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Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren 11:45 min

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Transkript Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren

Hallo, herzlich willkommen! Heute werden wir uns auf die Reise ins Land der Flächeninhalte begeben. Es gibt dort ganz viele spannende Sachen zu entdecken. Hast Du Lust mitzukommen?

Eigenschaften eines Rechtecks

Zunächst schauen uns nochmal an, welche Eigenschaften ein Rechteck hat und wie wir herausfinden, wie groß seine Fläche ist. Du kannst dich sicher noch erinnern?

Ja, genau! Wenn wir ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b haben, dann müssen wir beide Seitenlängen miteinander multiplizieren. Also ist A = a · b.

Rechenbeispiel 1: Zusammengesetzte Figur aus 2 Rechtecken

Mit diesem Wissen begeben wir uns jetzt auf einen Spaziergang durch Omas Garten. Sie gibt uns die Möglichkeit, unser eigenes Feld zu bepflanzen. Hast du schon eine Idee, was du alles pflanzen möchtest? Da gibt es ja so vieles! Blumen aller Art, Gemüse und Obst! Aber vielleicht schaffen wir es auch, von allem ein bisschen zu pflanzen. Dazu müssen wir aber erst wissen, wie viel Fläche wir zur Verfügung haben.

Schauen wir uns doch mal gemeinsam das Feld an. Mmh, es sieht nicht wie ein Rechteck aus. Es hat vielmehr die Form eines “Ls”. Hier die Fläche genau zu berechnen, könnte schwierig werden.

Aber lass uns doch mal genauer hinschauen. Siehst Du, dass sich in der Form Rechtecke versteckt haben? Erkennst Du sie? Zur Verdeutlichung malen wir einfach mal einen roten Strich und zwar da, wo das “L” seinen Knick hat. Jetzt kannst Du deutlich zwei Rechtecke erkennen. Einmal das grüne Rechteck oberhalb des roten Strichs und einmal das rote Rechteck unterhalb des roten Strichs.

Da wir die Flächeninhalte von Rechtecken mit der uns bekannten Formel berechnen können, ist es uns damit auch möglich den Flächeninhalt der vorliegenden Form zu ermitteln.

Um den Flächeninhalt der Rechtecke zu berechnen, benötigen wir die Seitenlängen. Das rote Rechteck hat die Seitenlängen b = 6 Meter und c = 10 Meter.

Betrachten wir nun aber das grüne Rechteck. Es hat eine Seite mit der Länge a = 4 Meter. Bei der anderen Seite müssen wir etwas genauer hinsehen. Wie du bestimmt erkannt hast, ist sie ist wesentlich kürzer als die gekennzeichnete Strecke d, welche 14 Meter lang ist. Wie lang ist nun aber die horizontale Seite des grünen Rechtecks?

Wie du ja siehst setzt sich die Strecke d aus der Seite des grünen und des roten Rechtecks zusammen. Wie lang die rote Teil der Strecke ist, wissen wir. Denn auf der gegenüberliegenden Seite des roten Rechteck ist sie mit dem b gekennzeichnet.

Um nun die Seitenlänge des grünen Rechtecks zu ermitteln müssen wir einfach von der Strecke d die Strecke b abziehen. Wir rechnen also für die zweite Seite des grünen Rechtecks: d − b, also 14 Meter − 6 Meter und erhalten 8 Meter. Damit hat das grüne Rechteck eine Seite mit der Länge a = 4 Meter und eine Seite mit der Länge d − b = 8 Meter.

Lass uns doch mal die beiden Rechtecke ein bisschen auseinander ziehen. So kannst Du sie wesentlich deutlicher erkennen.

Um bei unserer Rechnung nicht durcheinander zu kommen ,bezeichnen wir den Flächeninhalt des grünen Rechtecks mit A1 und den des roten Rechtecks mit A2.

Für das grüne Rechteck berechnen wir den Flächeninhalt mit A1 = a · (d − b) und erhalten A1 = 4 Meter · 8 Meter. Unser Ergebnis lautet 32 Quadratmeter.

Für das rote Rechteck berechnen wir A2 = b · c und erhalten A2 = 6 Meter · 10 Meter ist gleich 60 Quadratmeter. Damit haben wir den Flächeninhalt des grünen und des roten Rechtecks ermittelt.

Wie aber kommen wir nun auf den Flächeninhalt des gesamten L-förmigen Feldes? Hast du vielleicht eine Idee? Ja genau, es ist ganz einfach, wir addieren die einzelnen Flächeninhalte von A1 und A2. Die Summe ergibt schließlich den gesamten Flächeninhalt unseres L-förmigen Feldes.

