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Gleichungen lösen durch Probieren und Rückwärtsrechnen

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Gleichungen lösen durch Probieren und Rückwärtsrechnen
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse

Beschreibung Gleichungen lösen durch Probieren und Rückwärtsrechnen

Gleichungen! Ein altbekanntes und oft angesprochenes Thema! Du benötigst Gleichungen in der Schule und in deinem alltäglichen Leben. Wie erhält man Gleichungen? Man erhält Gleichungen nicht nur, wenn man ein Ergebnis ausrechnet. In welchen Fällen treten sie noch auf? Was versteht man unter dem systematischen Lösen und Probieren von Gleichungen? Was sind Äquivalenzumformungen? Fragen über Fragen! Im Video werden wir dir Antworten geben und dir helfen deinen Umgang mit Gleichungen zukünftig zu verbessern. Viel Spaß beim Schauen des Films!

Transkript Gleichungen lösen durch Probieren und Rückwärtsrechnen

Hallo! Hier sind Gleichungen: 2+4=6 und auch 38/2=19. Gleichungen erhält man nicht nur, wenn man ein Ergebnis ausrechnet, sondern auch, wenn man eine Zahl sucht, die zu einem bestimmten Ergebnis führt. Z. B. 8×mmm=56. Damit man hier nicht mmm sagen muss, setzt man eine Variable ein. Eine Variable ist ein Buchstabe, der anstelle der gesuchten Zahl steht. Welchen kann man da nehmen? Vielleicht einen Buchstaben, der nicht so häufig in anderen Zusammenhängen vorkommt, z. B. das x. Dann lautet also unsere Gleichung: 8×x=56. Hier ist dann die Zahl gesucht, die man für x einsetzen muss, damit die Gleichung richtig ist. Ich zeige noch eine andere Gleichung: x-3=4. Auch hier wäre es unpraktisch zu sagen mmm-3=4. Deshalb schreibt man einfach x-3=4, dann weiß man Bescheid. Wir suchen die Zahl, die man für x einsetzen muss, damit diese Gleichung richtig ist. Um das Ziel zu erreichen, gibt es 3 Möglichkeiten. Zum einen systematisches Probieren, zum 2. Rückwärts Rechnen und 3. - das bekommst du später, zeige ich in diesem Film nicht - Äquivalenzumformungen. Also: systematisches Probieren. Das bedeutet in unserem Fall hier, wir setzen hier in diese Gleichung Zahlen ein und gucken mal, ob das Richtige rauskommt. Du setzt natürlich nicht irgendwelche Zahlen ein, hier setzt du für x z. B. nicht 28000 ein, weil du weißt, dass 28000-3 nicht 4 ergibt. Du könntest etwas einsetzen, was größer als 4 ist, z. B. 5. 5-3 ist aber nicht 4. Dann nimmst du eine noch größere Zahl, z. B. 6. 6-3=3 und nicht 4. Naja, man ahnt es schon: Wenn du hier 7 einsetzt, dann wird die Gleichung richtig, denn 7-3=4. So, ich hoffe, das ist keine Überraschung für dich. Systematisches Probieren kann zum Ziel führen. Auch bei dieser Gleichung ist das möglich. Wenn du gar keine Idee hast, kannst du ja die 8er - Reihe durchgehen: 8×1=8, 8×2=16 und so weiter, dann kommst du irgendwann zu der 56: 8×7=56. Dieses Verfahren führt aber oftmals nicht schnell genug zum Ziel und deshalb gibt es ein weiteres Verfahren, nämlich das Verfahren des Rückwärts - Rechnens. Das möchte ich mal an diesem Beispiel zeigen: x+3=8. Wir suchen eine Zahl, zu der man 3 hinzu addieren muss, um 8 zu erhalten. Das bedeutet aber auch, dass man von 8 3 abziehen kann, um auf diese Zahl zu kommen. 8-3 ist 5 und deshalb ist 5=x. Das bedeutet, wir können für x die Zahl 5 einsetzen und dann wird die Gleichung richtig: 5+3=8. Ich zeige das noch an einem weiteren Beispiel: 15/x=5. Gesucht ist also die Zahl, durch die 15 geteilt 5 ergibt. Wenn ich 15 durch eine Zahl teile, sodass 5 herauskommt, dann kann ich 5 mit dieser Zahl multiplizieren und dann kommt 15 heraus. Also kann ich auch schreiben: 5×x=15. Nun wissen wir auch, wenn wir 5 mit einer Zahl multiplizieren und dann 15 rauskommt, dann können wir 15 durch 5 teilen und es kommt die Zahl heraus, die wir suchen. Also die Zahl, mit der man 5 multiplizieren muss, um 15 zu erhalten. Oder auch, wie das hier steht. Die Zahl, durch die man 15 teilen muss, um 5 zu erhalten. Das ist also das Rückwärts - Rechnen und das zeige ich an noch einem weiteren Beispiel: 7×x-9=12. Wir wissen, wir suchen eine Zahl, die man mit 7 multiplizieren muss. Von dem Ergebnis wird dann 9 abgezogen und 12 kommt heraus. Also können wir auch 12+9 rechnen und dann muss 7×x herauskommen. 12+9=21 und somit suchen wir eine Zahl, mit der man 7 multiplizieren muss, sodass 21 herauskommt. Das heißt aber auch, dass wir 21 durch 7 teilen können und dann kommt die Zahl heraus, mit der man 7 multiplizieren muss, um 21 zu erhalten. 21/7=3 und damit ist 3=x. Was ich jetzt in diesem Zusammenhang noch nicht gesagt habe, ist, dass man eine Probe machen kann, das heißt, wenn du jetzt eine Zahl herausbekommen hast für x, dann setzt du die in diese Ausgangsgleichung ein und probierst aus, ob diese Zahl auch richtig ist. Wenn wir hier statt x 3 einsetzen, steht hier 7×3=21-9=12. Also ist die Gleichung richtig und wir haben hier richtig rückwärts gerechnet und das richtige Ergebnis für die Variable x herausgefunden. Viel Spaß damit. Tschüss.

