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Normalenproblem – Normale in einem Punkt bestimmen

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Die Autor*innen
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Annejahn089
Normalenproblem – Normale in einem Punkt bestimmen
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Normalenproblem – Normale in einem Punkt bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Normalenproblem – Normale in einem Punkt bestimmen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was eine Normale ist.

    Tipps

    Ist die Tangente steigend, so ist die Normale fallend und umgekehrt.

    Je steiler die Tangente verläuft, desto flacher verläuft die Normale.

    Mach dir an dem Beispiel der linearen Funktion $f(x)=x$ im Koordinatensystem klar, wie die Gleichung der zu dieser Geraden im Koordinatenursprung senkrechten Geraden aussieht.

    Lösung

    In diesem Bild ist zu erkennen, dass die Steigungen zweier senkrechter Geraden verschiedene Vorzeichen haben müssen. Wenn beide Geraden gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden, so verläuft die blaue steiler und die rote flacher.

    Es gilt, dass das Produkt der Steigungen zweier senkrechter Geraden $m_t \cdot m_n = -1$ ergibt.

    Die Tangente berührt den Graphen einer Funktion in einem Punkt und die Normale steht in diesem Punkt senkrecht auf der Tangente.

    Sei $t(x)=m_t\cdot x+n_t$ die Tangenten- und $n(x)=m_n\cdot x+n_n$ die Normalengleichung, so gilt $m_t\cdot m_n=-1$. Dies ist äquivalent zu $m_n=-\frac1{m_t}$.

    Ist also der Anstieg der Tangenten bekannt, so ist auch der Anstieg der Normalen durch die obige Gleichung gegeben.

    Der Anstieg der Tangenten ist $m_t=f'(x_0)$ und damit $m_n=-\frac1{f'(x_0)}$.

  • Bestimme die Gleichung der Normalen.

    Tipps

    Seien die linearen Funktionen $f(x)=3\cdot x - 12$ und $g(x)=-\frac13 x-2$ gegeben. Zeichne diese in ein Koordinatensystem. Die zugehörigen Geraden stehen senkrecht aufeinander.

    Ein Punkt $P(x_0|y_0)$ liegt auf dem Graphen einer Funktion $f$, wenn $f(x_0)=y_0$ gilt.

    Die Funktionen sowohl der Tangente als auch der Normalen sind linear.

    Lösung

    Um die Normalengleichung einer Funktion in einem Punkt $P(x_0|y_0)$ zu bestimmen, benötigt man

    • den Anstieg der Tangente $m_t$ an den Graphen der Funktion in dem Punkt $P(x_0|y_0)$,
    • den Anstieg der Normalen $m_n$. Dieser ist $-\frac1{m_t}$ und
    • den Schnittpunkt mit der y-Achse der Normalen $n_n$. Diesen erhält man durch Einsetzen des Punktes $P(x_0|y_0)$ in der Normalengleichung.
    In diesem Beispiel mit $f(x)=\frac14x^2+1$ und $x_0=1$ ist
    1. mit $f'(x)=\frac12x$ der Anstieg der Tangente $m_t=0,5$,
    2. der Anstieg der Normalen $m_n=-2$, da $m_n=-\frac1{m_t}$ ist. Die Normalengleichung ist also $n(x)=-2\cdot x+n_n$.
    3. Der Schnittpunkt mit der y-Achse der Normalen $n_n$ kann durch Einsetzen des Punktes $P(x_0|y_0)$ berechnet werden. Für $x_0=1$ ist $y_0=\frac14 \cdot 1^2+1=\frac54=1,25$.
    4. Also gilt $1,25=-2\cdot1+n_n$ und dies ist äquivalent zu $n_n=1,25+2=3,25$. Die Normalengleichung ist dann gegeben durch $n(x)=-2\cdot x+3,25$.

  • Entscheide, welche der linearen Funktionen die Normale zu $f$ im Punkt $x_0$ ist.