Wir rechnen also A = A1 + A2 ist gleich 32 Quadratmeter + 60 Quadratmeter. Wir erhalten somit A = 92 Quadratmeter. Damit haben wir den Flächeninhalt des L-förmigen Feldes berechnet und können beginnen Blumen, Gemüse und Obst zu verpflanzen.

Rechenbeispiel 2: Zusammengesetzte Figur aus 3 Rechtecken

Ok. Lass uns doch nun einmal ein etwas komplexer geformtes Beet betrachten. Eines wie dieses hier. Hier haben sich auch einige Rechtecke versteckt. Kannst Du sie erahnen?

Lass uns doch einfach mal ein paar Hilfslinien ziehen! Vielleicht wird es dann einfacher, das Beet in so viele Rechtecke zu unterteilen. Die erste, rote Linie bringt schon ein erstes Rechteck zu Tage. Hast Du schon eine Idee, wo wir die zweite Linie ziehen können?

Ja genau! Die grüne Linie liefert uns jetzt zwei weitere Rechtecke. Unser Feld haben wir jetzt in drei Rechtecke unterteilt. Zur Flächenberechnung eines Rechtecks brauchen wir wieder die zwei jeweiligen Seitenlängen.

Wenn wir uns das rote Rechteck ansehen, sind beide Seitenlängen mit a = 4 Meter und b = 10 Meter angegeben. Auch beim blauen Rechteck sind die Seitenlängen mit d = 5 Meter und e = 4,5 Meter schon gegeben. Nur beim grünen Rechteck müssen wir genauer hinsehen. Die Seitenlängen sind zwar nicht angegeben, stecken jedoch in den Angaben der anderen Seiten.

Wir benennen die waagerechte Seite des grünen Rechtecks mit g. Für die Längenangabe der waagerechten Seite des grünen Rechtecks müssen wir die Seitenlänge f = 3 Meter und d = 5 Meter addieren. Wir erhalten g = f + d und erhalten 8 m.

Die senkrechte Seite des grünen Rechtecks benennen wir mit h. Für die senkrechte Seite des grünen Rechtecks müssen wir uns an der Strecke c = 10 Meter orientieren.

Die Seitenlängen des roten Rechtecks a und des grünen Rechtecks e sind uns bekannt. Diese müssen wir von der Strecke c abziehen, um die Länge der senkrechten Seite des grünen Rechtecks zu erhalten. Wir rechnen also h ist gleich c minus a minus e und erhalten für die Länge der senkrechten grünen Seite 1,5 Meter.

Jetzt haben wir alle Seitenlängen der drei Rechtecke: Das rote Rechteck mit den Seitenlängen a und b. Das grüne Rechteck mit den Seitenlängen g und h. Und zuletzt das blaue Rechteck mit den Seitenlängen e und d.

Um den Flächeninhalt der drei Rechtecke zu bestimmen berechnen wir:

  • Für das rote Rechteck: A1 = a · b ist gleich 4 Meter · 10 Meter. Wir erhalten A1 = 40 Quadratmeter.
  • Für das grüne Rechteck: A2 = g · h ist gleich 8 Meter · 1,5 Meter. Wir erhalten für das grüne Rechteck einen Flächeninhalt von 12 Quadratmetern.
  • Für das blaue Rechteck berechnen wir: A3 = e · d ist gleich 4,5 Meter · 5 Meter. Wir erhalten für das blaue Rechteck einen Flächeninhalt von 22,5 Quadratmeter.

Auch hier müssen wir den Flächeninhalt der einzelnen Rechtecke zusammenrechnen, um als Summe den gesamten Flächeninhalt zu erhalten. Also berechnen wir: A = A1 + A2 + A3 ist gleich 40 Quadratmeter + 12 Quadratmeter + 22,5 Quadratmeter und erhalten einen gesamten Flächeninhalt von 74,5 Quadratmeter.

Zusammenfassung

Du siehst, dass man manchmal komplexe Flächen in Rechtecke unterteilen kann. Der Flächeninhalt eines Rechtecks lässt sich ja durch die Multiplikation seiner beiden Seitenlängen berechnen. So bleibt zum Schluss nur noch die Addition der einzelnen Rechteckflächen. Wie im ersten Beispiel, wo wir zwei Rechtecke, ein grünes und ein rotes, hatten und A = A1 + A2 berechnet haben.

