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Irrationale Zahlen und Wurzeln

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Irrationale Zahlen und Wurzeln
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Irrationale Zahlen und Wurzeln

Inhalt

Was sind irrationale Zahlen?

Bei der Berechnung von Wurzeln hast du in der Mathematik vielleicht schon von irrationalen Zahlen gehört. In der Umgangssprache bezeichnet man etwas als irrational, wenn es dem Verständnis nicht zugänglich ist. Die irrationalen Zahlen kann man verständlich erklären, aber man kann sie nicht in derselben Weise darstellen wie die rationalen Zahlen. In diesem Video erklären wir dir zuerst die verschiedenen Zahlbereiche und erläutern dann, inwiefern die irrationalen Zahlen anders als rationale Zahlen sind.

Zahlbereiche

Die Zahlen, mit denen du zählst und Anzahlen bestimmst, heißen natürliche Zahlen. Ob die natürlichen Zahlen mit $0$ beginnen oder mit $1$ ist eine Entscheidungsfrage, die man nicht mathematisch lösen kann. Ob man die $0$ dazuzählt oder nicht, hängt auch davon ab, was man mit den Zahlen rechnen will. Die Menge der natürlichen Zahlen bezeichnen wir mit dem Symbol $\mathbb N$. Zu dieser Menge gehören also die Zahlen $1$, $2$, $3$, $4$ und so weiter – und je nach Vereinbarung auch die Zahl $0$.

Die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb Z$ enthält zusätzlich zu den natürlichen Zahlen noch deren Gegenzahlen und die Null. Zu dieser Menge gehören also alle positiven und negativen Zahlen, die keine Nachkommastellen haben. Das sind also die Zahlen der Form $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ und so weiter.

Der nächstgrößere Zahlbereich ist die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb Q$. Dieser Buchstabe steht für Quotient, also Geteiltrechnung oder Brüche. Zur Menge der rationalen Zahlen gehören alle Brüche, zum Beispiel $\frac{1}{3}$ oder $-\frac{7}{29}$. Eine Zahl heißt rational, wenn man sie als Bruch darstellen kann. Auch endliche Dezimalbrüche oder endliche Kommazahlen sind rationale Zahlen, denn du kannst jede solche Zahl als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner darstellen. Zum Beispiel ist $-13,17 = -\frac{1317}{100}$ oder $0,1 = \frac{1}{10}$. Zur Menge der rationalen Zahlen gehören auch alle periodischen Dezimalzahlen. Zum Beispiel ist $-0,\overline{4} = -\frac{4}{9}$ oder $0,\overline{142857} = \frac{142.857}{999.999} = \frac{1}{7}$. Außerdem gehören alle ganzen Zahlen ebenfalls zu der Menge $\mathbb Q$, denn du kannst jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner $1$ schreiben: $0=\frac{0}{1}$ oder $122 = \frac{122}{1}$.

Irrationale Zahlen – Definition und Erklärung

Welche Zahlen sind jetzt noch übrig, die nicht zur Menge $\mathbb Q$ der endlichen oder periodischen Dezimalbrüche gehören? Übrig sind nur die unendlichen, nicht periodischen Dezimalbrüche. Bei der rationalen Zahl $\frac{1}{7} = 0,\overline{142857}$ wiederholt sich die Ziffernfolge $142857$ in den Nachkommastellen. Solche regelmäßigen Wiederholungen gibt es bei irrationalen Zahlen nicht. Jede solche Zahl bezeichnet man als irrational, weil sie sich nicht als Verhältnis ganzer Zahlen darstellen lässt. Als Symbol für die Menge der irrationalen Zahlen verwendet man manchmal den Buchstaben $\mathbb I$. Der Buchstabe steht für irrational.

Die Menge der reellen Zahlen $\mathbb R$ ist die Zusammenfassung aller Zahlbereiche, die wir jetzt besprochen haben. Die Menge der reellen Zahlen enthält also die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen.

