\ &=&\frac{x^2}{x^2+1}\\ &=&f(x) \end{array}$

  Der Graph dieser Funktion ist achsensymmetrisch.

  4. Funktion: $f(x)=\ln(x)$ mit dem Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}^+$

  Zum Beispiel ist $f(1)=0$, allerdings ist $f(-1)$ nicht definiert. Das bedeutet, dass der Graph nicht symmetrisch sein kann.

  5. Funktion: $f(x)=\frac{x}{x^2-1}$ mit dem Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}$

  $\begin{array}{rclll} f(-x)&=&\frac{-x}{(-x)^2+1}&|&\text{Minus mal Minus gleich Plus }\\ &=&\frac{-x}{x^2+1}\\ &=&-\frac{x}{x^2+1}\\ &=&-f(x) \end{array}$

  Der Graph dieser Funktion ist punktsymmetrisch.

• Ergänze die Regel zur Symmetrie von Graphen ganzrationaler Funktionen.

  Tipps

  Hier siehst du ein Beispiel für eine Funktion, deren Graph achsensymmetrisch ist:

  $f(x)=x^4-2x^2$.

  Hier siehst du ein Beispiel für eine Funktion, deren Graph punktsymmetrisch ist:

  $f(x)=x^3-2x$.

  Lösung

  Zur Untersuchung der Symmetrie des Graphen einer ganzrationalen Funktion genügt es, sich die Exponenten von $x$ anzuschauen. Es gilt:

  • Sind in dem Funktionsterm alle Exponenten von $x$ gerade, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Diese Aussage gilt auch umgekehrt.
  • Beispiel: $f(x)=x^4-3x^2$. Die Exponenten sind $4$ und $2$, also beide gerade. Der zugehörige Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
  • Sind in dem Funktionsterm alle Exponenten von $x$ ungerade, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
  • Beispiel: $f(x)=x^3-3x$. Hier sind die Exponenten $3$ und $1$, also ungerade. Der Graph dieser Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

  Nun schauen wir uns noch ein Beispiel einer ganzrationalen Funktion an, deren Graph weder punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung noch achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist: $f(x)=x^4-3x^2+x$. Hier sind die Exponenten $4$, $2$ und $1$ (beachte: $x = x^1$). Es gibt also gerade und ungerade Exponenten. Es kann also keine der genannten Symmetrien vorliegen.

• Leite die Koeffizienten der ganzrationalen Funktionen her.

  Tipps

  Gegeben sei eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$.

  • Ist der Grad gerade, kann der Graph der Funktion achsensymmetrisch sein. Es darf allerdings keine Potenzen mit $x$ geben, deren Exponent ungerade ist.
  • Ist der Grad ungerade, kann der Graph der Funktion punktsymmetrisch sein. Es darf allerdings keine Potenzen mit $x$ geben, deren Exponent gerade ist.

  Schaue dir ein Beispiel an:

  • Allgemein lautet die Gleichung einer quartischen Funktion $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$. Dabei gehen wir von $a\not = 0$ aus.
  • Wenn der Graph dieser Funktion symmetrisch ist, muss $b=d=0$ gelten.

  Übrigens wird eine solche ganzrationale Funktion vierten Grades auch biquadratisch genannt.

  Sei die Funktionsgleichung eines achsensymmetrischen Graphen durch $f(x)=2x^2+b$ gegeben. Weiterhin sei $x_N=1$ eine Nullstelle, dann gilt:

  • $f(1)=0~\Leftrightarrow~2\cdot 1^2+b=0$,
  • Subtraktion von $2$ führt zu $b=-2$.

  Lösung

  Eine häufige Aufgabenstellung ist die Rekonstruktion von Funktionsgleichungen.

  • Hierfür solltest du wissen, wie ganzrationale Funktionsgleichungen verschiedener Grade allgemein aussehen.
  • Wenn du Informationen über die Symmetrie des zugehörigen Graphen hast, kannst du einige Koeffizienten direkt bestimmen.

  Das schauen wir uns nun an zwei Beispielen an.

  Die quadratische Funktion $f(x)=x^2+ax+b$ hat einen achsensymmetrischen Graphen und eine Nullstelle bei $x_N=2$.

  • Da die Exponenten in $x$ alle gerade sein müssen (folgt aus der Achsensymmetrie), gilt $a=0$. Also ist $f(x)=x^2+b$.
  • Nun ist noch bekannt, dass $f(2)=0$ ist. Wir erhalten also $2^2+b=4$ und formen zu $b=-4$ um.

  Die Funktionsgleichung lautet dann $f(x)=x^2-4$.

  Die kubische Funktion $f(x)=\frac13x^3+ax^2+bx+c$ hat einen punktsymmetrischen Graphen und eine Nullstelle bei $x_N=3$.

  • Wegen der Punktsymmetrie darf es keine Potenzen mit $x$ geben, die einen geraden Exponenten haben. Das heißt, dass $a=c=0$ sein müssen. Somit ist $f(x)=\frac13x^3+bx$.
  • Verwenden wir noch die bekannte Nullstelle $x_N=3$, so kommen wir zu $\frac13\cdot 3^3+3b=9+3b=0$. Subtraktion von $9$ und anschließende Division durch $3$ führt zu $b=-3$.

  Die gesuchte Funktionsgleichung lautet $f(x)=\frac13x^3-3x$.