Im zweiten Beispiel haben wir sogar drei Rechtecke erhalten, ein rotes, ein grünes und ein blaues, entsprechend haben wir die Flächeninhalte von drei Rechtecken addiert: A = A1 + A2 + A3.

Hast Du gesehen, wie einfach man hier zu den Flächeninhalten komplexerer Flächen kommt? Vielleicht hast du ja Lust bekommen, diese Entdeckungsreise weiterzuführen und zu sehen, ob Du noch andere Flächen auf diese Weise berechnen kannst. Es hat mir viel Spaß gemacht! Ich hoffe, Dir auch. Bis bald.

15 Kommentare
  1. DANKEEEEEEEEEEEEEEE !!!!!!
    habe ich echt gebraucht.
    Ich habe es auch schneller verstanden als in der Schule

    Von Maria Ellenrieder, vor 7 Monaten
  2. Hallo Kattoo,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 8 Monaten
  3. Verstehe das irgendwie nicht

    Von Kattoo, vor 8 Monaten
  4. Dieses Video ist so cool
    ich verstehe alles!!!!!!!!!!

    Von Leon 50, vor 8 Monaten
  5. schönes video nur manchmal bisschen zu schnell

    Von Emmelie, vor etwa einem Jahr
  1. frsh

    Von rouven s., vor etwa einem Jahr
  2. es hat sehr geholfen danke

    Von Fstein34, vor mehr als einem Jahr
  3. Etwas zu schnell für Leute die Dieters nich verstehen

    Von Ingo Bretten, vor mehr als 3 Jahren
  4. @Elias 2005: Das ist womöglich ein technisches Problem. Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut.
    Wenn du weiterhin technische Probleme beim Abspielen der Videos haben solltest, kannst du dich gerne an unseren support unter support@sofatutor.com wenden. Sie werden dir dann weiterhelfen.

    Von Martin B., vor mehr als 3 Jahren
  5. Bei mir leckt das die ganzezeit ich kann mir ganichts ansehen

    Von Elias 2005, vor mehr als 3 Jahren
  6. Es hat mir sehr geholfen. Danke! Ich finde ihre Stimme auch sehr beruhigend.

    Von Edwin A Ferrer, vor mehr als 3 Jahren
  7. Aha:)

    Von Sngohung, vor mehr als 3 Jahren
  8. @Alen Edo:
    Das ist womöglich ein technisches Problem. Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut.
    Wenn du weiterhin technische Probleme beim Abspielen der Videos haben solltest, kannst du dich gerne an unseren support unter support@sofatutor.com wenden. Sie werden dir dann weiterhelfen.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 4 Jahren
  9. Ich kann das video nicht öffnen D:

    Von Veratex, vor mehr als 4 Jahren
  10. danke das hat mir sehr geholfen

    Von Melis@, vor mehr als 5 Jahren
Mehr Kommentare

Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die fehlenden Größen der zusammengesetzten Figur.

    Tipps

    Manche Seitenlängen sind nicht angegeben, aber sie stecken in den Seitenlängen der anderen Angaben.

    Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu bestimmen, nutzen wir die Formel $A = a \cdot b$.

    Lösung

    1. Den Flächeninhalt vom obersten bzw roten Rechteck bezeichnen wir mit $A1$ und berechnen wir durch die Formel:
    $ A1 = a \cdot b = 4~m \cdot 10~m = 40~m^2$.

    Der Flächeninhalt des obersten bzw roten Rechteck beträgt also $40~m^2$.

    2. Die Seiten $ a + h + e $ ergeben $c$, also gilt: $ a + h + e = c$. Wollen wir nun $h$ berechnen, müssen wir die Gleichung nach $h$ umstellen. Es gilt:

    $\begin{align} a + h + e &= c &|& - a - e \\ h &= c - a - e \end{align}$

    3. Die Seite $g$ errechnet sich aus $ g = f + d = 3~m + 5~m = 8~m$.

    Die Seite g ist also $8~m$ lang.

    4. Um den Flächeninhalt der gesamten Figur zu berechnen, müssen wir den Flächeninhalt der einzelnen Rechtecke berechnen. Den Flächeninhalt des roten Rechtecks haben wir bereits errechnet in 1. Er ist $40~m^2$ groß.

    Den Flächeninhalt des grünen Rechtecks bezeichnen wir mit $A2$. Er berechnet sich durch die Formel $A2 = g \cdot h$. Wir wissen, dass wir $h$ durch $h = c - a - e$ errechnen können. Wenn wir dies in die Formel für den Flächeninhalt einsetzen, folgt daraus:

    $A2 = g \cdot ( c - a - e) = 8~m \cdot ( 10~m - 4~m - 4,5~m) = 8~m \cdot 1,5~m = 12~m^2$.

