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Umfang von Rechteck und Quadrat 08:04 min

Textversion des Videos

Transkript Umfang von Rechteck und Quadrat

Hallo liebe Schülerinnen und Schüler. Herzlich willkommen zum Video Geometrie Teil 12. Der Titel des heutigen Videos heißt Umfang von Rechteck und Quadrat. Beginnen wir sogleich mit dem Rechteck. Stellen wir uns vor, wir haben eine Sportfläche, die umlaufen werden soll und ein Spieler der uruguayer Mannschaft muss sie einmal umrunden. Es ergibt sich die Frage: Wie lange ist der Laufweg, den er zurückzulegen hat, um einmal diese Runde zu laufen? Wir berechnen somit den Umfang dieses Rechtecks. Zunächst bezeichnen wir die Eckpunkte A, B, C und D des Rechtecks mit Großbuchstaben. Die Seite AB ist dann a, die Seite BC b, die Seite CD c und die Seite DA d. Wir messen nun die Seiten dieses Sportgeländes aus. Für a erhalten wir 60m, b ergibt 40m, für c werden ebenfalls 60m gemessen und für d ergeben sich wieder 40m. Wir können somit den Umfang als Summe der Seitenlängen der einzelnen Seiten bestimmen. 60m+40m+60m+40m. u=200m. Wir haben also gerechnet: u=a+b+c+d. Da im Rechteck parallele Seiten gleichlang sind, wissen wir, dass a=c ist und b=d. Wir schreiben also für c a und für d b und erhalten in der zweiten Zeile: u=a+b+a+b. Wir fassen nun in der dritten Zeile zusammen: u=2a+2b und in der vierten Zeile können wir nun noch die 2 ausklammern und schreiben: u=2(a+b). Kommen wir nun zum Quadrat. Wir möchten nun eine Formel für den Umfang des Quadrates entwickeln. Nehmen wir das folgende Quadrat. Zunächst beschriften wir die einzelnen Eckpunkte mit Großbuchstaben A, B, C und D. Die Seite AB wird benannt mit a, die Seite BC b, die Seite CD c und die Seite DA d. Die Seite a wird ausgemessen. Sie beträgt 40cm. Da es sich um ein Quadrat handelt, müssen die anderen Seiten genauso lang sein. Also können wir schreiben: b=40cm, c=40cm und d=40cm. Der Umfang u ergibt sich, wenn wir die Summe der Seitenlängen der einzelnen vier Seiten bilden. Also u=40cm+40cm+40cm+40cm. Wir erhalten somit: Der Umfang u beträgt 160cm. Was können wir benutzen, um eine möglichst einfache Formel für die Berechnung des Umfanges eines Quadrats zu entwickeln. Wir wissen, dass in einem Quadrat alle vier Seiten gleich lang sind. Also gilt: a=b=c=d. Ich lege jetzt noch einmal die Formeln auf, die wir für den Umfang des Rechtecks entwickelt haben. Wir können auch für das Quadrat die beiden letzten Formeln für u benutzen. Das ist möglich, weil das Quadrat ein spezielles Rechteck ist. Wir können also schreiben: u=2(a+a). Daraus ergibt sich: u=2(2a). Die Klammer können wir weglassen und daraus ergibt sich: u=4a. Damit haben wir eine nützliche Formel für die Berechnung der Länge des Umfanges für ein Quadrat hergeleitet. Fassen wir die Ergebnisse noch einmal zusammen: Wir haben die Formeln für den Umfang eines Rechtecks und eines Quadrates ermittel. Wir sind davon ausgegangen, dass im Rechteck die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind. In unserem Fall sind sie a und a sowie b und b. Im Quadrat sind alle vier Seiten gleichlang. Also betragen sie a, a, a und a. Wir haben für den Umfang des Rechtecks zwei nützliche Formeln entwickelt. Die erste lautet: u=2a+2b. Nach Ausklammern von 2 haben wir eine zweite Formel erhalten: u=2(a+b). Die Formel für die Berechnung der Länge des Umfanges eines Quadrates ist noch viel einfacher zu ermitteln. Wir können einfach die gleichen Seiten addieren. Also u=a+a+a+a. Wir müssten nur diese vier a's zusammenzählen und erhalten u=4a. Damit sind wir schon wieder am Ende. Schreibt mir, was ich besser machen kann. Alles Gute und viel Erfolg. Tschüss.

46 Kommentare
  1. Mega

    Von Marco Montag, vor 5 Monaten
  2. gut gemacht

    Von K Maerzlebsack, vor 9 Monaten
  3. mega geil dnake

    Von Tmahel, vor etwa einem Jahr
  4. Hallo Nergiz Sevinc,
    danke für dein Feedback.

