Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Nullstellen

Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Nullstellen Übung

• Beschreibe, wie die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion bestimmt werden können.

  Tipps

  Wenn du $x=0$ in der Funktionsgleichung einsetzt, erhältst du die Stelle, an welcher der Graph die y-Achse schneidet.

  Die Nullstellen sind die Stellen, an welchen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet oder berührt.

  Ein Term der Form $a\cdot b$ wird als Produkt bezeichnet. Dabei werden die Variablen $a$ und $b$ Faktoren genannt.

  Lösung

  Die Funktion $f(x)$ liegt einmal

  • in faktorisierter Form (oben) sowie
  • in Normalform (unten) vor.

  Gesucht sind die Zahlen, die für $x$ eingesetzt werden können, damit $f(x)=0$ ist.

  Wenn die Funktion faktorisiert vorliegt, kann man jeden einzelnen Faktor betrachten. Denn die Funktion wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

• Bestimme die drei Nullstellen der in faktorisierter Form vorliegenden Funktion $f(x)=(30-2x)(20-2x)x$.

  Tipps

  Ein Produkt wird $0$ (nimmt den Wert $0$ an), wenn einer seiner Faktoren $0$ wird (den Wert $0$ annimmt).

  Stelle die jeweilige lineare Gleichung auf und löse diese.

  Sei zum Beispiel ein Faktor $3x-60$, dann müsstest du wie folgt vorgehen:

  Bei dem dritten Faktor musst du nicht rechnen.

  Lösung

  Da diese Funktion in faktorisierter Form vorliegt, können die Nullstellen als die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmt werden. Dies führt zu drei linearen Gleichungen:

  Von links nach rechts

  $\begin{array}{rclll} 30-2x_1&=&0&|&-30\\ -2x_1&=&-30&|&:(-2)\\ x_1&=&15 \end{array}$

  $\begin{array}{rclll} 20-2x_2&=&0&|&-20\\ -2x_2&=&-20&|&:(-2)\\ x_2&=&10 \end{array}$

  Die dritte Nullstellen kann direkt angegeben werden: $x_3=0$.

• Ermittle zu den jeweiligen Funktionen die Nullstellen.

  Tipps

  Untersuche die Nullstellen jedes einzelnen Faktors.

  Die Nullstellen können „abgelesen“ werden.

  Zum Beispiel wird $x-4$ bei $x=4$ zu $0$, denn $4-4=0$.

  Wenn du dich unsicher fühlst, löse die entsprechende Gleichung:

  $\begin{array}{rclll} x-4&=&0&|&+4\\ x&=&4 \end{array}$

  Die Reihenfolge der Nullstellen ist nicht von Bedeutung.

  Lösung

  Liegt eine Funktion in faktorisierter Form vor, können die Nullstellen entweder direkt abgelesen werden oder durch Lösen von linearen (gegebenenfalls auch quadratischen) Gleichungen bestimmt werden:

  1. $f(x)=(x-2)^2(x+1)$ hat die Nullstellen $x_1=2$ und $x_2=-1$. Übrigens: $x_1=2$ ist eine doppelte Nullstelle. An dieser Stelle berührt der Funktionsgraph die x-Achse. Es liegt ein Tiefpunkt oder Hochpunkt vor.
  2. $f(x)=(x-2)(x+1)(x+2)$ hat die Nullstellen $x_1=2$, $x_2=-1$ und $x_3=-2$.
  3. $f(x)=(x-2)(x+2)$ hat die Nullstellen $x_1=2$ und $x_2=-2$.
  4. $f(x)=(x+1)^2(x-1)$ hat die Nullstellen $x_1=-1$ und $x_2=1$. Auch hier ist $x_1=-1$ eine doppelte Nullstelle.

• Leite durch Ausklammern von $x$ die Nullstellen der Funktion $f(x)=2x^3-6x^2-80x$ her.

  Tipps

  Beachte, dass beim Ausklammern von $x$ in jedem Term der Exponent von $x$ um $1$ geringer wird.

  Hier siehst du ein Beispiel für das Ausklammern von $x$.

  Wenn du umgekehrt das Distributivgesetz anwendest, kommst du wieder zu dem Ausgangsterm.

  Wenn $x$ ausgeklammert wird, ist der andere Faktor ein quadratischer Term. Um dessen Nullstellen zu berechnen, verwendest du die p-q-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$

  $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  Beachte, dass die quadratische Gleichung in Normalform vorliegen muss. Das bedeutet, dass vor dem $x^2$ kein Faktor mehr stehen darf.

