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Ganzrationale Funktionen - Definition und Beispiele

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Team Digital
Ganzrationale Funktionen - Definition und Beispiele
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Grundlagen zum Thema Ganzrationale Funktionen - Definition und Beispiele

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, ganzrationale Funktionen zu identifizieren.

Zunächst definieren wir den Begriff “ganzrationale Funktion” indem wir uns die allgemeine Form und einige Beispiele anschauen. Anschließend werden wir bei diesen Beispielen den Grad der Funktion bestimmen. Abschließend werden wir außerdem noch Beispiele besprechen, die keine ganzrationalen Funktionen sind.

Beispiele für ganzrationale Funktionen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Polynom, Funktionsterm, Koeffizienten und Grad der Funktion.

ganzrationale Funktionen

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wesentliche Funktionstypen wie quadratische oder trigonometrische Funktionen kennen.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zwischen ganzrationalen und nicht ganzrationalen Funktionen unterscheiden und den Grad der ganzrationalen Funktion bestimmen zu können.

Transkript Ganzrationale Funktionen - Definition und Beispiele

Du hast dich bestimmt auch schon mal gefragt: Haben Einhörner wirklich existiert? Leben wir in einer Simulation? Und was sind eigentlich ganzrationale Funktionen? Fangen wir am besten mit dem Einfachsten an: „Ganzrationale Funktionen“. Bestimmt kennst du bereits Funktionen, die so aussehen wie diese hier. Ja genau, das sind bereits ganzrationale Funktionen. In allen ist das x als Variable vorhanden: in manchen einmal, in anderen mehrfach, manchmal hat das x einen Exponenten, manchmal steht es ohne Koeffizienten, manchmal sogar mit irrationalem Koeffizienten. Das ist alles möglich. Ganz allgemein sieht eine ganzrationale Funktion nämlich so aus: Sorry, für manche ist das in der Tat ein Abbild des Grauens, aber wir schauen uns das jetzt mal ganz in Ruhe an. Eine ganzrationale Funktion besteht aus einzelnen Summanden. Jeder Summand setzt sich aus einer Potenz von x und einem dazugehörigen Koeffizienten a zusammen. So eine Kombination aus Potenzen von x und Koeffizienten nennt man auch „Polynom“. Die Koeffizienten „a null“ bis „a n“ sind beliebige reelle Zahlen. Sie sind von null bis n durchnummeriert, weil sie ja alle voneinander unterschiedlich sein können. Es können ganze Zahlen, Brüche oder auch irrationale Zahlen sein. Die Variable x kann mit unterschiedlichen Potenzen auftreten, ebenfalls von null bis n. Aber Moment mal, „x hoch null“ ist doch eins?! Deshalb können wir den Faktor „x hoch null“ auch einfach weglassen. Der Exponent von „x hoch eins“ kann auch weggelassen werden, denn eine Zahl hoch eins ist einfach sie selbst. Wir haben hier also eine Funktion, deren Funktionsterm ein Polynom ist. Das n ist immer eine natürliche Zahl. Außerdem gibt n den höchsten Exponenten der Funktion an und wird deshalb auch „Grad der ganzrationalen Funktion“ genannt. Da dieser nicht wegfallen darf, darf auch „a n“ nicht null sein. Schauen wir uns das alles einmal am ersten Beispiel „f von x“ an. Die Funktion besteht aus drei Summanden. Die höchste Potenz ist hier „x Quadrat“, also ist der größte Exponent „n gleich zwei“. Hier haben wir also eine Funktion zweiten Grades: eine quadratische Funktion. Schauen wir uns noch die Koeffizienten an. „a zwei“ ist „null Komma fünf“ und „a eins“ ist vier. Die „minus zwei“ ganz rechts ist „a null“. Die nächste Funktion „g von x“ besteht auch aus drei Summanden. Hier fehlt