    Quadratzentimeter sind eine Flächeneinheit und werden daher beispielsweise benutzt, um den Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten anzugeben.
    In diesem Video geht es aber um den Umfang, also um eine Länge. Die Längen der Rechtecke und Quadrate werden hier mit der Längeneinheit Zentimetern gemacht.

    Viel Erfolg beim Lernen und liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Jeanne O., vor mehr als einem Jahr
  5. muss da nicht cm2 hin wie haben es immer mit cm2 gemacht muss man cm2 machen oder kann man weil du hast nur cm geschriben deswegen weiß ich es nicht ob man muss oder kann aber sonst gut hat geholffen danke .........................weg vom tehma kurz wie macht man die smailis auf dem leptop kann es mir bitte jemand mir sagen der meldet sich bei mir danke........................ aber das viedio war echt cool danke jetzt bin ich für den testam freitag bereit danke fürs helfen mathe ist nämlich nicht so mein fach aber mit dem video hat mathe sehr spaß gemacht ich wünschte sie wären mein lehrer ok bye

    Von Nergiz Sevinc, vor mehr als einem Jahr
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Umfang von Rechteck und Quadrat Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Umfang von Rechteck und Quadrat kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie du die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks herleiten kannst.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel, wie gleichartige Terme zusammengefasst werden: $4a-a+b+2b=(4-1)a+(1+2)b=3a+3b$.

    Du siehst, dass die Faktoren jeweils addiert oder subtrahiert werden.

    $3a+3b$ kannst du weiter vereinfachen zu $3(a+b)$. Hier wurde die $3$ ausgeklammert.

    Lösung

    Um den Umfang eines Rechtecks zu berechnen, addierst du die Längen der vier Seiten. Dies ist übrigens bei jedem Viereck so: $u=a+b+c+d$

    Da die einander gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, also $a=c$ und $b=d$, erhältst du $u=a+b+a+b$.

    Nun kannst du gleichartige Terme zusammenfassen und schließlich die $2$ ausklammern. So erhältst du die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks: $u=2a+2b=2(a+b)$

  • Gib die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Quadrates an.

    Tipps

    Für jedes Viereck gilt: Der Umfang ist die Summe der vier Seiten, also $u=a+b+c+d$.

    Die Multiplikation ist eine abkürzende Schreibweise für eine Addition, bei welcher ein Summand mehrmals vorkommt.

    Es gilt daher $b+b+b=3b$, da der Summand $b$ dreimal vorkommt.

    Es sind zwei Formeln richtig.

    Lösung

    Wir wissen bereits, dass sich der Umfang eines Rechtecks mit der Formel $u=2(a+b)$ berechnen lässt.

    Ein Sonderfall des Rechtecks ist das Quadrat. Bei diesem sind alle Seiten gleich lang. Du kannst den Umfang dann so berechnen: $u=2(a+a)=2\cdot 2a=4a$

    Diese Formel erhältst du auch, wenn du die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Vierecks $u=a+b+c+d$ verwendest. Da alle vier Seiten gleich lang sind, ersetzt du die Seiten $b$, $c$ und $d$ mit der Seite $a$ und erhältst $u=a+a+a+a=4a$.

    Merke dir also, dass

    • der Umfang eines Rechtecks $u=2(a+b)$ und
    • der Umfang eines Quadrates $u=4a$ beträgt.
  • Berechne den Umfang des Rechtecks beziehungsweise des Quadrates.

    Tipps

    Verwende bei den Rechtecken die Formel $u=2(a+b)$, wobei $a$ und $b$ die verschiedenen Seitenlängen sind.

    Verwende bei den Quadraten die Formel $u=4a$.

    Der kleinste Umfang beträgt $22\ \text{cm}$ und der größte $32\ \text{cm}$.

    Lösung

    Je nach Fläche kannst du die folgenden Formeln verwenden:

    • für Rechtecke $u=2(a+b)$ und
    • für Quadrate $u=4a$.
    Wir berechnen nun den Umfang der Größe nach:

    1. Das Rechteck mit den Seitenlängen $a=c=6\ \text{cm};~b=d=5\ \text{cm}$ führt zu dem Umfang $u=2\cdot (6\ \text{cm}+5\ \text{cm})=2\cdot 11\ \text{cm}=22\ \text{cm}$.
    2. Das Quadrat mit den Seitenlängen $a=b=c=d=6\ \text{cm}$ hat den Umfang $u=4\cdot 6\ \text{cm}=24\ \text{cm}$.
    3. Das nächste Rechteck hat die Seitenlängen $a=c=4\ \text{cm};~b=d=9\ \text{cm}$. Hier kannst du den Umfang $u=2\cdot (4\ \text{cm}+9\ \text{cm})=2\cdot 13\ \text{cm}=26\ \text{cm}$ berechnen.
    4. Nun kommt wieder ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=c=12\ \text{cm};~b=d=3\ \text{cm}$. Der Umfang beträgt $u=2\cdot (12\ \text{cm}+3\ \text{cm})=2\cdot 15\ \text{cm}=30\ \text{cm}$.
    5. Es bleibt noch das Quadrat mit den Seitenlängen $a=b=c=d=8\ \text{cm}$. Hier beträgt der Umfang $u=4\cdot 8\ \text{cm}=32\ \text{cm}$.
  • Leite die jeweils fehlende Größe her.