  Lösung

  Jeder Term in dieser kubischen Funktion beinhaltet den Faktor $x$. Dieser kann also ausgeklammert werden:

  $f(x)=(2x^2-6x-80)x$.

  Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird. Also ist entweder

  • $2x^2-6x-80=0$ oder
  • $x=0$.

  Die obere Gleichung ist eine quadratische Gleichung. Um diese mit der p-q-Formel zu lösen, muss zunächst durch den Faktor vor dem $x^2$ dividiert werden zu

  $x^2-3x-40=0$.

  Hier ist also $p=-3$ und $q=-40$:

  $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{-3}2\pm\sqrt{\left(\frac {-3}2\right)^2-(-40)}\\ &=&\frac{3}2\pm\sqrt{\frac{9}4+\frac{160}4}\\ x_1&=&\frac{3}2+\frac{13}2=8\\ x_2&=&\frac{3}2-\frac{13}2=-5 \end{array}$

  Die dritte Nullstelle ist dann $x_3=0$.

  Beachte: Die Anordnung der Nullstellen ist nicht von Bedeutung. Man hätte auch mit $x_1=0$ beginnen und dann mit der p-q-Formel $x_{2,3}=...$ berechnen können.

• Benenne die Formel, die benötigt wird, um die Nullstellen zu bestimmen.

  Tipps

  Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet

  $x^2+px+q=0$.

  Die zu verwendende Formel ist gegeben durch

  $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  Der Höhensatz gehört zur Satzgruppe des Pythagoras.

  Die Kettenregel ist eine Regel zur Ableitung von verketteten Funktionen.

  Lösung

  Wenn eine kubische Funktion nicht in faktorisierter Form vorliegt, müsste man ganz allgemein eine Nullstelle erraten und dann eine Polynomdivision durchführen.

  Dies ist hier allerdings nicht nötig, da in jedem Summand der Faktor $x$ vorkommt. Dieser kann ausgeklammert werden. Nun kann verwendet werden, dass ein Produkt $0$ wird, wenn einer seiner Faktoren $0$ ist. Der eine Faktor ist $x$. Somit ist eine Nullstelle bereits bekannt. Die beiden übrigen - sofern vorhanden - sind die Nullstellen des quadratischen Terms in der Klammer. Zur Lösung von quadratischen Gleichungen verwendet man die p-q-Formel.

  Eine quadratische Gleichung in Normalform $x^2+px+q=0$ wird gelöst durch

  $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  Bei $4x^2-100x+600=0$ muss zunächst durch $4$ dividiert werden zu

  $x^2-25x+150=0$.

  Hier ist $p=-25$ und $q=150$. Damit kann die p-q-Formel verwendet werden:

  $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{-25}2\pm\sqrt{\left(\frac {-25}2\right)^2-150}\\ &=&\frac{25}2\pm\sqrt{\frac{625}4-\frac{600}4}\\ x_1&=&\frac{25}2+\frac52=15\\ x_2&=&\frac{25}2-\frac52=10 \end{array}$

  Die so gefundenen Nullstellen sind natürlichen dieselben, die mit der faktorisierten Form gefunden wurden. Allerdings ist es weniger aufwändig mit der faktorisierten Form.

• Gib die faktorisierte Form der kubischen Funktion an.

  Tipps

  Klammere zunächst $2x$ aus.

  Du musst die Nullstellen von $x^2-5x+6$ bestimmen. Verwende hierfür die p-q-Formel.

  Die Nullstellen von $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ sind $x_1=1$, $x_2=2$ und $x_3=3$.

  Wenn umgekehrt diese Nullstellen der Funktion $f(x)=x^3+bx^2+cx+d$ bekannt sind, so ist die Funktion gegeben durch $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$.

  Achte auf das Vorzeichen bei der faktorisierten Form.

  Lösung

  Dies ist eine kubische Funktion in Normalform. Ausklammern von $2x$ führt zu

  $f(x)=2(x^2-5x+6)x$.

  Eine Nullstelle ist somit gleich gegeben: $x_1=0$.

  Die beiden anderen erhält man durch Anwendung der p-q-Formel auf den quadratischen Term mit $p=-5$ und $q=3$. Dies führt zu den weiteren Nullstellen $x_2=3$ und $x_3=2$.

  Wenn man nun wissen möchte, wie die faktorisierte Form dieser kubischen Gleichung aussieht, so kann man sich überlegen, dass die Nullstellen der kubischen Funktion in Normalform die gleichen sind wie die der kubischen Funktion in faktorisierter Form. So erhält man

  $f(x)=2(x^2-5x+6)x=2(x-3)(x-2)x$,

  da $x_2=3$ und $x_3=2$ die Nullstellen des quadratischen Terms sind.