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Extremwert – Exkurs

Die Graphen von Funktionen können manchmal lokale Maxima und Minima besitzen, welche man als Extremwerte der Funktion bezeichnet.

Extremwert

In der Analysis werden Funktionsgleichungen und ihre Graphen auf vorgegebene Kriterien untersucht. Dies nennt man Kurvendiskussion.

Bei einer Kurvendiskussion spielt die Bestimmung von Extremwerten (auch: Extrema) eine wichtige Rolle: Der Funktionsgraph nimmt an diesen Stellen einen Hochpunkt (Maximum) oder einen Tiefpunkt (Minimum) ein.

Legt man an die Hoch- oder Tiefpunkte eines Funktionsgraphen eine Tangente an, so verläuft diese waagerecht zur $x$-Achse, hat also keine Steigung. Die Tangentensteigung kannst du als erste Ableitung im Berührpunkt sehen, also lassen sich mögliche Extrema bestimmen durch:

$f’(x) = 0$

Dies ist die notwendige Bedingung für die Existenz von Extrema. Da noch nicht bekannt ist, ob es sich bei den Werten um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, wird in einem zweiten Schritt die hinreichende Bedingung hinzugezogen. Hierzu setzt du in die zweite Ableitung den ermittelten Extrempunkt ein:

  • $f’’(x) \lt 0\qquad$ Es handelt sich um einen Hochpunkt.

  • $f’’(x) \gt 0\qquad$ Es handelt sich um einen Tiefpunkt.

Um schließlich die $y$-Koordinate eines Extrempunktes zu bestimmen, wird der $x$-Wert in die ursprüngliche Funktionsgleichung eingesetzt.