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Brüche multiplizieren

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Was ist ein Bruch?

Zunächst einmal klären wir, was ein Bruch ist: Ein Bruch ist eine andere Schreibweise für eine Division. Das ist der mathematische Fachbegriff für das Teilen.

Du kannst zum Beispiel die Divisionsaufgabe $5:2$ auch als Bruch schreiben:

$\huge{\frac{\color{red}5}{\color{green}2}}$

Merke dir:

  • Statt des Geteiltzeichens ($:$) steht hier ein Strich, der sogenannte Bruchstrich.
  • Die Zahl oberhalb des Bruchstrichs wird Zähler genannt. Das ist die Zahl, die geteilt wird, also der Dividend.
  • Die Zahl unterhalb des Bruchstrichs wird Nenner genannt. Das ist die Zahl, durch die geteilt wird, also der Divisor.

Du liest diesen Bruch ebenso wie die Divisionsaufgabe: Fünf (geteilt) durch zwei.

Du kannst mit Brüchen ebenso rechnen wie mit ganzen Zahlen: Du kannst sie addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.

Die letzten beiden Grundrechenarten, die Punktrechnungen, schauen wir uns nun an.

Multiplikation von Brüchen

Ganz allgemein gilt:

$\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}$

Du kannst dir den folgenden Merksatz einprägen: Du multiplizierst Brüche, indem du je Zähler und Zähler sowie Nenner und Nenner multiplizierst.

Nun schauen wir uns einige Beispiele zur Multiplikation von Brüchen an:

  • $\frac23\cdot \frac14=\frac{2\cdot 1}{3\cdot 4}=\frac{2}{12}=\frac{2:2}{12:2}=\frac16$: Zuletzt kann der Bruch gekürzt werden.
  • $\frac{7}{4}\cdot \frac{5}{3}=\frac{7\cdot 5}{4\cdot 3}=\frac{35}{12}$: Dieser Bruch kann nicht gekürzt werden.

Multiplikation eines Bruches mit einer Zahl

Du kannst einen Bruch auch mit einer Zahl multiplizieren. Hierfür schreibst du die Zahl als Bruch mit der Zahl $1$ im Nenner:

$\frac43\cdot 5=\frac43\cdot\frac51=\frac{4\cdot 5}{3}=\frac{20}3$

Ganz so kompliziert muss es nun nicht sein. Präge dir auch hier einen Merksatz ein: Du multiplizierst einen Bruch mit einer Zahl, indem du den Zähler mit dieser Zahl multiplizierst.

An Beispielen kannst du dies nun üben:

  • $\frac17\cdot 6=\frac{1\cdot 6}7=\frac67$
  • $4\cdot \frac52=\frac{4\cdot 5}2=\frac{20}2=10$
  • $12\cdot \frac78=\frac{12\cdot 7}8=\frac{84}8=\frac{21}2$

Division von Brüchen

Das Dividieren von Brüchen kannst du mithilfe der Kehrwertregel auf die Multiplikation von Brüchen zurückführen:

$\dfrac{a}{b}: \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{d}{c}=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot c}$

Wieder hilft dir vielleicht ein Merksatz weiter: Du dividierst durch einen Bruch, indem du mit dessen Kehrwert multiplizierst.

Das kannst du nun an Beispielen sehen:

  • $\frac23:\frac45=\frac23\cdot\frac54=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 4}=\frac{10}{12}=\frac56$
  • $\frac17:\frac{3}{14}=\frac17\cdot \frac{14}{3}=\frac{14}{21}=\frac23$

Dividieren eines Bruches durch eine Zahl

Wieder kannst du die Zahl als Bruch schreiben, wie du dies bereits bei der Multiplikation mit einer Zahl gesehen hast:

$\frac 34:6=\frac34:\frac 61=\frac34\cdot \frac16=\frac{3}{4\cdot 6}=\frac3{24}=\frac18$

Du kannst es dir sicher schon denken ... hier kommt der Merksatz: Du dividierst einen Bruch durch eine Zahl, indem du den Nenner mit dieser Zahl multiplizierst.

Beispiele:

  • $\frac35:4=\frac{3}{5\cdot 4}=\frac3{20}$
  • $\frac72:3=\frac7{2\cdot 3}=\frac76$

Verhältnisgleichungen lösen

Wie kann man Verhältnisgleichungen lösen?

Familie Göckel fährt in den Urlaub

Familie Göckel fährt in den Urlaub. In zwei Stunden legen sie $180$ Kilometer zurück. Paul fragt sich nun, wie viele Kilometer sie zurücklegen, wenn sie mit gleichbleibender Geschwindigkeit fünf Stunden unterwegs sind.

Auto

Dies führt zu einer Verhältnisgleichung. Dabei stehen in den Zählern jeweils die Kilometer und in den Nennern die dafür benötigte Zeit:

$\frac{180}{2}=\frac{x}{5}$

  • Multipliziere über Kreuz: $180\cdot 5=2x$, also $900=2x$.
  • Dividiere nun durch $2$. So erhältst du $x=450$.

Das bedeutet, dass Familie Göckel $450$ Kilometer in den fünf Stunden zurücklegt.

Wie lange noch?

Familie Göckel ist auf dem Weg zur Geburtstagsfeier von Pauls Oma. Sie haben in zwei Stunden $180$ Kilometer zurückgelegt. Bis zur Oma sind es genau $270$ Kilometer. Wie lange fahren wir denn insgesamt bis zur Oma?, fragt sich Paul.

Wieder stellst du eine Verhältnisgleichung auf. Dieses Mal steht die Unbekannte im Nenner:

$\frac{180}{2}=\frac{270}{x}$

  • Auch hier multiplizierst du über Kreuz und erhältst so $180x=2\cdot 270$ oder $180x=540$.
  • Dividiere schließlich durch $180$. Das führt zu $x=3$.

Insgesamt benötigt Familie Göckel also drei Stunden bis zu Pauls Oma. Da sie schon zwei Stunden unterwegs sind, bleibt noch eine Stunde, dann gibt es Omas leckeren Geburtstagskuchen.