    Tipps

    Schau dir zunächst die Steigung der Funktion an.

    Die Steigung der Normalen $m_n$ ist gegeben durch $m_n=-\frac1{m_t}$, wobei $m_t$ der Anstieg der Tangente ist.

    Für $x_0=2$ ist $y_0=2^3-\frac12\cdot 2^2+3\cdot2=12$.

    Lösung

    Die Normale ist gegeben durch die Gleichung $n(x)=-\frac1{13}x+12\frac2{13}$.

    Die Herleitung dieser Gleichung erfolgt über die

    • Berechnung des Tangentenanstiegs $m_t=f'(2)=13$,
    • Berechnung des Normalenanstiegs $m_n=-\frac1{m_t}=-\frac1{13}$ und
    • Berechnung von $n_n$ über den Punkt $P(x_0|y_0)$ mit $y_0=2^3-\frac12\cdot 2^2+3\cdot2=12$. Also $12=-\frac1{13}\cdot2+n_n$. Dies ist äquivalent zu $n_n=12\frac2{13}$.
    Die Gleichung $t(x)=13\cdot x-14$ ist die Tangentengleichung.

  • Berechne den Schnittpunkt der Normalen.

    Tipps

    Stelle jeweils die Normalengleichung auf, indem du

    • den Tangentenanstieg $m_t$ berechnest und damit
    • den Normalenanstieg $m_n=-\frac1{m_t}$.
    • $n_n$ kann über die jeweiligen Punkte berechnet werden.

    Die Ableitung der Funktion ist $f'(x)=2x-2$.

    Nun lässt sich die Steigung an jeder Stelle $x_0$ berechnen.

    Die Parabel ist symmetrisch zu einer Achse, die parallel zur y-Achse durch den Scheitelpunkt $(1|1)$ verläuft.

    Lösung

    Die beiden Normalengleichungen werden wie folgt berechnet:

    • grün: $m_t=f'(0)=2\cdot0-2=-2$. Damit ist $m_n=-\frac1{-2}=0,5$. Das Einsetzen des Punktes $P(0|2)$ in $n_1(x)=0,5\cdot x+n_n$ führt zu $2=0+n=n$. Also lautet die Normalengleichung der grünen Normalen $n_1(x)=0,5\cdot x+2$.
    • blau: Der Anstieg ist $m_t=-0,5$. Nun wird der Punkt $Q(2|2)$ in $n_2(x)=-0,5\cdot x +n_n$ eingesetzt. Dies führt zu $2=-0,5 \cdot 2 +n_n$, also $n_n=3$. Damit ist die Normalengleichung der blauen Normalen $n_2(x)=-0,5 \cdot x +3$.
    Die beiden linearen Funktionen werden gleichgesetzt, um die x-Koordinate des Schnittpunktes zu erhalten.

    $\begin{align*} 0,5\cdot x+2&=-0,5\cdot x+3 &|& +0,5\cdot x -2\\ x&=1. \end{align*}$

    Die y-Koordinate des Schnittpunktes ist $y=0,5\cdot 1+2=2,5$. Diesen hätte man auch durch Einsetzen in der anderen Normalengleichung erhalten. Der Schnittpunkt ist also $S(1|2,5)$.

  • Gib die Gleichung der Normalen an der Stelle $x_0$ an.

    Tipps

    Tangente und Normale stehen senkrecht zueinander.

    • Wie ist der Anstieg der Tangente gegeben?
    • Wie hängen der Anstieg der Tangente und der der Normalen zusammen?

    Die Ableitung von $f$ ist nach der Produktregel $f'(x)=4x^3+6x^2+6x$. Durch Einsetzen von $x_0=-1$ in diese Ableitung erhältst du den Anstieg der Tangente $m_t$.

    Es gilt $m_t\cdot m_n=-1$. Dabei ist $m_t$ der Anstieg der Tangente und $m_n$ der der Normalen.