Wo kommen irrationale Zahlen vor?

Vielleicht ist die erste irrationale Zahl, die du kennengelernt hast, die Zahl $\sqrt{2}$. Auch die Zahlen $\sqrt{3}$ und $\sqrt{5}$ sind irrational. Viele Wurzeln natürlicher Zahlen sind irrational. Tatsächlich ist für jede Primzahl $p$ die Zahl $\sqrt{p}$ eine irrationale Zahl. Oder anders gesagt: Jede Wurzel aus einer natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, ist eine irrationale Zahl.

Es gibt aber noch weitere irrationale Zahlen als nur die Wurzeln natürlicher Zahlen. Die Kreiszahl $\pi$ ist eine irrationale Zahl und sie ist außerdem keine Wurzel aus einer natürlichen oder rationalen Zahl. Auch die Seitenverhältnisse in Dreiecken sind oft irrationale Zahlen. Diese Seitenverhältnisse werden durch die trigonometrischen Funktionen angegeben. Zum Beispiel ist $\sin(42^\circ)$ eine irrationale Zahl.

Auch Potenzen mit rationalem Exponenten ergeben meistens irrationale Zahlen. Diese Zahlen sind auch Wurzeln, aber keine Quadratwurzeln. Zum Beispiel ist $3^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{3}$ eine irrationale Zahl. Ganz ähnlich führt auch der Logarithmus natürlicher Zahlen oft auf irrationale Zahlen. Zum Beispiel ist $-\log_{7}(8)$ eine irrationale Zahl.

Dieses Video

In diesem Video werden dir irrationale Zahlen einfach und verständlich erklärt. Du erfährst ohne Beweis, dass $\sqrt{2}$ irrational ist, und lernst viele weitere Beispiele kennen. In den interaktiven Übungen zu dem Video kannst du dein neues Wissen gleich ausprobieren.

