Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – Definition

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – Definition Übung

• Definiere das lineare Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.

  Tipps

  Im Folgenden siehst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Durch Umstellen erhältst du nämlich:

  $\begin{array}{lll} & \left| \begin{matrix} y &=& -2x+3 \\ y &=& -3x+4 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert +2x \\ \vert +3x \\ \end{matrix} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} 2x+y &=& 3 \\ 3x+y &=& 4 \\ \end{matrix} \right| & \end{array}$

  Bei einer Äquivalenzumformung führst du auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Rechenoperation durch, sodass sich die Aussage der Gleichung nicht ändert.

  Lösung

  Jedes Gleichungssystem, das folgende Form hat oder durch Äquivalenzumformungen auf diese Form gebracht werden kann, ist ein lineares Gleichungssystem (im Folgenden LGS genannt) mit zwei Gleichungen und zwei Variablen:

  $\begin{array}{l} \left| \begin{matrix} a_1x+b_1y &=& c_1 \\ a_2x+b_2y &=& c_2 \\ \end{matrix} \right| \end{array}$

  • Eine Äquivalenzumformung ist die Umformung einer Gleichung, die die Aussage der Gleichung nicht verändert.

  In der obigen allgemeinen Form eines LGS mit zwei Gleichungen und zwei Variablen sind $x$ und $y$ die Variablen und $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$, $c_1$ und $c_2$ die Koeffizienten.

  Im Folgenden siehst du ein weiteres lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen:

  $\begin{array}{lll} & \left| \begin{matrix} y &=& -2x+3 \\ y &=& -3x+4 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert +2x \\ \vert +3x \\ \end{matrix} \\ \\ \end{array}$

  Du erhältst nämlich daraus durch die passende Äquivalenzumformung:

  $\begin{array}{lll} \left| \begin{matrix} 2x+y &=& 3 \\ 3x+y &=& 4 \\ \end{matrix} \right| & \end{array}$

  Hier sind die Koeffizienten wie folgt gegeben:

  • $a_1=2$
  • $b_1=1$
  • $c_1=3$
  • $a_2=3$
  • $b_2=1$
  • $c_2=4$

• Bestimme die Koeffizienten der linearen Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen.

  Tipps

  Achte auf die Vorzeichen.

  Der Ausdruck $-y$ bedeutet dasselbe wie $(-1)\cdot y$.

  Vergleiche die Gleichungen mit der vorgegebenen allgemeinen Form eines LGS mit zwei Gleichungen und zwei Variablen.

  Lösung

  Die allgemeine Form eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen lautet:

  $\left| \begin{matrix} a_1x+b_1y &=& c_1 \\ a_2x+b_2y &=& c_2 \\ \end{matrix} \right|$

  Im Folgenden betrachten wir zwei LGS, deren Koeffizienten gesucht sind.

  Beispiel 1

  $\left| \begin{matrix} 2x-y &=& 5 \\ x+3y &=& 6 \\ \end{matrix} \right|$

  In dieser Schreibweise werden einige Koeffizienten einfach weggelassen. Schreiben wir dieses LGS noch einmal ganz präzise auf, so erhalten wir:

  $\begin{vmatrix} 2x+(-1)y=&5\\ 1x+3y=&6\\ \end{vmatrix}$

  Diese Form können wir nun direkt mit der allgemeinen Form vergleichen und uns die folgenden Koeffizienten notieren:

  • $a_1=2$
  • $b_1=-1$
  • $c_1=5$
  • $a_2=1$
  • $b_2=3$
  • $c_2=6$

  Beispiel 2

  $\left| \begin{matrix} -x-\frac 37 y &=& 1,5 \\ -88x+7,\overline{3}y &=& 1 \\ \end{matrix} \right| $

  Damit können wir uns die folgenden Koeffizienten notieren:

  • $a_1=-1$
  • $b_1=-\frac 37$
  • $c_1=1,5$
  • $a_2=-88$
  • $b_2=7,\overline{3}$
  • $c_2=1$

• Ermittle die allgemeine Form der linearen Gleichungssysteme.

  Tipps

  Beachte, dass du beim Umstellen einer Gleichung auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Rechenoperation durchführst.

