Exponentialfunktionen – Rekonstruktion

Exponentialfunktionen – Rekonstruktion Übung

• Stelle das Gleichungssystem zu der Rekonstruktionsaufgabe auf.

  Tipps

  Jeder Punkt $(x|y)$ auf dem Graphen einer Funktion $f$ erfüllt die Gleichung $y=f(x)$.

  Um die Steigung einer Funktion zu berechnen, benötigst du die erste Ableitung dieser Funktion.

  Verwende die Kettenregel:

  $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

  Dies kann man wie folgt lesen: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist das Produkt der Ableitung der äußeren Funktion ausgewertet an dem Funktionswert der inneren Funktion und der Ableitung der inneren Funktion.

  Lösung

  Betrachtet wird die Funktion $f(x)=a\cdot e^{bx}$. Dabei seien $a$ und $b$ reelle Zahlen.

  Da der Punkt $P(1|1)$ auf dem Graphen zu $f$ liegt, gilt $f(1)=1$.

  Dort soll die Steigung 2 betragen, das bedeutet: $f'(1)=2$. Man benötigt also noch die erste Ableitung der Funktion $f$:

  $f'(x)=a\cdot e^{bx}\cdot b=a\cdot b\cdot b\cdot e^{bx}$

  Dabei wurde die Kettenregel verwendet, um die Funktion $e^{bx}$ abzuleiten.

  Nun erhält man das folgende Gleichungssystem:

  $\begin{align*} &\text{I}&a\cdot e^b&=1\\ &\text{II}&a\cdot b\cdot e^b&=2 \end{align*}$

• Gib die Gleichung der rekonstruierten Funktion an.

  Tipps

  Forme zunächst die erste der beiden Gleichungen nach $a$ um.

  Setze das so gefundene $a$ in die zweite Gleichung ein.

  Die Lösungsfunktion erhältst du, indem du die Werte für $a$ und $b$ in die Gleichung $f(x)=a\cdot e^{bx}$ einsetzt.

  Es gibt drei richtige Antworten.

  Lösung

  Betrachtet wird die Funktion $f(x)=a\cdot e^{bx}$. Dabei seien $a$ und $b$ reelle Zahlen.

  Da der Punkt $P(1|1)$ auf dem Graphen zu $f$ liegt und dieser dort die Steigung 2 hat, erhält man das Gleichungssystem:

  $\begin{align*} &\text{I}&a\cdot e^b&=1\\ &\text{II}&a\cdot b\cdot e^b&=2 \end{align*}$

  Die erste Gleichung kann durch Division durch $e^b$ nach $a$ aufgelöst werden:

  $a=\frac1{e^b}$.

  Nun kann dieses $a$ in die zweite Gleichung eingesetzt werden:

  $\begin{align*} && \frac1{e^b}\cdot b\cdot e^b&=2\\ &\Leftrightarrow& b&=2 \end{align*}$

  Mit diesem $b$ kann auch $a$ angegeben werden:

  $a=\frac1{e^2}$.

  Durch Einsetzen von $a$ und $b$ in die obige Funktionsgleichung erhält man

  $\begin{align*} f(x)&=\frac1{e^2}\cdot e^{2x}\\ &=\frac{e^{2x}}{e^2}\\ &=e^{2x-2}\\ &=e^{2(x-1)} \end{align*}$

• Arbeite die Funktionsgleichung heraus.

  Tipps

  Du kennst zwei Punkte des Funktionsgraphen. Dies führt zu zwei Gleichungen.

  Eine der beiden Gleichungen führt direkt zu $a$.

  Lösung

  Bei dieser Aufgabe sind zwei Punkte bekannt und zwei Parameter gesucht.

  Da der Anfangsbestand $250$ beträgt, gilt

  $f(0)=250$.

  Dies ist äquivalent zu $a=250$, denn $e^{b\cdot 0}=1$.

  Es gilt also $f(x)=250\cdot e^{bx}$.

  Nun kann noch der Bestand nach zwei Perioden verwendet werden:

  $f(2)=1250$.

  Dies führt zu

  $\begin{align*} 250\cdot e^{2b}&=1250 &|& :250\\ e^{2b}&=5 &|& \ln(~)\\ 2b&=\ln(5) &|& :2\\ b&=\frac{\ln(5)}2\approx0,8. \end{align*}$

  Die Funktionsgleichung lautet also

  $f(x)=250\cdot e^{0,8x}$.

• Leite die Parameter der angegebenen Exponentialfunktion her.

  Tipps

  Die erste Ableitung der Funktion lautet:

  $f'(x)=2bx\cdot e^{bx^2}$.