Transkript Irrationale Zahlen und Wurzeln

Hallo. Wenn du Wurzeln behandelt hast, dann sind dir ja auch die irrationalen Zahlen untergekommen. Naja, und die sind ja immer so ein bisschen komisch, deshalb heißen die auch irrationale Zahlen im Sinne von “bekloppte Zahlen”. Und wir können uns jetzt mal angucken, was das für Zahlen sind. Und das geht am besten, indem wir uns überhaupt ansehen welche Zahlenmengen es gibt. Und da fangen wir mit den einfachsten Zahlen an: Und das sind die „natürlichen Zahlen“. Es gibt die Menge der natürlichen Zahlen, da sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, usw. enthalten. Je nach mathematischem Fachgebiet ist die 0 auch da drin. Ist vielleicht überraschend, dass das nicht ganz geklärt ist, ob die 0 nun dazugehört oder nicht, aber das macht man halt immer so wie man es braucht. Die Menge der natürlichen Zahlen hat ein Symbol, und das ist ein N mit einem Doppelstrich hier. Die nächstgrößere Zahlenmenge ist die Menge der „ganzen Zahlen“. Und das Symbol ist ein Z mit einem Doppelstrich. In dieser Menge sind die natürlichen Zahlen enthalten: 1, 2, 3, usw. und auf jeden Fall ist die 0 mit drin. Und es sind die negativen ganzen Zahlen auch mit drin, nämlich -1, -2, -3, usw. In der nächstgrößeren Zahlenmenge sind immer noch keine irrationalen Zahlen enthalten, denn es ist die Menge der „rationalen Zahlen“. Rationale Zahlen, irrationale Zahlen. Vernünftige Zahlen, bekloppte Zahlen. Marmelade, Konfitüre. Hier Tutti, da Frutti, he? Die Menge der rationale Zahlen hat das Symbol Q , mit einem Doppelstrich. Und Q steht für Quotient. Und wie der Name Quotient schon sagt, es geht um Brüche. Also die Menge der rationalen Zahlen besteht aus allen Brüchen. Da haben wir z. B. 1/3 oder wir haben -7/29. Dazu gehören dann auch alle Dezimalbrüche oder Dezimalzahlen oder noch anders gesagt, Kommazahlen. Wir haben z. B. -13,17, das kann man auch als Bruch darstellen oder 0,1 zum Beispiel. Wir haben auch alle periodischen Dezimalzahlen in dieser Menge, z. B. -0,4 Periode, das ist -4/9. Jede periodische Dezimalzahl ist ja auch ein Bruch. Oder wir haben z. B. 0,142857 Periode, das ist 1/7. Und wir haben auch alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen in dieser Menge. Wir können z. B. 0 schreiben als 0/1. Dann ist das auch ein Bruch. Oder wir können -4 schreiben als -4/1. Das ist auch ein Bruch. Oder z. B. die 122 können wir schreiben als 122/1. Jetzt haben wir immer noch keine irrationalen Zahlen. Welche Möglichkeiten gibt es denn jetzt noch? Jetzt gibt es noch die Dezimalzahlen mit unendlich vielen nicht-periodischen Nachkommastellen. Das sind Kommazahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben, die sich aber nie wiederholen. Um es ganz genau zu machen, wir hatten uns ja z. B. 1/7 angesehen. 1/7 ist als Dezimalzahl geschrieben 0,142857 Periode. Das bedeutet also, dass sich dieser Zahlenblock immer wieder wiederholt. Wir haben also 0,142857142857142857142857142857... Und diese Wiederholungen gibt es bei den irrationalen Zahlen eben nicht. Und wie kommen wir jetzt da drauf? Weil Wurzeln häufig irrationale Zahlen sind. Wir haben nun also eine noch größere Zahlenmenge. Das ist die Menge der „reellen Zahlen“. Das Symbol ist ein R mit einem Doppelstrich. In dieser Menge sind die natürlichen Zahlen enthalten. Es sind die ganzen Zahlen enthalten. Und die rationalen Zahlen, also alle Brüche, alle periodischen Dezimalzahlen, z. B. hier 1/7. Und natürlich auch die Dezimalzahlen mit endlich vielen Nachkommastellen. Und es sind die irrationalen Zahlen auch mit enthalten, z. B. die Wurzel(2), z. B. die Wurzel(3), oder auch -Wurzel(5). Dann kommen noch viele andere Zahlen hinzu, wie z. B. die Kreiszahl π, die ist auch irrational. Dann sind die Seitenverhältnisse in Dreiecken oft irrational. Oder es sind irrationale Zahlen, z. B. der sin(42°). Diese Seitenverhältnisse werden durch Sinus, Kosinus, Tangens und Cotangens angegeben. Sin(42°) ist eine irrationale Zahl. Dann haben wir noch lustige Potenzen, wie z. B. 3(1/5). Das ist auch eine irrationale Zahl. Oder auch freundliche Logarithmen, wie -log7(8). Wenn du diese Sachen hier noch nicht gehabt hast, ist das nicht so schlimm, das kommt noch. Tja, wer hätte das gedacht, dass aus solchen einfachen Wurzeln so verrückte Zahlen rauskommen. Bekannt ist das Ganze übrigens schon seit der Antike, auch da hat man sich über diese Zahlen gewundert, weil man sie ja nicht richtig aufschreiben kann. Und weil man sich so gewundert hat, ist da unheimlich viel Mathematik daraus entstanden. Wir sind aber erstmal hier fertig mit den Zahlenmengen. Viel Spaß damit, tschüss!

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. Cool erklärt.
    Vielen Danke :D

    Von Winter Mario, vor fast 2 Jahren
  2. Richtig gut erklärt und lustig anzuschauen!

    Von Anleb , vor mehr als 2 Jahren
  3. Super und lustig erklärt! Danke Martin! :3

    Von Denis C., vor mehr als 2 Jahren
  4. MEEEEEEGA COOL UND RICHTIG GUT ERKLÄRT!!!

