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Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken 11:07 min

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Transkript Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken

Hallo, ich bin Lennart und heute erkläre ich dir die Besonderheiten der Winkelsummen im Dreieck und Viereck. Du hast bestimmt schon mal solch ein Gerät am Straßenrand gesehen. Damit werden zum Beispiel Straßenkreuzungen vermessen. Dabei stellt man die Messpunkte so auf, dass sie ein Dreieck bilden. Damit man später alle Messwerte richtig ausrechnen kann, spielen die Innenwinkel dieser Dreiecke eine wichtige Rolle. Dabei haben die Innenwinkel eine schöne Eigenschaft, die ich dir erklären werde. Dafür wiederhole ich zunächst einmal alle wichtigen Größen und deren Bezeichnungen am Dreieck und Viereck. Danach erkläre ich dir den besonderen Zusammenhang der Innenwinkelsummen im Dreieck und derer im Viereck. Zum Schluss werde ich alles Gelernte zusammenfassen. Damit du auch weißt, wovon ich rede, erkläre ich dir erst einmal die wichtigsten Größen am Dreieck und Viereck. Wie du sicherlich weißt ist das ein Dreieck. Ich nenne es ABC. Bei einem Dreieck werden die Eckpunkte meistens mit großen Buchstaben bezeichnet und entgegen dem Uhrzeigersinn angeordnet. In diesem Dreieck sind die Punkte A, B und C die Eckpunkte. Die Linien zwischen den Eckpunkten eines Dreiecks nennt man Seiten. Diese werden meistens mit kleinen Buchstaben bezeichnet. Dabei bekommt jede Seite denselben Buchstaben wie der gegenüberliegende Punkt zugeordnet. Also bekommt die Seite, die gegenüber von Punkt A liegt, die Bezeichnung klein a. Die Seite, die gegenüber vom Punkt B liegt, bekommt die Bezeichnung klein b. Und welche Bezeichnung bekommt die Seite gegenüber von Punkt C? Genau, klein c natürlich. Also sind klein a, b und c die Seiten des Dreiecks. Es entstehen dabei drei Winkel an den Eckpunkten des Dreiecks. Diese Winkel werden mit griechischen Buchstaben benannt. So wird der Winkel beim Punkt A mit dem griechischen Buchstaben α bezeichnet, der Winkel beim Punkt B mit dem griechischen Buchstaben β und der Winkel beim Punkt C mit dem griechischen Buchstaben γ bezeichnet. Da diese Winkel innerhalb des Dreiecks liegen, sind α, β und γ die Innenwinkel des Dreiecks. Sehen wir uns nun die Bezeichnungen an einem Viereck an. Auch hier werden die Eckpunkte mit großen Buchstaben entgegen dem Uhrzeigersinn beschriftet. Ich nenne dieses Viereck ABCD. Wie beim Dreieck werden auch beim Viereck die Seiten mit kleinen Buchstaben bezeichnet. Die Seite zwischen A und B wird klein a genannt. Die Seite zwischen B und C klein b und so weiter. Die Winkel im Viereck werden auch mit griechischen Buchstaben bezeichnet. So heißt der Winkel bei A α, der Winkel bei B β, der Winkel bei C γ und der Winkel bei D δ. Da α, β, γ und δ innerhalb des Vierecks liegen, werden sie Innenwinkel genannt. Doch welche Besonderheiten haben nun die Innenwinkelsummen im Dreieck? Betrachten wir dazu dieses Dreieck. Mit dem Geodreieck messe ich, dass es einen 50 Grad großen, einen 60 Grad großen und einen 70 Grad großen Innenwinkel hat. Addierst du nun diese Innenwinkel, erhältst du als Summe 180 Grad. Ich möchte mir noch ein anderes Dreieck ansehen. Bei diesem Dreieck hier messe ich einen Innenwinkel von 90 Grad, einen von 45 Grad und einen weiteren 45 Grad großen. Ich addiere die Innenwinkel und erhalte als Summe wieder 180 Grad. Ist das Zufall? Die Antwort ist nein. Denn der Innenwinkelsummensatz für Dreiecke sagt aus: Die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck beträgt 180 Grad. Wieso das gilt, werde ich dir erklären. Betrachten wir ein allgemeines Dreieck ABC. Ich beschrifte alle Seiten und Winkel. Wir wollen also zeigen, dass die Summe aus α, β und γ 180 Grad beträgt. Dazu zeichne ich eine Gerade g durch den Punkt C. Dabei ist die Gerade g parallel zu Seite c. Sehen wir uns den Winkel zwischen g und der Seite b an. Weil g und c parallel sind, ist das ein Wechselwinkel von α. Da Wechselwinkel immer gleich groß sind, ist dieser Winkel gleich α. Nun sehen wir uns diesen Winkel an. Da g und c parallel sind, ist dies ein Wechselwinkel von β. Also ist dieser Winkel genauso groß wie β. Nun kannst du sehen, dass die Winkel α, γ und β zusammen einen Winkel von 180 Grad bilden. Es folgt also, dass α+β+γ=180° sind. Damit ist der Beweis fertig. Q.e.d. steht für “quod erat demonstrandum”. Übersetzt „Was zu beweisen war“. Die Frage, die sich jetzt stellt ist, ob bei den Innenwinkelsummen am Viereck eine ähnliche Aussage möglich ist. Sehen wir uns dazu dieses Viereck an. Es handelt sich um ein Quadrat. Wenn ich die Innenwinkel messe sehe ich, dass alle Innenwinkel 90 Grad groß sind. Addiere ich diese, bekomme ich eine Innenwinkelsumme von 360 Grad. Ich sehe mir noch ein weiteres Viereck an. Bei diesem Viereck ist ein Innenwinkel 80 Grad groß. Der nächste Innenwinkel ist 70 Grad groß. Dieser Innenwinkel ist 100 Grad groß. Und der letzte Innenwinkel ist 110 Grad groß. Addiere ich diese Innenwinkel, erhalte ich wieder 360 Grad. Auch hier ist es kein Zufall, denn der Innenwinkelsummensatz für Vierecke sagt aus: Die Summe aller Innenwinkel in einem Viereck beträgt 360 Grad. Wieso das gilt, werde ich dir zeigen. Dafür zeichne ich erst einmal ein Viereck ABCD. Mit den Winkeln α, β, γ und δ. Zu zeigen ist also, dass α+β+γ+δ=360° gilt. Um dies zu beweisen, zeichne ich eine Linie von A nach C. Diese Linie heißt Diagonale und teilt das Viereck ABCD in die beiden Dreiecke ABC und ACD. Dabei werden die beiden Innenwinkel α und γ in die Winkel α1 und α2 sowie in die Winkel γ1 und γ2 geteilt. Es gilt α= α1+ α2 und γ=γ1+γ2. Ich sehe mir nun das Dreieck ABC an. Nach dem Innenwinkelsummensatz für Dreiecke gilt also: α2+β+γ2=180°. Genauso gilt für das Dreieck ACD nach dem Innenwinkelsummensatz für Dreiecke, dass α1+γ1+δ=180°. Für diese beiden Gleichungen zusammen bekomme ich heraus, dass α2+β+γ2+α1+γ1+δ=180°+180° also =360° ist. Da dies eine Summe ist, kann man die Summanden beliebig vertauschen. Also folgt, dass α1+α2+β+γ1+γ2+δ=360° ist. Nun setze ich für α1 plus α2 α und für γ1 plus γ2 γ ein und erhalte α+β+γ+δ=360°. Damit ist der Beweis fertig. Q.e.d, quod erat demonstrandum, übersetzt: „Was zu beweisen war“. Ich fasse das Gelernte zusammen: Alle Winkel, die innerhalb eines Dreiecks oder Vierecks liegen, heißen Innenwinkel. Dabei haben die Summen dieser Innenwinkel eine besondere Eigenschaft. Denn der Innenwinkelsummensatz für Dreiecke sagt aus: Die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck beträgt 180 Grad. Der Innenwinkelsummensatz für Vierecke sagt: Die Summe aller Innenwinkel in einem Viereck beträgt 360 Grad. Ich hoffe, du hast alles verstanden. Tschüss und bis zum nächsten Mal!