  Ein Punkt $(x|y)$ liegt auf dem Graphen einer Funktion $f$, wenn $f(x)=y$ gilt.

  Du musst das folgende Gleichungssystem lösen:

  Lösung

  Betrachtet wird die Funktion $f(x)=e^{bx^2}+c$. Dabei seien $b$ und $c$ reelle Zahlen.

  • Der Punkt $P\left(1|1+\frac1e\right)$ liegt auf dem Graphen zu $f$.
  • Darüber hinaus hat die Funktion ein Maximum in $E(0|2)$.

  Dies führt zu den folgenden Gleichungen:

  $\begin{align*} &\text{I}&e^b+c&=1+\frac1e\\ &\text{II}&1+c&=2. \end{align*}$

  Die zweite Gleichung liefert durch Subtraktion von 1 für $c=1$. Dieses $c$ wird in die erste Gleichung eingesetzt:

  $\begin{align*} e^b+1&=1+\frac1e&|&-1\\ e^b&=\frac1e\\ e^b&=e^{-1}. \end{align*}$

  Da die beiden Basen übereinstimmen, muss gelten: $b=-1$.

  Damit lautet die Funktionsgleichung

  $f(x)=e^{-x^2}+1$.

• Zeige auf, welche Gleichungen sich aus den Bedingungen herleiten lassen.

  Tipps

  Wenn ein Punkt $(x|y)$ auf dem Graphen zu $f$ liegt, bedeutet dies $f(x)=y$.

  Für die Steigung benötigst du die erste Ableitung:

  Die Ableitung der Funktion ist $f'(x)=a\cdot b\cdot e^{bx}$.

  Lösung

  Bei einer Rekonstruktion sind gewisse Eigenschaften oder Punkte der Funktion gegeben und es muss ein Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten Größen hergeleitet werden.

  Wie gelangt man zu den Gleichungen?

  • Wenn ein Punkt $(x|y)$ auf dem Graphen zu $f$ liegt, bedeutet dies $f(x)=y$.
  • Wenn eine Steigung gegeben ist, so muss die Ableitung an einer Stelle diese Steigung ergeben.

  In dem Beispiel der Funktion $f(x)=a\cdot e^{bx}$ bedeutet dies:

  • „$f$ geht durch den Punkt $P(1|1)$.“: $f(1)=1$ oder $a\cdot e^b=1$.

  • „Die Steigung in dem Punkt beträgt 2.“: $f'(1)=2$. Die Ableitung der Funktion ist $f'(x)=a\cdot b\cdot e^{bx}$, also ist $a\cdot b\cdot e^b=2$.

• Ermittle die Funktionsgleichung, welche das Profil der Rodelbahn darstellt.

  Tipps

  Fertige eine Skizze in einem Koordinatensystem an.

  Lege den Start so, dass er in $x=0$ liegt.

  Die horizontale Entfernung bedeutet dann $x=100$.

  Hier sind zwei Punkte gegeben. Du kannst jeweils verwenden, dass ein Punkt $(x|y)$ auf einem Funktionsgraphen liegt, wenn $y=f(x)$ gilt.

  Wenn zwei Potenzen gleich sind und in den Basen übereinstimmen, müssen die Exponenten identisch sein.

  Du musst das folgende Gleichungssystem lösen:

  $\begin{align} a\cdot e^{b\cdot 0} &=10 \\ a\cdot e^{100\cdot b}&= \frac{10}e \end{align}$

  Lösung

  Bei der gesuchten Funktion $f(x)=a\cdot e^{bx}$ ist

  • zum einen ein Punkt $P(0|10)$ sowie
  • zum anderen die Höhe für $x=100$ bekannt: $\frac{10}e$.

  Die erste Bedingung führt zu $f(0)=10$. Man kann also $0$ in der Funktionsgleichung einsetzen:

  $f(0)=a\cdot e^{b\cdot 0}=a=10$.

  Damit ist $a=10$ bereits bekannt.

  Nun kann die zweite Bedingung verwendet werden.

  Die Höhe $\frac{10}e$ ist in $100~m$ horizontaler Entfernung vom Start vorgegeben: Das bedeutet $x=100$ und $y=\frac{10}e$. Es muss also gelten:

  $\begin{align*} f(100)&= \frac{10}e\\ 10\cdot e^{100b}&= \frac{10}e&|&:10\\ e^{100b}&=e^{-1}. \end{align*}$.

  Da die beiden Basen übereinstimmen, muss für die Exponenten ebenfalls Gleichheit gelten:

  $100b=-1$.

  Dies ist äquivalent zu $b=-0,01$. Die gesuchte Funktion lautet somit

  $f(x)=10\cdot e^{-0,01x}$.