    Von Kunst 1, vor etwa 4 Jahren
  5. witzig und super erklärt. Weiter so !
    Liebe Grüße

    Von behrad r., vor mehr als 4 Jahren

Irrationale Zahlen und Wurzeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Irrationale Zahlen und Wurzeln kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne den jeweiligen Zahlenraum.

    Tipps

    Der Buchstabe $\mathbb{N}$ steht für die natürlichen Zahlen.

    Der Buchstabe $\mathbb{Q}$ steht für den Quotienten, also einen Bruch.

    Es gilt die folgende Teilmengenbeziehung:

    $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$.

    Das bedeutet: Alle natürlichen Zahlen $(\mathbb{N})$ sind auch ganze Zahlen $(\mathbb{Z})$. Alle ganzen Zahlen sind auch rationale Zahlen $(\mathbb{Q})$.

    Lösung

    Es gibt verschiedene Zahlenbereiche, die dir im Laufe deiner Schulzeit begegnen.

    Die natürlichen Zahlen

    Diese lernst du recht früh kennen. Natürliche Zahlen hängen mit Zählbarkeit zusammen: Du kannst zum Beispiel zählen, wie viele Schüler in deiner Klasse sind.

    Die Menge der natürlichen Zahlen kannst du so schreiben:

    $\mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;...\}$

    Hin und wieder wird die $0$ dazu gezählt, hin und wieder nicht. Hier ist sie zugefügt.

    Manche Rechnungen sind im Bereich der natürlichen Zahlen nicht möglich: Die Rechnung $4-7$ ergibt zum Beispiel $-3$. Diese Zahl ist jedoch nicht in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten. Um die Rechnung dennoch durchführen zu können, wird der Zahlenbereich erweitert.

    Die ganzen Zahlen

    Dies sind die natürlichen Zahlen und die negativen Zahlen. Auch hierfür gibt es eine mathematische Schreibweise:

    $\mathbb{Z}=\{...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...\}$

    Wieder gibt es Aufgaben, die du in diesem Zahlenbereich nicht rechnen kannst. Teile zum Beispiel $25~€$ auf zehn Personen auf. Wie viel Euro bekommt dann jeder?

    Die rationalen Zahlen

    In dem obigen Beispiel bekommt jeder $2,50~€$.

    Die rationalen Zahlen sind die Bruchzahlen. Sie können auch als Dezimalzahlen dargestellt werden. Dabei kann die Dezimalzahl

    • entweder endlich viele Nachkommastellen haben (Beispiel: $-13,17$)
    • oder eine periodische Dezimalzahl sein. (Beispiel: $0,\bar4$)
    Die mathematische Schreibweise ist:

    $\mathbb{Q}=\left\{\frac ab~\vert~a\in\mathbb{Z};~b\in \mathbb{N};~b\neq 0\right\}$.

    Die rot umrandeten Zahlen sind die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$, die blau umrandeten die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ und die grün umrandeten die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$.

  • Gib an, welche der Zahlen irrational sind.

    Tipps

    $\pi=3,141592653589...$ ist die sogenannte Kreiszahl. (gesprochen: „Pi“)

    Der Ausdruck $-\sqrt{9}$ ergibt $-3$. Dies ist eine ganze Zahl und somit nicht irrational.

    Lösung

    Du hast bereits das Folgende gelernt.

    Zahlen werden als rational bezeichnet, wenn sie als Bruch darstellbar sind. Diesen Zahlenbereich bezeichnet man mit dem Buchstaben $\mathbb{Q}$. Mathematisch drückt man das so aus:

    $\mathbb{Q}=\left\{\frac ab~\vert~a\in\mathbb{Z};~b\in \mathbb{N};~b\neq 0\right\}$.

    Sie können auch als Dezimalzahlen dargestellt werden. Dabei kann die Dezimalzahl

    • entweder endlich viele Nachkommastellen haben (Beispiel: $-13,17$)
    • oder eine periodische Dezimalzahl sein. (Beispiel: $0,\bar4$)
    Gibt es denn auch Zahlen, die nicht rational, also irrational, sind? Ja: zum Beispiel $\sqrt 2$. Das erkennt man daran, dass $2$ keine Quadratzahl ist.

