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Brüche multiplizieren 2 – zwei Stammbrüche multiplizieren

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Brüche multiplizieren 2 – zwei Stammbrüche multiplizieren
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Brüche multiplizieren 2 – zwei Stammbrüche multiplizieren

In diesem Video rechnen wir ⅓ mal ½. Das Ergebnis von ⅓ mal ½ ist die Hälfte eines Drittels, und das ist ⅙. Denn wenn man jedes Drittel in zwei Teile teilt, hat man insgesamt sechs Teile. Also ist ein Teil ein Sechstel des ganzen. Im Video sehen wir uns auch an, wie wir uns das mit den Bruchstreifen vorstellen können.

16 Kommentare

16 Kommentare
  1. Danke für das Viedeo. Es war sehr verständlich.🙏

    Von Clara, vor 7 Monaten
  2. mir hat es super geholfen und es ist sehr einfach erklärt und die Übungen sind auch sehr leicht .

    Von Hanna, vor 7 Monaten
  3. Ich hab es prima gecheckt

    Von Kizzi, vor 8 Monaten
  4. C0o|€$ Video

    Von HannaOoLalA, vor 9 Monaten
  5. Ich fand es ein bisschen umständlich erklärt, weil man einfach nur Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner nehmen muss

    Von Yannick, vor 9 Monaten
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Brüche multiplizieren 2 – zwei Stammbrüche multiplizieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche multiplizieren 2 – zwei Stammbrüche multiplizieren kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Ergebnisse der jeweiligen Multiplikationen einer Zahl mit einem Bruch.

    Tipps

    Betrachtest du das Beispiel $3\cdot \frac 14$, so überlegst du, wie viel ein Viertel von $3$ ist.

    • $\frac 34$ passen genau viermal auf $3$.
    • Das, was viermal auf $3$ passt, ist ein Viertel von $3$. Genau das ist gesucht.
    • Also sind $\frac 34$ genau ein Viertel von $3$.

    Du kannst wie folgt vorgehen:

    Das Produkt zu $~a\cdot\frac 1b$ erhältst du, indem du $a$ in den Zähler und $b$ in den Nenner des Ergebnisses schreibst. Dabei sind $a$ und $b$ Platzhalter für beliebige Zahlen. Hier noch ein konkretes Zahlenbeispiel:

    • $2\cdot\frac 15=\frac 25$
    Lösung

    Wir betrachten im Folgenden Aufgaben der Form:

    • $a\cdot \dfrac 1b$
    Dabei sind $a$ und $b$ Platzhalter für beliebige Zahlen. Bei solchen Aufgaben müssen wir uns immer folgende Frage stellen: Was ist ein $b$-tel von $a$? Genau das sagt eine solche Aufgabe nämlich aus. Aufgaben dieser Art kannst du sehr gut mit Bruchstreifen veranschaulichen.

    Du kannst dir aber auch Folgendes merken: Das Ergebnis einer Aufgabe der Form $a\cdot\dfrac 1b$ ist ein Bruch mit dem Zähler $a$ und dem Nenner $b$. Also:

    • $a\cdot \dfrac 1b=\dfrac ab$
    Um das Vorgehen besser zu verstehen, sehen wir uns noch ein konkretes Zahlenbeispiel an. Bei der Multiplikation $2\cdot\frac 15$ fragen wir uns: Was ist ein Fünftel von $2$? Das Ergebnis erhalten wir, indem wir $2$ in den Zähler und $5$ in den Nenner schreiben. Also:

    • $2\cdot\frac 15=\frac 25$
    Auf diese Weise können wir nun die Aufgaben wie folgt lösen:

    • $1\cdot\dfrac 12=\dfrac 12~\rightarrow~$ $\dfrac 12$ passt zweimal in die $1$, also ist die Hälfte von $1$ genau $\dfrac 12$.
    • $2\cdot\dfrac 13=\dfrac 23~\rightarrow~$ $\dfrac 23$ passen dreimal in die $2$, also ist ein Drittel von $2$ genau $\dfrac 23$.
    • $1\cdot\dfrac 13=\dfrac 13~\rightarrow~$ $\dfrac 13$ passt dreimal in die $1$, also ist ein Drittel von $1$ genau $\dfrac 13$.
    • $2\cdot\dfrac 12=\dfrac 22~\rightarrow~$ $\dfrac 22$ passen zweimal in die $2$, also ist die Hälfte von $2$ genau $\dfrac 22$.
  • Beschreibe, wie du bei der Multiplikation zweier Brüche vorgehst.

    Tipps

    Teilt man einen Streifen dreimal in gleich großen Abständen, so erhält man vier gleich große Teile. Ein Teil entspricht dann einem Viertel des Streifens.