14 Kommentare
  1. Ist srhr gut abrr kompliziert

    Von Aneckert, vor mehr als einem Jahr
  2. (Neu)

    Von Evelinemezger, vor mehr als einem Jahr
  3. Sophie starte den Browser ne und schliesse alle Apps

    Von Evelinemezger, vor mehr als einem Jahr
  4. PFFFFF ICH KONNTE WEDER DIE ÜBUNG NOCH DAS VIDEO ANSCHAUEN :(

    Von Sophie O., vor mehr als einem Jahr
  5. danke für das coole video mit den tollen Aufgaben!!weiter so

    Von Renatasommer, vor mehr als einem Jahr
  1. Ich kann die übung nichtt machen

    Von Itslearning Nutzer 2535 403646, vor mehr als einem Jahr
  2. is beschte

    Von Maximilian 20, vor fast 2 Jahren
  3. echt Super; hat mir sehr geholfen! :)

    Von JMW W., vor etwa 2 Jahren
  4. Richtig Richtig Gut erklärt!!! Könntest meine Mathelehrerin ersetzen xD

    Von Tanja S., vor mehr als 2 Jahren
  5. echt super

    Von Franzleistle, vor mehr als 2 Jahren
  6. Richtig gutes Video, Dankeschön :)

    Von Dixon Sarah, vor etwa 3 Jahren
  7. @Feldmann 2: Danke für den Hinweis. Sag mir mal, welche Aufgabe du meinst. Dann korrigiere ich es.