28 Kommentare

28 Kommentare
  1. Vielen Dank für euer positives Feedback. Es freut uns zu hören, dass euch das Video so gut gefällt. Viel Spaß weiterhin mit unseren Inhalten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Diem Thanh Hoang, vor 10 Monaten
  2. danke jetztbkonnte ich die kenntnisse vor der 8 noch mal auffrischen

    Von K Ritscher, vor 10 Monaten
  3. sehr schön erklährt

    Von 15chrissi051983, vor etwa 2 Jahren
  4. super erklärt habs getscheckt

    Von Ansgar B., vor mehr als 2 Jahren
  5. Beste endlich verstehe ich es EHRENMÄNNERRRRRRR!

    Von Stefan I., vor mehr als 2 Jahren
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Gleichungen lösen durch Probieren und Rückwärtsrechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungen lösen durch Probieren und Rückwärtsrechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige den Rechenweg des systematischen Probierens für die Gleichung $x-3=4$.

    Tipps

    Beim Probieren geht es darum, Werte für $x$ einzusetzen, von denen man am ehesten glaubt, dass sie zum gewünschten Ergebnis führen.

    Führe die Rechnung für immer größer werdende Werte für $x$ durch, bis die Gleichung stimmt.

    Lösung

    Beim Probieren beginnen wir mit Werten, von denen wir denken, dass sie in der Nähe der gesuchten Zahl liegen könnten. Bei der Gleichung $x-3=4$ rechnen wir damit, dass die Werte in der Umgebung des Ergebnisses liegen. Der gesuchte Wert wird sicherlich nicht $x=28000$ sein.

    Da $4$ das Ergebnis des linken Terms sein soll und hier eine Subtraktion stattfindet, muss das $x$ in jedem Fall größer sein als $4$:

    • Wir probieren es zuerst mit $5$ und erhalten $5-3=2$. Das Ergebnis ist leider noch zu klein, daher erhöhen wir den Wert von $x$ um $1$.
    • Dann erhalten wir $6-3=3$. Auch $x=6$ bringt noch nicht das gewünschte Ergebnis. Wir sind der Lösung aber ganz nahe, nun wollen wir noch einmal um $1$ erhöhen und ausrechnen:
    • Dann rechnen wir $7-3=4$. Nun geht die Gleichung auf. Der gesuchte Wert ist $x=7$.
  • Ermittle den Wert für $x$ in der Gleichung $x+3=8$ durch Rückwärtsrechnen.