    Beispiele für irrationale Zahlen sind:

    • Die Kreiszahl $\mathbb{\pi}$: Sie kann näherungsweise, zum Beispiel mit dem Näherungsverfahren nach Archimedes, auf viele Stellen hinter dem Komma berechnet werden. Mittlerweile ist $\pi$ bereits auf mehr als 1 Billionen Stellen hinter dem Komma berechnet: $\pi=3,141592653589... $
    • Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, sind irrationale Zahlen: also $\sqrt{2}$, $\sqrt 3$, $-\sqrt 5$, ...
    • Die Eulersche Zahl $e=2,718281828459045235360287471...$
    Wenn du zu der Menge der rationalen Zahlen $(\mathbb{Q})$ die der irrationalen Zahlen hinzufügst, erhältst du die Menge der reellen Zahlen. Mathematisch kann man diese so beschreiben:

    $\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \{x~|~ x \text{ ist eine irrationale Zahl} \} $.

  • Ordne die Zahlen dem jeweiligen Zahlenbereich zu.

    Tipps

    Alle ganzen Zahlen, also $\mathbb{Z} = \{...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...\}$ sind auch rational, gehören also auch zur Menge $\mathbb{Q}$.

    Bei Wurzelausdrücken musst du überprüfen, ob unter der Wurzel eine Quadratzahl steht.

    Wenn dort eine Quadratzahl steht, ist der Wurzelausdruck rational, sonst irrational.

    Lösung

    Jede Zahl lässt sich eindeutig als rational oder irrational bezeichnen.

    Rationale Zahlen

    Die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ beinhaltet alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen. Dazu gehören auch Dezimalzahlen, die endend sind, oder bei denen sich die Nachkommastellen periodisch wiederholen. Auch natürliche und ganze Zahlen gehören zu dieser Menge, wie wir gleich sehen werden.

    Folgende Zahlen können durch diese Festlegung direkt der Menge $\mathbb{Q}$ zugeordnet werden:

    • $-\frac{1}{3}~;~ -\frac{25}{5}~;~ 0,\bar{1}~;~10,2.$
    Dazu kommen Zahlen, die zu den natürlichen oder ganzen Zahlen gehören, da man diese mit dem Nenner $1$ ebenfalls als Bruch darstellen kann:

    • $15=\frac{15}{1}$ und $-1=\frac{-1}{1};$
    Dazu kommen noch die Wurzelausdrücke, die sich zu natürlichen oder ganzen Zahlen berechnen:

    • $\sqrt{25} = 5$ und $-\sqrt{16} = 4$.
    Irrationale Zahlen

    Die Menge der irrationalen Zahlen besteht aus Zahlen, die sich als nicht endende und nicht periodische Dezimalzahlen schreiben lassen.

    Dazu gehören unter anderem alle Wurzelausdrücke, bei denen unter der Wurzel eine nicht-Quadratzahl steht, wie:

    • $-\sqrt{2}~;~\sqrt{18}~;~\sqrt{3}~;~\sqrt{15}~;~\sqrt{7}$.
    Außerdem gehören dazu einige „besondere“ Zahlen:

    • Die Kreiszahl $\pi=3,14159265...$
    • Die Euler'sche Zahl $e=2,7182818284$
    • Der Goldene Schnitt $\Phi=1,61803399...$
    • ...
  • Ermittle den Bereich auf dem Zahlenstrahl, in dem die jeweilige Wurzel liegt.

    Tipps

    Wenn du wissen willst, in welchem Bereich die jeweilige Wurzel liegt, quadriere die Dezimalzahlen, die durch die Striche dargestellt sind:

    • $1,1^2=1,21<2$, also ist $1,1<\sqrt2$.
    • $1,2^2=1,44<2$, also ist $1,2<\sqrt2$.
    • $1,3^2=~...$

    Es gilt:

    $\sqrt 2<\sqrt 3<\sqrt 5$.