    Tipps

    Verwende für ein Rechteck $u=2(a+b)$.

    Verwende für ein Quadrat $u=4a$.

    Wenn der Umfang $u$ gegeben ist, musst du die Formel nach der gegebenen Seitenlänge umstellen.

    • Bei einem Quadrat gilt $a=\frac{u}4$.
    • Bei einem Rechteck gilt $a=\frac u2-b$ oder $b=\frac u2-a$.
    Lösung

    Mit den beiden Formeln $u=2(a+b)$ für ein Rechteck sowie $u=4a$ für ein Quadrat kannst du bei gegebenen Seitenlängen den Umfang berechnen.

    Wenn du umgekehrt den Umfang kennst und bei einem Rechteck zusätzlich noch eine Seitenlänge bekannt ist, kannst du die fehlende Seitenlänge berechnen, indem du die Formel nach dieser umstellst.

    1. Beispiel: Bei einem Quadrat sei $a=5\ \text{cm}$.

    Damit ist $u=4\cdot 5~\text{cm}=20~\text{cm}$.

    2. Beispiel: Bei einem Rechteck seien $a=3\ \text{cm}$ und $b=4\ \text{cm}$.

    Somit ist $u=2\cdot(3~\text{cm}+4~\text{cm})=2\cdot 7~\text{cm}=14~\text{cm}$.

    3. Beispiel: Bei einem Quadrat ist $u=18\ \text{cm}$.

    • Dieses Mal musst du umstellen: $18~\text{cm}=4a$.
    • Dividiere durch $4$, so erhältst du $a=4,5\ \text{cm}$.
    4. Beispiel: Bei einem Rechteck seien $a=4\ \text{cm}$ und $u=18\ \text{cm}$.

    • In diesem Beispiel musst du ebenfalls umstellen: $18~\text{cm}=2\cdot(4~\text{cm}+b)$.
    • Dividiere durch $2$. Dies führt zu $9~\text{cm}=4~\text{cm}+b$.
    • Subtrahiere nun $4\ \text{cm}$. Schließlich kommst du zu $b=5\ \text{cm}$.
  • Benenne, was ein Rechteck von einem Quadrat unterscheidet.

    Tipps

    Ein Quadrat ist auch ein Rechteck. Umgekehrt stimmt dies allerdings nicht.

    In einem Rechteck gilt $a=c$ sowie $b=d$.

    Es gilt allerdings zum Beispiel nicht $a=b$.

    Lösung

    Links ist ein Rechteck abgebildet:

    • In diesem gilt, dass einander gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.
    • Es gilt also $a=c$ und $b=d$.
    Wenn zusätzlich alle Seiten gleich lang sind, handelt es sich um ein Quadrat, welches du rechts erkennen kannst. Hier gilt $a=b=c=d$.

    Insbesondere ist jedes Quadrat sicherlich auch ein Rechteck. Umgekehrt gilt dies allerdings nicht.

  • Berechne die Seitenlängen des Swimmingpools.

    Tipps

    In einem Rechteck gilt $a=c$ und $b=d$.

    Verwende die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks $u=2(a+b)$.

    Die längere Seite ist dreimal so lang wie die kürzere Seite. Es gilt also $a=3b$.

    Setze $a=3b$ in die Formel $u=2(a+b)$ ein. Forme diese bei gegebenem Umfang $u=40\ \text{m}$ nach der Seite $b$ um.

    Lösung

    Es ist $a=c$ und $b=d$ und damit $u=2(a+b)$.

    Da die längere Seite $a$ dreimal so lang ist wie die kürzere Seite $b$, folgt damit $a=3b$. Setze nun diese Beziehung in die Formel ein: $u=2(3b+b)$

    • Fasse zusammen: $u=2\cdot 4b=8b$
    • Setze nun den bekannten Umfang für $u$ ein und löse die resultierende Gleichung: $40~\text{m}=8b$.
    • Division durch $8$ führt zu $b=5\ \text{m}$.
    • Damit ist $a=3\cdot 5~\text{m}=15~\text{m}$.