  Die allgemeine Form eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen lautet:

  $\left| \begin{matrix} a_1x+b_1y &=& c_1 \\ a_2x+b_2y &=& c_2 \end{matrix} \right| $

  Das Distributivgesetzt lautet wie folgt:

  $a(b+c)=ab+ac$

  Lösung

  Wir stellen die Gleichungen mittels Äquivalenzumfomungen so um, dass wir für die linearen Gleichungssysteme die folgende Form erhalten:

  $\left| \begin{matrix} a_1x+b_1y &=& c_1 \\ a_2x+b_2y &=& c_2 \\ \end{matrix} \right| $

  Die ersten beiden Gleichungssysteme können wir wie folgt umformen:

  Beispiel 1

  $\begin{array}{lll} & \left| \begin{matrix} 2x-y+3 &=& 8-x \\ x+2y -5 &=& 10-y \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert + x \\ \vert + y \\ \end{matrix} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} 3x-y+3 &=& 8 \\ x+3y -5 &=& 10 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert -3 \\ \vert +5 \\ \end{matrix} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} 3x-y &=& 5 \\ x+3y &=& 15 \\ \end{matrix} \right| & \end{array}$

  Beispiel 2

  $\begin{array}{lll} & \left| \begin{matrix} 2(x-y) &=& 2(4-0,5x) \\ x+2(y +2) &=& 6+2y \\ \end{matrix} \right| & \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} 2x-2y &=& 8-x \\ x+2y+4 &=& 6+2y \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert +x \\ \vert -2y \\ \end{matrix} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} 3x-2y &=& 8 \\ x+4 &=& 6 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \\ \vert -4 \\ \end{matrix} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} 3x-2y &=& 8 \\ x &=& 2 \\ \end{matrix} \right| & \end{array}$

  Gehen wir genauso bei den anderen beiden Beispielen vor, erhalten wir:

  Beispiel 3

  $\begin{array}{lll} & \left| \begin{matrix} x-5y &=& -5x-2y \\ 5x+y &=& 4(3x-y)+3 \\ \end{matrix} \right| & \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} 6x-3y &=& 0 \\ -7x+5y &=& 3 \\ \end{matrix} \right| & \end{array}$

  Beispiel 4

  $\begin{array}{lll} & \left| \begin{matrix} 3x-7y+6 &=& -9 \\ 8x+3y &=& 2(x-y)+27 \\ \end{matrix} \right| & \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} 3x-7y &=& -15 \\ 6x+5y &=& 27 \\ \end{matrix} \right| & \end{array}$

• Erschließe die Koeffizienten der linearen Gleichungssysteme.

  Tipps

  Beim Umstellen der Gleichungen ist es wichtig, dass du auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe machst, um den Wahrheitswert nicht zu beeinflussen. Nur dann bildet das Umstellen eine Äquivalenzumformung.

  Wenn du beim Umstellen $c_1=6$ statt $c_1=-6$ erhältst, dann kannst du die gesamte Gleichung mit $(-1)$ multiplizieren.

  Lösung

  Wir stellen das lineare Gleichungssystem mittels Äquivalenzumformungen so um, dass wir in der allgemeinen Form die Koeffizienten $c_1=-6$ und $c_2=10$ erhalten. Die allgemeine Form für ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen lautet wie folgt:

  $\left| \begin{matrix} a_1x+b_1y &=& c_1 \\ a_2x+b_2y &=& c_2 \\ \end{matrix} \right| $

  Wir können die Gleichungen wie folgt umstellen:

  $\begin{array}{lll} & \left| \begin{matrix} 5(x+2y) &=& 2(y+3)+7x \\ x-6y &=& -5(2-y) \\ \end{matrix} \right| &\text{ausmultiplizieren} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} 5x+10y &=& 2y+6+7x \\ x-6y &=& -10+5y \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert -7x \\ \vert -5y \\ \end{matrix} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} -2x+10y &=& 2y+6 \\ x-11y &=& -10 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert -2y \\ \vert \cdot (-1) \\ \end{matrix} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} -2x+8y &=& 6 \\ -x+11y &=& 10 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert \cdot (-1) \\ \\ \end{matrix} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} 2x-8y &=& -6 \\ -x+11y &=& 10 \\ \end{matrix} \right| & \end{array}$

  Damit erhalten wir die folgenden Koeffizienten:

  • $a_1=2$
  • $b_1=-8$
  • $a_2=-1$
  • $b_2=11$

• Gib alle linearen Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen an.