    • $\sqrt{2} \approx 1,4132$
    • $\sqrt{3} \approx 1,7321$
    • $\sqrt{5} \approx 2,2361$
    Lösung

    Auf dem Bild erkennst du eine graphische Herangehensweise. Das Rechteck, was sich aus dem orangen und dem gelben Quadrat oberhalb des Zahlenstrahls ergibt, hat den Flächeninhalt $2$cm$\cdot1$cm$=2$cm$^2$.

    Das Quadrat unterhalb des Zahlenstrahls ist durch eine Zerschneidung der kleinen Quadrate entstanden. Deshalb muss es ebenfalls den Flächeninhalt $2$cm$^2$ haben. Da es sich um ein Quadrat handelt, sind alle Seitenlängen gleich lang. Weil $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2$ gilt, ist die Seitenlänge des großen Quadrats $\sqrt{2}$cm. Dadurch kannst du am Zahlenstrahl den ungefähren Wert von $\sqrt{2}$ erkennen.

    Kommen wir nun zur rechnerischen Lösung!

    Zuerst ordnen wir $\sqrt 2$ in unseren Zahlenstrahl ein:

    • Es ist $1,4^2=1,96$ und
    • $1,5^2=2,25$.
    Damit gilt $1,4<\sqrt 2<1,5$.

    Hier siehst du nun $\sqrt 2$ mit einigen Nachkommastellen:

    $\sqrt 2=1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 …$ ... und das hört tatsächlich nie auf und ist auch nicht periodisch.

    Ebenso kannst du bei den beiden anderen Wurzeln vorgehen.

    Jetzt ordnen wir $\sqrt 3$ in unseren Zahlenstrahl ein:

    • Es ist $1,7^2=2,89<3$ und
    • $1,8^2=3,24>3$.
    Damit ist $1,7<\sqrt 3<1,8$. Auch hier siehst du eine genauere Darstellung von $\sqrt 3$:

    $\sqrt 3=1.73205080757...$

    Zuletzt ordnen wir noch $\sqrt 5$ in unseren Zahlenstrahl ein:

    • Es ist $2,2^2=4,84$ und
    • $2,3^2=5,29$.
    Somit ist sicher $2,2<\sqrt 5<2,3$.

    Hier ist ebenfalls eine genauere Darstellung:

    $\sqrt 5=2,2360679774998...$

  • Bestimme den jeweiligen Zahlenbereich durch die entsprechende Beschreibung.

    Tipps

    Merke dir:

    • Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl.
    • Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl.

    Wenn man den Zahlenbereich der natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen ergänzt, erhält man den Bereich der ganzen Zahlen.

    Die rationalen Zahlen sind Bruchzahlen.

    Sie können als Dezimalzahlen dargestellt werden, die

    • entweder endlich viele Nachkommastellen haben
    • oder periodisch sind.
    Lösung

    Hier werden noch einmal die verschiedenen Zahlenbereiche beschrieben und als Menge dargestellt:

    • Die natürlichen Zahlen werden mit dem Buchstaben $\mathbb{N}$ bezeichnet. Sie enthalten alle Zahlen, die man durch Zählen erhalten kann. Als Menge schreibt man $\mathbb=\{0;1;2;3;4;...\}$.
    • Die ganzen Zahlen werden mit dem Buchstaben $\mathbb{Z}$ bezeichnet. Sie enthalten alle natürlichen Zahlen und zusätzlich die negativen Zahlen. Als Menge schreibt man $\mathbb{Z}=\{...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...\}$.
    • Die rationalen Zahlen werden mit dem Buchstaben $\mathbb{Q}$ bezeichnet. Sie enthalten alle Zahlen, die mal als Bruch darstellen kann. Dazu gehören auch alle ganzen Zahlen, da z.B. $2$ als $\frac21$ darstellbar ist. Als Menge schreibt man $\mathbb{Q}=\left\{\frac ab~\vert~a\in\mathbb{Z};~b\in \mathbb{N};~b\neq 0\right\}$.
    Zusätzlich gibt es noch die folgenden Zahlenbereiche:
    • Die irrationalen Zahlen werden mit dem Buchstaben $\mathbb{I}$ bezeichnet. Die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ sind nicht in ihnen enthalten. Man kann die irrationalen Zahlen beispielsweise so beschreiben: $\mathbb{I}=\{x~|~ x$ ist weder endend noch periodisch$\} $
    • Die reellen Zahlen werden mit dem Buchstaben $\mathbb{R}$ bezeichnet. Die reellen Zahlen bestehen aus der Vereinigung der beiden Zahlenbereiche $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{I}$. Als Menge schreibt man $\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $.
    Jeder dieser Zahlenbereiche wird in der Mathematik häufig verwendet. Schaue dir hierfür Beispiele an:

    • Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt. Wenn zum Beispiel in einem Produkt der Faktor $a$ genau $n$-mal, mit $n\in\mathbb{N}$, vorkommt, schreibt man $a^n$.
    • Löse die Gleichung $3x+4=6$ im Bereich der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$.
    • Ein beliebiges Vielfaches einer Zahl $z$ wird beschrieben durch $k\cdot z$, wobei $k\in\mathbb{Z}$ ist.
  • Wende das Heron-Verfahren an, um $\sqrt 5$ näherungsweise zu berechnen.

    Tipps

    Man berechnet das $a$ des nächsten Rechtecks immer mit dem $a$ und dem $b$ aus dem aktuellen Rechteck.

    Mathematisch ausgedrückt ergibt sich $a_{n+1}$ aus $a_n$ und $b_n$. Die Formel lautet:

    $a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$.

    Lösung

    Mit Hilfe des Heron-Verfahrens kann man Wurzelausdrücke wie zum Beispiel $\sqrt{5}$ näherungsweise bestimmen.

    Als Ausgangssituation betrachten wir ein Rechteck mit den Seitenlängen $a_0=5$ und $b_0=1$, da dieses den Flächeninhalt $5$ [FE] hat. Die allgemeine Formel zur Bestimmung der ersten Seitenlänge des Rechtecks lautet:

    $a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$.

    1. Schritt

    Um die erste Seitenlänge des neuen Rechtecks $a_1$ zu berechnen, nutzen wir die Formel und erhalten $a_1 = \frac{5+1}{2} = 3$. Die andere Seite des neuen Rechtecks ergibt sich nun aus der Bedingung, dass der Flächeninhalt aller Rechtecke beim Heron-Verfahren gleich bleibt. Es muss also weiterhin gelten:

    $3\cdot b_1 = 5$.

    Umstellen der Gleichung ergibt $b_1 = \frac53$.

    2. Schritt

    Auf dieselbe Weise errechnen wir $a_2 = \frac{a_1 + b_1}{2}$. Wenn wir diese Gleichung mit Zahlen füllen erhalten wir:

    $a_2 = \frac{3 + {\Large\frac53}}{2} = \frac73$.

    Da der Flächeninhalt immer noch $5$ [FE] ergeben muss, können wir $b_2$ ausrechnen:

    $b_2 = 5\cdot\frac37 = \frac{15}{7}$.

    3. Schritt

    Im dritten Schritt ergeben sich die Werte $a_3 = \frac{47}{21}$ und $b_3 = \frac{105}{47}$. Beide Brüche ergeben schon $\approx 2,23$ und sind eine gute Näherung für $\sqrt{5}$.

    Weiteres Vorgehen

    Man könnte jetzt auch noch den 4.,5. usw. Schritt berechnen. Das Ergebnis nähert sich immer weitere an $\sqrt{5}$ an. In Aufgaben steht immer, wie viele Schritte man anwenden soll bzw. wie genau die Rundung sein muss.

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