    Tipps

    Ziel des Rückwärtsrechnens ist es, die Gleichung so umzustellen, dass man das Ergebnis einfacher finden kann.

    Achte auf die Formulierung, die dir sagt, welche Werte verschoben werden müssen.

    Lösung

    Hier möchten wir im Gegensatz zur ersten Aufgabe nicht viele verschiedene Zahlen ausprobieren, sondern gezielt eine Lösung für $x$ ermitteln. Dazu betrachten wir die Gleichung noch einmal genauer.

    Die Gleichung $x+3=8$ sagt aus, dass die Summe aus einer unbekannten Zahl $x$ und $3$ zum Ergebnis $8$ führen soll. Man kann diese Formulierung auch so verstehen, dass $8-3$ genauso groß sein muss, wie der gesuchte Wert:

    • $x+3=8$ führt also zum gleichen Ergebnis wie
    • $8-3=x$, was zusammengefasst werden kann zu $5=x$.
    Wir überprüfen und setzen $x=5$ in die Gleichung ein: $5+3=8$. Die Gleichung geht auf, wir haben also alles richtig gemacht.

  • Ordne die Gleichungen durch Probieren ihren Lösungen zu.

    Tipps

    Unter geschicktem Probieren versteht man das Einsetzen einer Zahl (beispielsweise in eine Gleichung), von der man denkt, dass sie das gewünschte Ergebnis liefert.

    Wenn die Gleichungen aufgehen, kannst du sie zu dem passenden $x$-Wert ziehen.

    Lösung

    Versuchen wir, diese Gleichungen durch Probieren zu lösen. Beginnen wir mit der ersten Gleichung $2 \cdot x + 4 = 8$ und nehmen die kleinstmögliche Lösung $x=2$, da das Ergebnis nicht sehr groß sein soll:

    $\begin{align} 2 \cdot (2) + 4 &= 8 \\ 4+4 &= 8 \\ 8 &= 8 \end{align}$

    Es geht auf, daher passt diese Gleichung zum Wert $x=2$. Wir sagen: $x=2$ löst die Gleichung $2 \cdot x + 4 = 8$.

    Nun die nächste Gleichung $5-x=3$: Wir nehmen wieder die kleinste Lösung und auch das geht auf, diese Gleichung passt ebenfalls zu $x=2$.

    Die nächste Gleichung $-2 +x=1$ geht mit diesem Wert allerdings nicht auf bzw. führt zu einer falschen Aussage, daher versuchen wir den nächst größeren Wert $x=3$:

    $\begin{align} -2+(3) &=1 \\ 1 &= 1 \end{align}$

    Nun geht die Gleichung auf, sie gehört also zum Ergebnis $x=3$.

    Weiter mit $5-x=2$. Es wird gefragt, was man von $5$ abziehen muss, um $2$ zu erhalten. Das kann nur $x=3$ sein.

    Abschließend zur letzten Gleichung $8=16 - (2 \cdot x)$: Um hier auf der rechten Seite auf $8$ zu kommen, muss rechts sehr viel von $16$ abgezogen werden, also versuchen wir hier die bisher noch nicht vorgekommene größtmögliche Lösung für $x$, nämlich $x=4$, für die die Gleichung am Ende auch aufgehen wird:

    $\begin{align} 8 &= 16 - (2 \cdot 4) \\ 8 &= 16 - 8 \\ 8 &= 8 \end{align}$

  • Wende das Prinzip des Rückwärtsrechnens an.

    Tipps

    Die fertige Gleichung muss mit $x=$ anfangen.

    Wenn du die $3$ auf die rechte Seite gebracht hast, erhältst du dort $9-3$, was du auch als $6$ schreiben kannst.