    Den Flächeninhalt des blauen Rechtecks bezeichnen wir mit $A3$. Er berechnet sich durch die Formel $A3 = d \cdot e$. Es gilt:

    $A3 = 5~m \cdot 4,5~m = 22,5~m^2$.

    Um nun den Flächeninhalt der gesamten Figur zu bestimmen, addieren wir die Flächenhalte der einzelnen Rechtecke. Es gilt:

    $ A = A1 + A2 + A3 = 40~m^2 + 12~m^2 + 22,5~m^2 = 74,5~m^2$.

    Der Flächeninhalt der gesamten Figur beträgt $74,5~m^2$.

  • Arbeite die Hilfslinien zur Teilung von zusammengesetzten Figuren heraus.

    Tipps

    Die Hilfslinien dienen dazu die Figur in mehrere Rechtecke zu unterteilen. Ein Rechteck hat immer vier Seiten, von denen immer die zwei gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. Hier siehst du ein Rechteck.

    Lösung

    Die Figuren haben die Form der Buchstaben O, H, C, E. Die Hilfslinien müssen so gesetzt werden, dass sie die Figuren in Rechtecke unterteilt.

    1. Den Buchstaben O kann man durch zwei senkrechte Hilfslinien in 4 Rechtecke zerteilen. Dabei sind immer 2 Rechtecke gleich groß.
    2. Den Buchstaben H kann man durch zwei senkrechte Hilfslinien in 3 Rechtecke zerteilen. Zwei Rechtecke sind gleich groß. Das 3. Rechteck liegt wie ein Balken zwischen den beiden gleich großen Rechtecken.
    3. Den Buchstaben C kann man durch eine senkrechte Hilfslinien in 3 Rechtecke zerteilen. Zwei Rechtecke sind gleich groß.
    4. Den Buchstaben E kann man durch eine senkrechte Hilfslinie in 4 Rechtecke zerteilen. Zwei Rechtecke sind gleich groß.
  • Analysiere die Aussagen, in dem du die Flächeninhalte berechnest.

    Tipps

    Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man, indem man die zwei unterschiedlich langen Seitenlängen des Rechtecks miteinander multipliziert. Der Flächeninhalt wird mit $A$ gekennzeichnet. Die Seitenlängen werden mit $a$ und $b$ gekennzeichnet.

    Berechne die Flächeninhalte der einzelnen Flächen getrennt und addiere sie anschließend. Ergeben die Summen bei beiden Skizzen $124~m^2$?

    Lösung

    Sowohl Aaron als auch Tim haben den Garten ihrer Lehrerin in Rechtecke unterteilt, um den Flächeninhalt so besser ausrechnen zu können. Während Aaron senkrechte Hilfslinien eingezeichnet hat, hat Tim waagerechte Hilfslinien verwendet.

    Aaron rechnet:
    $ A1 = 10~m \cdot 8~m = 80~m^2$
    $ A2 = 6~m \cdot (2~m + 4~m) = 6~m \cdot 6~m = 36~m^2$
    $ A3 = 4~m \cdot 2~m = 8~m^2 $
    $ A = A1 + A2 + A3 = 80~m^2 + 36~m^2 + 8~m^2 = 124~m^2$

    Tim rechnet:
    $ A1 = 8~m \cdot 4~m = 32~m^2$
    $ A2 = 18~m \cdot 2~m = 36~m^2$
    $ A3 = 14~m \cdot 4~m = 56~m^2$
    $ A = A1 + A2 + A3 = 32~m^2 + 36~m^2 + 56~m^2 = 124~m^2$

    Beide erhalten dasselbe Ergebnis und beide haben auch das richtige Ergebnis. Sie haben nur unterschiedliche Lösungswege und Skizzen gewählt. Jana lag damit also falsch.

  • Berechne die Fläche der zusammengesetzten Figur.

    Tipps

    Du musst die Figur in zwei Rechtecke teilen. Bestimme die Seitenlängen. Berechne dann die Flächeninhalte der beiden Rechtecke und addiere sie anschließend.

    Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man mit der Formel $ A = a \cdot b$, wobei $a$ und $b$ die Seitenlängen sind.

    Die Seitenlängen des oberen grünen Rechtecks sind $4~m$ und $14~m-6~m$ lang. Die Seitenlängen des oberen blauen Rechtecks sind $10~m$ und $6~m$ lang.