    Von Martin B., vor fast 4 Jahren
  8. Häääää, ich habe bei der einen Aufgabe alles richtig gemacht, aber es wird als falsch angesehen

    Von Feldmann 2, vor fast 4 Jahren
  9. :)

    Von Larissa & Alina M., vor fast 5 Jahren
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Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie ein allgemeines Dreieck beschriftet wird.

    Tipps

    Die Begrenzungslinien bzw. -strecken von Dreiecken bezeichnet man als Seiten.

    Im Inneren des Dreiecks spannen sich drei Winkel, die Innenwinkel, auf.

    Ein Dreieck wird mit den folgenden Buchstaben beschriftet: A,B,C,a,b,c,$\alpha$,$\beta$ und $\gamma$.

    Lösung

    Dreiecke werden allgemein so beschriftet, wie du es in dem Bild sehen kannst.

    • Die Eckpunkte werden gegen den Uhrzeigersinn mit den Großbuchstaben A,B und C bezeichnet.
    • Die Seiten werden mit kleinen Buchstaben beschriftet. Dabei bekommt die Seite den entsprechenden kleinen Buchstaben, wie der gegenüberliegende Punkt a,b, oder c.
    • Die Winkel innerhalb eines Dreiecks werden auch Innenwinkel genannt. Sie werden mit griechischen Buchstaben beschriftet. Bei Punkt A nennt man den Winkel $\alpha$, beim Punkt B $\beta$ und beim Punkt C $\gamma$.
  • Ergänze die Sätze und Regeln zu Innenwinkelsummen.

    Tipps

    Hier kannst du ein allgemeines Dreieck sehen. Miss die Innenwinkel aus und addiere sie. Was erhältst du?

    Oben kannst du ein allgemeines Viereck sehen. Miss die Innenwinkel aus und addiere sie. Was erhältst du?

    Lösung

    Bei einem Dreieck und einem Viereck sind die Winkeln jeweils innen, also innerhalb der Figur. Man nennt diese Winkel daher auch Innenwinkel. Es gibt auch die Außenwinkel bei einem Dreieck oder Viereck an den jeweiligen Eckpunkten. Du müsst hier lediglich den Winkel von 360° abziehen.

    Die Innenwinkelsumme bei Dreiecken beträgt immer 180°.

    Die Innenwinkelsumme beim Viereck beträgt immer 360°.

    Man kann jedes Viereck mit einer Diagonalen, die durch eine Strecke zwischen den gegenüberliegenden Punkten gezeichnet wird, in zwei Dreiecke teilen. Das kannst du in dem Bild gut erkennen.

  • Ermittle den fehlenden Winkel $\alpha$.

    Tipps

    Der Innenwinkelsummensatz für Dreiecke besagt, dass die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck $180°$ beträgt.

    Ein Winkel von genau $180°$ heißt gestreckter Winkel. Beide Schenkel liegen dabei auf einer Geraden.

    Lösung

    Es gibt hier verschiedene Möglichkeiten den Winkel $\alpha$ zu bestimmen. Hier wird dir die Methode über den Innenwinkelsummensatz gezeigt.

    • Wir können uns beispielsweise das Dreieck ACD ansehen. Die Innenwinkelsumme beträgt $180°$. Wir haben den Winkel $\delta$ mit $45°$ gegeben. Der Winkel $\gamma$ im Dreieck ACD beträgt $90°$, da der anliegende Winkel im Punkt C ebenfalls $90°$ beträgt. Der Winkel zwischen der Strecke CD und CB beträgt $180°$, da diese Strecken auf einer Geraden liegen und somit einen gestreckten Winkel ergeben. Nun können wir den Winkel $\alpha$ bestimmen, indem wir $180° - 45° - 90° = 45°$ rechnen.
    Der Winkel $\alpha$ ist $45°$ groß.

  • Gib den Beweis für den Innenwinkelsummensatz für Vierecke wieder.

    Tipps

    Der Innenwinkelsummensatz für Dreiecke besagt, dass die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck $180°$ beträgt.

    Das Viereck ist in zwei Teildreiecke geteilt worden. In jedem Teildreieck beträgt die Summe alle Innenwinkel $180°$.

    Lösung

    Wir wollen den Innenwinkelsummensatz bei Vierecken beweisen.

    Es ist zu zeigen, dass $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°$ gilt.