  Tipps

  Überprüfe, welche der gegebenen Gleichungssysteme folgende Form erfüllen:

  $\left| \begin{matrix} a_1x+b_1y &=& c_1 \\ a_2x+b_2y &=& c_2 \\ \end{matrix} \right| $

  In einem linearen Gleichungssystem dürfen Variablen nur in der 1. Potenz vorkommen.

  Lösung

  Wir überprüfen im Folgenden, welche der gegebenen Gleichungssysteme folgende Form erfüllen:

  $\left| \begin{matrix} a_1x+b_1y &=& c_1 \\ a_2x+b_2y &=& c_2 \\ \end{matrix} \right| $

  Ein Gleichungssystem dieser Form ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen.

  Demnach sind die folgenden Gleichungssysteme LGS mit zwei Gleichungen und zwei Variablen:

  • $\left| \begin{matrix} 2x-y+1 = 6 \\ x+3y = 6 \\ \end{matrix} \right| $

  • $\left| \begin{matrix} -2x-5y = 15 \\ 8x+7y = 16 \\ \end{matrix} \right| $

  Die folgenden Gleichungssysteme erfüllen die obige Form eines LGS mit zwei Gleichungen und zwei Variablen nicht:

  • $\left| \begin{matrix} -x- y = 1,5 \\ -88x+7,3z = 1 \\ \end{matrix} \right| $ Dieses Gleichungssystem enthält drei Variablen.

  • $\left| \begin{matrix} -x- y^2 = 1,5 \\ -88x+7,3y = 1 \\ \end{matrix} \right| $ Hier steht die Variable $y$ in der zweiten Potenz.

  • $\left| \begin{matrix} 2x^2-y+1 = 6 \\ x+3y = 6 \\ \end{matrix} \right| $ In diesem Gleichungssystem steht die Variable $x$ in der zweiten Potenz.

• Bestimme die allgemeine Form der linearen Gleichungssysteme.

  Tipps

  Die dritte binomische Formel lautet:

  $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

  Beachte, dass in jeder Gleichung jeweils ein Koeffizient bekannt ist. Dieser gibt dir vor, wie du die Gleichung umstellen musst.

  Lösung

  Wir stellen die Gleichungen so um, dass wir ein lineares Gleichungssystem in der allgemeinen Form erhalten. Zudem müssen die Gleichungen den jeweils bekannten Koeffizienten enthalten. Wir rechnen wie folgt:

  Beispiel 1

  $\begin{array}{lll} & \left| \begin{matrix} 2(x-5y) &=& 3x-2y-10 \\ x-y &=& -x+y+2 \\ \end{matrix} \right| &\text{ausmultiplizieren} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} 2x-10y &=& 3x-2y-10 \\ x-y &=& -x+y+2 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert -3x \\ \vert +x \\ \end{matrix} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} -x-10y &=&-2y-10 \\ 2x-y &=& y+2 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert +2y \\ \vert -y \\ \end{matrix} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} -x-8y &=&-10 \\ 2x-2y &=& 2 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert \cdot (-1) \\ \vert :(-2) \\ \end{matrix} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} x+8y &=&10 \\ -x+y &=& -1 \\ \end{matrix} \right| & \end{array}$

  Beispiel 2

  $\begin{array}{lll} & \left| \begin{matrix} (x+2)(x-2)+y &=& x^2+3(x-2y) \\ x+10y-20 &=& -5x-4y \\ \end{matrix} \right| & \text{ausmultiplizieren} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} x^2-4+y &=& x^2+3x-6y \\ x+10y-20 &=& -5x-4y \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert -x^2 \\ \vert +5x \\ \end{matrix} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} -4+y &=& 3x-6y \\ 6x+10y-20 &=& -4y \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert -3x \\ \vert +4y \\ \end{matrix} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} -3x-4+y &=& -6y \\ 6x+14y-20 &=& 0 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert +6y \\ \vert +20 \\ \end{matrix} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} -3x-4+7y &=& 0 \\ 6x+14y&=& 20 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert +4\\ \vert :2 \\ \end{matrix} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} -3x+7y &=& 4 \\ 3x+7y&=& 10 \\ \end{matrix} \right| & \end{array}$