    Hier siehst du, welcher Teil des Bruchstreifens gesucht ist.

    Lösung

    Wir betrachten im Folgenden die Multiplikationsaufgabe: $~\dfrac 13\cdot\dfrac 12$

    Diese Aufgabe können wir in Worten wie folgt ausdrücken: Gesucht ist die Hälfte eines Drittels.

    Wir werden diese Aufgabe mithilfe eines Bruchstreifens veranschaulichen. Hierzu unterteilen wir einen Streifen zunächst in drei gleich große Teile. Ein Teil entspricht dann einem Drittel.

    Da die Hälfte eines Drittels gesucht ist, müssen wir ein Drittel also halbieren. Hierzu teilen wir jedes Drittel auf dem Bruchstreifen jeweils noch einmal so, dass zwei gleich große Teile entstehen. Auf dem gesamten Bruchstreifen erhalten wir dann sechs gleich große Teile. Ein Teil entspricht nun einem Sechstel.

    Außerdem entspricht ein Teil der gesuchten Hälfte eines Drittels. Wir erhalten also:

    • $\dfrac 13\cdot\dfrac 12=\dfrac 16$
    Wie du siehst, werden bei Aufgaben dieser Form die Nenner miteinander multipliziert.

  • Ermittle die Ergebnisse der Multiplikationsaufgaben.

    Tipps

    Betrachtest du die Aufgabe $\frac 13\cdot\frac 15$, so überlegst du entweder wie viel ein Drittel von einem Fünftel ist oder wieviel ein Fünftel von einem Drittel ist. Das Ergebnis ist gleich.

    Möchtest du zwei Brüche, deren Zähler jeweils $1$ ist, miteinander multiplizieren, so multiplizierst du ihre Nenner und der Zähler bleibt $1$.

    Lösung

    Wenn wir zwei Brüche, deren Zähler jeweils $1$ ist, miteinander multiplizieren möchten, so können wir einfach ihre Nenner multiplizieren und den Zähler $1$ beibehalten.

    Eine Aufgabe der Form $\frac 1a\cdot\frac 1b$, wobei $a$ und $b$ Platzhalter für beliebige Zahlen sind, kannst du wie folgt interpretieren:

    • Was ist ein $a$-tel von einem $b$-tel?
    • Was ist ein $b$-tel von einem $a$-tel?
    Für das Ergebnis spielt es keine Rolle, aus welcher Richtung wir die Aufgabe betrachten.

    Um das Vorgehen besser zu verstehen, sehen wir uns noch das Beispiel $\frac 13\cdot \frac 15$ an. Wir suchen also ...

    • ... ein Drittel von einem Fünftel bzw.
    • ... ein Fünftel von einem Drittel.
    Da beide Brüche eine $1$ im Zähler haben, können wir einfach ihre Nenner multiplizieren und den Zähler $1$ beibehalten. Wir erhalten: $~\frac 13\cdot \frac 15=\frac1{3\cdot 5}=\frac 1{15}$.

    Nun lösen wir die Multiplikationsaufgaben:

    • $\dfrac 12\cdot\dfrac 14=\dfrac1{2\cdot 4}=\dfrac 18\neq \dfrac 24$
    • $\dfrac 13\cdot\dfrac 14=\dfrac1{3\cdot 4}=\dfrac 1{12}~\checkmark$
    • $\dfrac 13\cdot\dfrac 11=\dfrac1{3\cdot 1}=\dfrac 13~\checkmark$
    • $\dfrac 12\cdot\dfrac 13=\dfrac1{2\cdot 3}=\dfrac 16\neq \dfrac 23$
    • $\dfrac 12\cdot\dfrac 12=\dfrac1{2\cdot 2}=\dfrac 14~\checkmark$
  • Erschließe die jeweiligen Produkte.

    Tipps

    Zwei Brüche, die jeweils eine $1$ im Zähler haben, multiplizierst du, indem du die Nenner miteinander multiplizierst und den Zähler $1$ beibehältst.