    Lösung

    Zunächst unterteilen wir die Figur in ein grünes und ein blaues Rechteck und berechnen jeweils den Flächeninhalt.

    Den Flächeninhalt vom grünen Rechteck bezeichnen wir mit $A1$. Von diesem Rechteck kennen wir nur eine Seite, nämlich die Seite $a = 4~m$. Die andere Seite kennen wir noch nicht, aber wir wissen, dass diese unbekannte Seite mit der Seite $b$ zusammen die Seite $d$ ergibt. Also gilt, dass diese unbekannte Seite $ d-b$ lang ist. Daraus folgt, dass diese Seite $ d - b = 14~m - 6~m = 8~m$ lang ist. Da wir nun die Länge der unbekannten Seite kennen, können wir den Flächeninhalt vom grünen Rechteck bestimmen. Wir rechnen:
    $ A1 = 4~m \cdot 8~m = 32~m^2$ .

    Der Flächeninhalt vom grünen Rechteck beträgt also $32~m^2$.

    Den Flächeninhalt vom blauen Rechteck bezeichnen wir mit $A2$. Dieser errechnet sich durch:
    $ A2 = c \cdot b = 10~m \cdot 6~m = 60~m^2$.

    Der Flächeninhalt vom blauen Rechteck beträgt also $60~m^2$.

    Abschließend addieren wir die einzelnen Flächeninhalte und erhalten:
    $ A = A1 + A2 = 32~m^2 + 60~m^2 = 92~m^2$.

    Der Flächeninhalt der gesamten Figur beträgt also $92~m^2$.

  • Berechne den Flächeninhalt der Rechtecke.

    Tipps

    Ein Rechteck hat immer vier Seiten, von denen immer die zwei gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. Hier siehst du ein Rechteck.

    Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnest du mit der Formel $A=a\cdot b$, wobei $a$ und $b$ die Seitenlängen sind.

    Lösung

    Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man, indem man die unterschiedlich Seitenlängen miteinander multipliziert. In einer Formel ausgedrückt, sieht dies so aus: $ A = a \cdot b$. Für unsere einzelnen Rechtecke gilt damit:

    1. $ A = 4,5~m \cdot 2,5~m = 11,25~m^2$
    2. $ A = 2,2~m \cdot 3~m = 6,6~m^2$
    3. $ A = 1,75~m \cdot 4~m = 7~m^2$
  • Berechne den Flächeninhalt der zusammengesetzten Figur.

    Tipps

    Die Hilfslinien dienen dazu die Figur in mehrere Rechtecke zu unterteilen. Ein Rechteck hat immer vier Seiten, von denen immer die zwei gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. Hier siehst du ein Rechteck.

    Du musst die Figur in drei Rechtecke teilen. Bestimme die Seitenlängen. Berechne dann die Flächeninhalte der drei Rechtecke und addiere sie anschließend.

    Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man mit der Formel $ A = a \cdot b$, wobei $a$ und $b$ die Seitenlängen sind.

    Lösung

    Die Figur setzt sich aus drei Rechtecken zusammen, von denen wir die Flächeninhalte einzeln bestimmen und anschließend die drei Flächeninhalte mit der Formel $A = A1 + A2 + A3$ addieren.

    Den Flächeninhalt des ersten Rechtecks berechnen wir mit der Formel $A = a \cdot c$. Da wir $a$ und $c$ kennen, können wir diese in die Formel einsetzen und erhalten: $A1 = 15~cm \cdot 3~cm = 45~cm^2$.

    Für den Flächeninhalt des zweiten Rechtecks benötigen wir die Größen $d$ und $b$. Wir kennen bereits $b = 8~cm$. Die Größe $d$ können wir berechnen. Wir können sehen, dass $a = d + e$ gilt. Daraus folgt für $d = a - e = 15~cm - 11~cm = 4~cm$. Wir rechnen also: $A2 = d \cdot b = 4~cm \cdot 8~cm = 32~cm^2$.

    Das dritte Rechteck ist genauso groß wie das erste. Wir berechnen seinen Flächeninhalt $ A3 = a \cdot b = 5~cm \cdot 3~cm = 45~cm^2$.

    Addieren wir nun alle Flächeninhalte zusammen, erhalten wir:
    $A = A1 + A2 + A3 = 45cm^2 + 32~cm^2 + 45~cm^2 = 122~cm^2$.

    Der Flächeninhalt der Figur beträgt also $122~cm^2$.