    Lösung

    Betrachten wir die Gleichung $2 \cdot x + 3 = 9$. Eine unbekannte Zahl soll verdoppelt und mit $3$ addiert werden, um $9$ zu erhalten. Das bedeutet zunächst, dass die verdoppelte unbekannte Zahl genauso groß sein muss, wie die Differenz aus $9$ und $3$. Das können wir auch als Gleichung formulieren: $2 \cdot x = 9-3$

    Möchten wir eine Lösung für das $x$, bedeutet dies nun, dass unsere unbekannte Zahl genauso groß sein muss, wie die Hälfte der Differenz auf der rechten Seite. Wichtig ist hier, Klammern zu setzen oder direkt zusammenzufassen, dann sieht die fertig umgestellte Gleichung so aus: $x= ( 9-3) : 2$ oder $x=6 :2$

    So könnte man die Lösung fast ablesen, die richtige Lösung für $x$ lautet $x=3$.

  • Bestimme den gesuchten Wert durch Probieren.

    Tipps

    Du kannst die $8$er-Reihe durchgehen, wenn du dir unsicher bist.

    Du kannst aber auch direkt eine größere Zahl überprüfen, wenn du denkst, dass sie dich schneller zum Ergebnis bringt.

    Lösung

    Versuchen wir, uns vor Augen zu führen, was in dieser Gleichung gesucht wird. Es wird untersucht, welche Zahl man mit $8$ multiplizieren muss, um als Ergebnis $56$ zu erhalten. Für eine unbekannte Zahl setzt man meist ein $x$ in die Gleichung.

    Eine Möglichkeit besteht darin, die $8$er-Reihe durchzuprobieren, bis du das richtige Ergebnis erreichst:

    • Du kannst dir aber auch als Orientierung direkt größere Werte zum Probieren aussuchen. Mit $x=2$ kommen wir nicht weit, denn $2 \cdot 8=16$. Das Ergebnis des linken Terms ist sehr weit weg von den gesuchten $56$.
    • Versuchen wir direkt die größtmögliche Zahl, landen wir bei $x=8$ und erhalten $8 \cdot 8 = 64$. Das ist größer als die gesuchte Lösung, daher nehmen wir ein etwas kleineres $x$.
    • So erhalten wir mit $x=7$ die Gleichung $8 \cdot 7 = 56$. Das Ergebnis passt, der gesuchte Wert ist $x=7$.
    Ziel des Probierens als Lösungsmethode ist nicht, alle möglichen Werte durchzugehen, sondern vielmehr zu überlegen, mit welchen Werten man am schnellsten in die Nähe der Lösung kommt. Wenn du etwas darüber oder darunter liegst, kannst du kleinere oder größere Werte probieren – solange, bis du das richtige Ergebnis erreicht hast.

  • Erschließe den Wert für $x$ durch geeignetes Rückwärtsrechnen.

    Tipps

    Lasse Schritt für Schritt aus den Gedanken von Tom eine Gleichung entstehen.

    Die entstandene Gleichung sieht so aus:

    Du kannst sie in einigen Schritten so umstellen, dass du den Wert für $x$ bestimmen kannst. Fasse dabei immer zusammen, sobald es möglich ist.

    Lösung

    Versuchen wir, aus den Informationen von Tom eine Gleichung zu konstruieren. Zuerst sollen wir die gedachte Zahl $x$ mit $4$ addieren. Nun soll diese Summe durch $3$ geteilt werden. Dazu müssen wir eine Klammer setzen:

    $(x+4) : 3$

    Ohne Klammer würden wir nur die $4$ durch $3$ teilen. Diese Rechnung soll nun genauso groß sein wie die Hälfte von Zehn. Aus dem Term wird eine Gleichung:

    $(x+4) : 3 = 10 : 2$

    Nun müssen wir durch Rückwärtsrechnen die Lösung für $x$ ermitteln. Zuerst vereinfachen wir jedoch die rechte Seite, das ist erlaubt, denn die Hälfte von Zehn kennen wir:

    $(x+4) : 3 = 5$

    Diese Gleichung formen wir nun so um, dass wir das Ergebnis für $x$ erhalten. Dazu bringen wir zuerst $3$ auf die rechte Seite, lösen die Klammer auf und ziehen $4$ auf beiden Seiten ab, damit das $x$ alleine steht:

    $\begin{align} (x+4) &= 5 \cdot 3 \\ x+4 &= 5 \cdot 3 \\ x &= 5 \cdot 3 - 4 \\ x &= 15 - 4 \\ x &= 11 \end{align}$

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