    Um den Schnittpunkt mit der y-Achse $n_n$ zu berechnen, wird der Punkt $P(x_0|y_0)$ verwendet. Für $x_0=-1$ ist $y_0=(-1)^4+2\cdot(-1)^3+3\cdot(-1)^2-5=-3$.

    Lösung

    Die Normalengleichung lautet $n(x)=m_n\cdot x +n_n$. Die Normale steht senkrecht auf der Tangente mit dem Anstieg $m_t$. Das heißt, man muss zunächst den Anstieg der Tangente berechnen, um dann über die Formel $m_n=-\frac1{m_t}$ den Anstieg der Normalen zu erhalten.

    • $m_t=f'(-1)$. Die Ableitung von $f$ ist nach der Potenzregel gegeben durch $f'(x)=4x^3+6x^2+6x$. Damit ist $f'(-1)=4\cdot(-1)^3+6\cdot(-1)^2+6\cdot(-1)=-4$.
    • $m_n=-\frac1{-4}=\frac14$.
    Nun kann die Normalengleichung bereits wie folgt aufgeschrieben werden: $n(x)=\frac14x+n_n$.

    $n_n$ kann berechnet werden, indem der Punkt $P(x_0|y_0)$ in $n(x)$ eingesetzt wird. Für $x_0=-1$ ist $y_0=(-1)^4+2\cdot(-1)^3+3\cdot(-1)^2-5=-3$.

    $\begin{align*} -3&=\frac14\cdot(-1)+n_n &|& +\frac14\\ -2\frac34&=n_n. \end{align*}$

    Nun ist die Normalengleichung bestimmt: $n(x)=\frac14x-2\frac34$.

  • Weise nach, dass die Normalengleichung auch in der Form $n(x)=-\frac1{f'(x_0)}(x-x_0)+y_0$ angegeben werden kann.

    Tipps

    Das Vorgehen ist hier genau so wie in einem Beispiel:

    • zunächst wird die Steigung der Normalen durch $m_n=-\frac1{m_t}$ berechnet und
    • dann wird der Punkt $P(x_0|y_0)$ in der Normalangleichung eingesetzt. Dadurch erhält man $n_n$.

    Ein Punkt $P(x_0|y_0)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $f$, wenn $y_0=f(x_0)$ gilt.

    Lösung

    Die Steigung der Tangente zum Graphen der Funktion ist $m_t=f'(x_0)$. Da die Tangente und die Normale senkrecht zueinander sind, gilt also $m_n=-\frac1{f'(x_0)}$.

    Für die Normalangleichung muss also nur noch $n_n$ berechnet werden: $n(x)=-\frac1{f'(x_0)}\cdot x+n_n$.

    Hierfür wird der Punkt $P(x_0|y_0)$ in die Normalangleichung eingesetzt:

    $\begin{align*} y_0&=-\frac1{f'(x_0)}\cdot x_0+n_n~|~+\frac1{f'(x_0)}\cdot x_0\\ \frac1{f'(x_0)}\cdot x_0+y_0&=n_n. \end{align*}$

    Dieses $n_n$ kann in die Tangentengleichung eingesetzt werden:

    $\begin{align*} n(x)&=-\frac1{f'(x_0)}\cdot x+\frac1{f'(x_0)}\cdot x_0+y_0\\ &=-\frac1{f'(x_0)}(x-x_0)+y_0. \end{align*}$

    Dies ist die gesuchte Form der Normalengleichung.

    Zur Probe dieser Formel betrachten wir die Funktion $f(x)=\frac14x^2+1$ mit

    • $x_0=1$,
    • $y_0=\frac14\cdot1+1=1\frac14$ und
    • $f'(x_0)=f'(1)=\frac12$.
    Es gilt also

    $\begin{align*} n(x)&=-\frac1{\frac12}(x-1)+1\frac14\\ &=-2(x-1)+1\frac14\\ &=-2\cdot x+2+1\frac14\\ &=-2\cdot x+3\frac14. \end{align*}$

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