Lineare Gleichungssysteme

Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach derselben Variablen auf und setzt die Ergebnisse gleich.

Beispiel: $$ \begin{array}{lccc} I. & y &=& 2x + 3 \\[5pt] II. & y &=& -x + 6 \end{array} $$

Setzt du beide Terme für $y$ gleich, erhältst du: $$2x + 3 = -x + 6$$

Jetzt kannst du die Gleichung nach $x$ auflösen: $$ \begin{array}{ccc} 2x + x &=& 6 - 3 \\[5pt] 3x &=& 3 \\[5pt] x &=& 1 \end{array} $$

Einsetzen von $x = 1$ in eine der ursprünglichen Gleichungen liefert: $$y = 2\cdot 1 + 3 = 5$$

Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt diesen Ausdruck in die andere Gleichung ein.

Beispiel: $$ \begin{array}{lccc} I. & x + y &=& 7 \\[5pt] II. & y &=& 2x - 4 \end{array} $$

Setze nun $y = 2x - 4$ in die erste Gleichung ein: $$x + (2x - 4) = 7$$

Jetzt löse nach $x$ auf: $$ \begin{array}{ccc} 3x - 4 &=& 7 \\[5pt] 3x &=& 11 \\[5pt] x &=& \frac{11}{3} \end{array} $$

Setze $x$ in die zweite Gleichung ein, um $y$ zu bestimmen: $$y = 2 \cdot \frac{11}{3} - 4 = \frac{22}{3} - 4 = 3\frac{1}{3}$$

Das Additionsverfahren nutzt du, indem du die Gleichungen so veränderst, dass beim Addieren oder Subtrahieren eine der Variablen wegfällt.

Beispiel: $$ \begin{array}{lccc} I. & 2x + 3y &=& 16 \\[5pt] II. & -2x + 5y &=& 8 \end{array} $$

Durch Addition der beiden Gleichungen fällt $x$ weg: $$8y = 24$$

Daraus folgt sofort: $$y = 3$$

Setze $y$ in eine Gleichung ein, um $x$ zu ermitteln: $$2x + 3 \cdot 3 = 16 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = 3\frac{1}{2}$$

Lineare Gleichungssysteme mit höchstens zwei Unbekannten lassen sich auch grafisch lösen. Jede lineare Gleichung entspricht einer Geraden. Die Lösung ist dann der Schnittpunkt dieser Geraden.

Dabei gibt es drei Fälle:

Ja, das ist möglich. Du benötigst aber mindestens drei Gleichungen, um alle Unbekannten eindeutig zu bestimmen.

Das Gauß-Verfahren eignet sich hervorragend für große LGS mit vielen Gleichungen, da es eine systematische Vorgehensweise ist, die klar definiert ist und immer zum Ziel führt. Wie viele Lösungen kann ein LGS haben? Ein LGS hat entweder genau eine, eindeutige Lösung, keine Lösung oder es existieren unendlich viele Lösungen.

Ein LGS hat entweder genau eine, eindeutige Lösung, keine Lösung oder es existieren unendlich viele Lösungen.