    Lösung

    Zwei Brüche, die jeweils eine $1$ im Zähler haben, multiplizieren wir, indem wir die Nenner miteinander multiplizieren und den Zähler $1$ beibehalten. Allgemein kann man das mathematisch wie folgt ausdrücken:

    • $\dfrac 1a\cdot\dfrac 1b=\dfrac 1{a\cdot b}$
    Dabei sind $a$ und $b$ Platzhalter für beliebige Zahlen. Mit $a=2$ und $b=3$ erhalten wir zum Beispiel:

    • $\dfrac 12\cdot\dfrac 13=\dfrac 1{2\cdot 3}=\dfrac 16$
    Somit erhalten wir die folgenden Zuordnungen:

    Multiplikationsaufgaben mit Produkt $\dfrac 1{12}$

    • $\dfrac 13\cdot \dfrac 14=\dfrac 1{3\cdot 4}=\dfrac 1{12}$
    • $\dfrac 16\cdot \dfrac 12=\dfrac 1{6\cdot 2}=\dfrac 1{12}$
    • $\dfrac 1{12}\cdot \dfrac 11=\dfrac 1{12\cdot 1}=\dfrac 1{12}$

    Multiplikationsaufgaben mit Produkt $\dfrac 1{18}$

    • $\dfrac 13\cdot \dfrac 16=\dfrac 1{3\cdot 6}=\dfrac 1{18}$
    • $\dfrac 19\cdot \dfrac 12=\dfrac 1{9\cdot 2}=\dfrac 1{18}$
    • $\dfrac 1{18}\cdot \dfrac 11=\dfrac 1{18\cdot 1}=\dfrac 1{18}$

    Multiplikationsaufgaben mit Produkt $\dfrac 1{24}$

    • $\dfrac 13\cdot \dfrac 18=\dfrac 1{3\cdot 8}=\dfrac 1{24}$
    • $\dfrac 16\cdot \dfrac 14=\dfrac 1{6\cdot 4}=\dfrac 1{24}$
    • $\dfrac 1{12}\cdot \dfrac 12=\dfrac 1{12\cdot 2}=\dfrac 1{24}$
    • $\dfrac 1{1}\cdot \dfrac 1{24}=\dfrac 1{1\cdot 24}=\dfrac 1{24}$
  • Beschrifte die jeweiligen Bruchstreifen.

    Tipps

    Unterteilst du ein Ganzes in zehn gleich große Teile, so entspricht ein Teil einem Zehntel.

    Lösung

    Wir können ein Ganzes in $n$ gleich große Teile unterteilen, sodass ein Teil einem $n$-tel entspricht. Dabei ist $n$ die Anzahl der gleich großen Teile eines Ganzen. Teilen wir ein Ganzes also in $3$ gleich große Teile, so entspricht ein Teil einem Drittel, also $\frac 13$.

    Da hier der erste Streifen als ein Ganzes definiert ist, müssen wir nur noch bestimmen, in wie viele gleich große Teile die folgenden Streifen unterteilt sind. Dann können wir den Anteil angeben, indem wir in den Zähler des Bruchs eine $1$ und in den Nenner die jeweilige Anzahl der Unterteilung schreiben.

  • Leite die zugehörigen Multiplikationsaufgaben her.

    Tipps

    Eine Multiplikation ist kommutativ, das heißt, dass du die Faktoren vertauschen kannst. Für zwei beliebige Zahlen $a$ und $b$ gilt:

    • $a\cdot b=b\cdot a$

    Möchtest du drei Brüche, die jeweils den Zähler $1$ haben, miteinander multiplizieren, so musst du die drei Nenner miteinander multiplizieren und den Zähler $1$ beibehalten.

    Lösung

    Im Folgenden stellen wir nun gemeinsam die gesuchten Multiplikationsaufgaben auf und lösen diese. Auch bei der Multiplikation dreier Brüche, die jeweils eine $1$ im Zähler haben, gehen wir wie gewohnt vor: Wir multiplizieren die Nenner miteinander und übernehmen die $1$ im Zähler.

    Da die Multiplikation kommutativ ist, sind die einzelnen Faktoren einer Multiplikation vertauschbar. Also ist es kein Problem, wenn die Faktoren bei dir anders angeordnet sind, als im Folgenden vorgegeben ist.

    Beispiel 1

    Gesucht ist ein Drittel ($\frac 13$) der Hälfte ($\frac 12$) eines Viertels ($\frac 14$):

    • $\dfrac 13\cdot\dfrac 12\cdot\dfrac 14=\dfrac1{3\cdot 2\cdot 4}=\dfrac 1{24}$
    Beispiel 2

    Gesucht ist die Hälfte ($\frac 12$) der Hälfte ($\frac 12$) eines Achtels ($\frac 18$):

    • $\dfrac 12\cdot\dfrac 12\cdot\dfrac 18=\dfrac1{2\cdot 2\cdot 8}=\dfrac 1{32}$
    Beispiel 3

    Gesucht ist das Siebtel ($\frac 17$) des Viertels ($\frac 14$) eines Sechstels ($\frac 16$):

    • $\dfrac 17\cdot\dfrac 14\cdot\dfrac 16=\dfrac1{7\cdot 4\cdot 6}=\dfrac 1{168}$
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