zwar eine Potenz von x, nämlich „x hoch zwei“, die können wir aber ergänzen, wenn wir für „a zwei“ null einsetzen. Schon sieht die Funktion so aus, wie in der allgemeinen Form. In der Funktionsgleichung müssen also nicht unbedingt alle Potenzen von x sichtbar sein. n ist in diesem Beispiel drei, da drei die höchste Potenz von x ist. G ist also eine Funktion dritten Grades, eine sogenannte kubische Funktion. Nun schauen wir uns „h von x“ an. Das ist keine Wurzelfunktion, auch wenn da eine Wurzel zu sehen ist. Das x steht nämlich nicht unter der Wurzel. „Wurzel zwei“ ist der Koeffizient „a eins“ und der darf ja irrational sein. „a null“ ist diesmal null und wurde deshalb nicht mitgeschrieben. Der höchste Exponent dieser Funktion ist „n gleich eins“. H ist also eine Funktion ersten Grades. Es handelt sich somit um eine lineare Funktion. Wurzelfunktionen sind nämlich gar keine ganzrationalen Funktionen, lineare Funktionen dagegen schon. Diese drei Funktionen sind also offensichtlich ganzrationale Funktionen. Schauen wir uns noch ein paar andere Beispiele an. Bei dieser Funktion bestehen die Summanden aus jeweils einem Koeffizienten und einer Potenz von x. Das ist also definitiv eine ganzrationale Funktion vom Grad sieben. Das ist eine Wurzelfunktion, da das x diesmal unter der Wurzel steht. Es ist also keine ganzrationale Funktion. Diese Funktion sieht auf den ersten Blick wirklich nicht so aus, als würde sie in die allgemeine Formel für ganzrationale Funktionen passen. Aber da nur eine zwei im Nenner steht, können wir den Bruch einfach auflösen. Dann ist das wieder eine normale ganzrationale Funktion dritten Grades. Hier sieht es schon anders aus. Denn es steht ein x im Nenner, deshalb handelt es sich hier um eine gebrochen-rationale Funktion, also definitiv keine ganzrationale Funktion. Eine Sinusfunktion ist auch keine ganzrationale Funktion, genauso wie alle Zusammensetzungen aus trigonometrischen Funktionen. Oh, dieses Beispiel ist knifflig. Das könnte doch eine ganzrationale Funktion dritten Grades sein. Durch Ausmultiplizieren kann dieser Vorschlag überprüft werden und man erkennt, dass es sich um eine Funktion vierten Grades handelt. DIESE hübsche Funktion hier ist eine Exponentialfunktion, da die Variable x im Exponenten steht. Dementsprechend ist das keine ganzrationale Funktion. Ganz im Gegensatz zu dieser Funktion. Hier ist zwar überhaupt kein x drin, aber „a Null“ ist drei. Es handelt sich deshalb um eine Funktion vom Grad Null. Diese werden auch konstante Funktionen genannt und gehören zu den ganzrationalen Funktionen. Unser letztes Beispiel sieht ein wenig anders aus. Aber nur weil die Variable nun t statt x ist, heißt das nicht, dass es keine ganzrationale Funktion sein kann. Wie wir die Variable benennen, ist doch egal. „f von t“ ist also auch eine ganzrationale Funktion vom Grad drei. Zeit für eine kurze Zusammenfassung. Ganzrationale Funktionen sehen in der allgemeinen Form so aus. Ihr Funktionsterm ist also ein Polynom. n ist dabei die höchste Potenz von x und gibt den Grad der Funktion an. Die Koeffizienten „a null“ bis „a n“ sind reelle Zahlen, wobei a n, also der Koeffizient vor der höchsten Potenz von x, nicht null sein darf. Beispiele für ganzrationale Funktionen sind konstante, lineare, quadratische oder kubische Funktionen. Funktionen, die keine ganzrationalen Funktionen sind, sind zum Beispiel Wurzelfunktionen, Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen oder gebrochen-rationale Funktionen. So, jetzt wisst ihr, was ganzrationale Funktionen sind. Und was die anderen zwei Fragen betrifft, kann ich euch Folgendes sagen:

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