    Wir teilen als erstes das Viereck durch eine Diagonale durch die Punkte A und C. Du kannst das auch für B und D machen. Dadurch werden die Winkel $\alpha$ und $\gamma$ in zwei Teilwinkel unterteilt. Es gilt dann $\alpha=\alpha_1+\alpha_2$ und $\gamma=\gamma_1+\gamma_2$.

    Durch die Diagonale erhalten wir zwei Dreiecke. Einmal das Dreieck ABC und ACD. Wir können bei diesen Dreiecken den Innenwinkelsummensatz bei Dreiecken anwenden. Dieser besagt, dass die Summe aller Innenwinkel $180°$ beträgt.

    Es gelten also $\alpha_2 + \beta + \gamma_2 = 180°$ und $\alpha_1 + \delta + \gamma_1 = 180°$.

    Führen wir diese beiden Gleichungen zusammen, erhalten wir $\alpha_2 + \beta + \gamma_2 +\alpha_1 + \gamma_1 + \delta = 180° + 180° = 360°$.

    Auf der linken Seite können wir die Summanden vertauschen. Wir erhalten $\alpha_1+\alpha_2 + \beta + \gamma_1+ \gamma_2 + \delta = 360°$.

    Jetzt setzen wir $\alpha$ und $\gamma$ wieder ein und erhalten $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°$.

    Damit ist der Beweis fertig. Man schreibt dann q. e. d. Das ist lateinisch (quod erat demonstrandum) und bedeutet „was zu beweisen war“.

  • Bestimme die Innenwinkel der Dreiecke.

    Tipps

    In einem Dreieck beträgt die Winkelsumme $180°$. Es gilt also $\alpha+\beta+\gamma=180°$.

    Wenn zwei Winkel gegeben sind, dann stelle die Gleichung so um, dass du den dritten unbekannten Winkel berechnen kannst. Subtrahiere die Summe der Winkel von $180°$.

    Wenn zwei Winkel wie z.B. $\alpha$ und $\beta$ gleich groß sind, dann gilt: $2\cdot \alpha +\gamma=180°$. Wenn $\gamma$ gegeben ist, kannst du die Gleichung nach $\alpha$ umstellen.

    Lösung

    Der Innenwinkelsummensatz für Dreiecke lautet: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$.

    (1) Es sind zwei Winkel gegeben. Also setzen wir diese in die Formel ein und stellen sie nach dem gesuchten Winkel um. Die Formel lautet dann $\gamma = 180° - (\alpha + \beta)$. Wir setzen die Werte von a) und b) ein und rechnen aus.

    • a) $\gamma = 180° - (25° + 135°) = 20°$
    • b) $\gamma = 180° - (24° + 67°) = 89°$
    (2) Wenn zwei Winkel , wie z.B. $\alpha$ und $\beta$ gleich groß sind, dann gilt: $2\cdot \alpha +\gamma=180°$. Wenn $\gamma$ gegeben ist, kannst du die Gleichung nach $\alpha$ umstellen. $\alpha = (180° - \gamma):2$

    • a) $\alpha = \beta = (180° - \gamma):2 = (180° - 30): 2 = 75°$
    • b) $\alpha = \beta = (180° - \gamma): 2 = (180° - 100): 2 = 40°$
  • Berechne den fehlenden Innenwinkel bei den Vierecken.

    Tipps

    In jedem Viereck beträgt die Summe aller Innenwinkel $360°$.

    Du kannst den Winkel $\gamma$ berechnen, indem du die folgenden Gleichung geschickt umformst.

    $90°+120°+50°+\gamma=360°$

    Lösung

    In jedem Viereck beträgt die Summe aller Innenwinkel $360°$. Es gilt $\alpha + \beta + \gamma +\delta = 360°$.

    (1) Wir setzen die bekannten Winkel in den Innenwinkelsummensatz ein und subtrahieren geschickt. $\alpha = 360° - (\beta + \gamma +\delta)$

    • $\beta = 130°$, $\gamma = 50°$ und $\delta = 70°$, daraus folgt, dass $\alpha = 360° - (130° + 50° + 70°) = 110°$.
    (2) Hier gehen wir genau so vor. $\alpha = 360° - (\beta + \gamma +\delta)$
    • $\beta = 90°$, $\gamma = 50°$ und $\delta = 130°$, daraus folgt, dass $\alpha = 360° - (90° + 50° + 130°) = 90°$.
    (3) Hier sind zwei Winkel gleich groß. Das ändert aber nichts an dem Einsetzen in die Formel. $\alpha = 360° - (\beta + \gamma +\delta)$
    • $\beta = \gamma = 50°$ und $\delta = 130°$, daraus folgt, dass $\alpha = 360° - (50° + 50° + 130°) = 130°$.