Brüche multiplizieren 1 – natürliche Zahlen mit Brüchen multiplizieren

Brüche multiplizieren 1 – natürliche Zahlen mit Brüchen multiplizieren Übung

• Berechne die Produkte aus Zahlen und Brüchen.

  Tipps

  Die Multiplikation $1\cdot 2$ lässt sich auch schreiben als $1+1$, da die $1$ zweimal aufaddiert wird.

  Der Bruch $\frac{1}{2}$ ist die mathematische Schreibweise für das, was man im Alltag „die Hälfte“ nennt.

  Lösung

  Den Text vervollständigst du folgendermaßen:

  „Wenn wir zwei Zahlen miteinander multiplizieren, so bedeutet das, dass wir die erste Zahl so oft zu sich selbst addieren, wie es die zweite Zahl vorschreibt. Zum Beispiel:

  $1\cdot 3 = 1+1+1 = 3$“

  • So haben wir die Multiplikation ursprünglich definiert.

  „In diesem Beispiel wird die $1$ also dreimal addiert. Das Ergebnis ist dann das Dreifache von $1$.“

  „Wollen wir Zahlen mit Brüchen multiplizieren, so kehren wir diese Relation um. Bei der Multiplikation von $1$ mit $3$ erhalten wir als Ergebnis das Dreifache von $1$. Bei der Multiplikation mit $\frac{1}{2}$ sollten wir also die Hälfte von $1$ erhalten.“

  • Genauso, wie die Multiplikation einer Zahl mit einer anderen Zahl ein Vielfaches der ersten Zahl ergibt, erhalten wir bei der Multiplikation der Zahl mit einem Bruch einen Anteil der Zahl.

  „Dementsprechend gilt auch:

  $1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

  Das ist nämlich die Hälfte von $1$.“

  „Das können wir auch mit anderen Brüchen machen. So gilt:

  $1\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

  Wir erhalten also genau ein Drittel von $1$. Ebenso gilt:

  $1\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

  Das ist nämlich ein Viertel von $1$.“

  • Auf dieselbe Art und Weise können wir das Ganze in beliebig große Anteile teilen.

• Berechne die Ergebnisse der folgenden Multiplikationen.

  Tipps

  Betrachte die Multiplikation $2\cdot\frac{1}{3}$. Du kannst sie lesen als „Ein Drittel von Zwei“.

  Ein Beispiel zur Multiplikation eines Bruches mit einer Zahl:

  $1\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$

  Das Ergebnis bei obigem Beispiel besagt, dass $\frac{1}{3}$ ein Drittel von $1$ ist, also genau dreimal in die $1$ passt.

  Lösung

  Multiplizieren wir einen Bruch mit der Zahl $1$, so ist das Ergebnis wieder derselbe, unveränderte Bruch. Dies trifft immer zu, da ein Bruch nichts anderes tut, als den Anteil an einem Ganzen zu beschreiben.

  Damit können wir zwei Ergebnisse bereits zuordnen:

  • $1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
  • $1\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

  Multiplizieren wir einen Bruch mit einer anderen Zahl als $1$, wollen wir uns erst einmal überlegen, was das eigentlich bedeutet. Wenn wir beispielsweise $2\cdot\frac{1}{3}$ schreiben, so können wir uns das auch als „ein Drittel von Zwei“ denken. Mit anderen Worten suchen wir diejenige Zahl, die genau der dritte Teil der Zahl $2$ ist, also auch dreimal in die $2$ hineinpasst.
  Praktischerweise können wir diese Zahl sehr einfach finden, indem wir den Zähler (die Zahl über dem Bruchstrich) mit der natürlichen Zahl vor (oder hinter) dem Bruch multiplizieren und den Nenner (die Zahl unter dem Bruchstrich) unverändert lassen. Dadurch erhalten wir die folgenden restlichen Ergebnisse:

  • $2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
  • $2\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{2}$
  • $3\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

• Bestimme, welche Produkte richtig berechnet wurden.

  Tipps

  Beim Multiplizieren einer ganzen Zahl mit einem Bruch reicht es aus, die Zahl mit dem Zähler des Bruches zu multiplizieren und den Nenner unverändert zu lassen.

  Lösung

  Beim Multiplizieren einer ganzen Zahl mit einem Bruch reicht es aus, die Zahl mit dem Zähler des Bruches zu multiplizieren und den Nenner unverändert zu lassen. Dies ist die einzige Regel, der wir folgen müssen, um zu überprüfen, welche Brüche richtig mit Zahlen multipliziert wurden. Damit sehen wir, dass die folgenden Produkte richtig ausgerechnet wurden:

  • $\frac{2}{5}\cdot 9 = \frac{18}{5}$
  • $\frac{3}{8}\cdot 2=\frac{6}{8}$
  • $\frac{8}{50}\cdot 6 = \frac{48}{50}$

  Bei den folgenden Rechnungen haben sich dagegen Fehler eingeschlichen:

  • $\frac{1}{6}\cdot 2 = \frac{1}{12}$ – Hier wurde anstatt des Zählers der Nenner mit $2$ multipliziert, das richtige Ergebnis wäre $\frac{2}{6}$.
  • $\frac{2}{3}\cdot 3 = \frac{6}{9}$ – Hier wurden sowohl Zähler als auch Nenner mit $3$ multipliziert, richtig wäre $\frac{6}{3}$.
  • $\frac{3}{4}\cdot 2 = \frac{8}{4}$ – Hier wurde schlicht falsch multipliziert. Das richtige Ergebnis wäre $\frac{6}{4}$.

• Bestimme die Produkte von Brüchen mit natürlichen Zahlen.

  Tipps

  Bei der Multiplikation von Brüchen mit natürlichen Zahlen kannst du den Zähler mit der natürlichen Zahl multiplizieren und den Nenner unverändert lassen.

  Multiplikation ist kommutativ, du kannst also die Reihenfolge der Faktoren vertauschen. Beispielsweise gilt:

  $\frac{1}{3}\cdot 2 = 2\cdot\frac{1}{3}.$

  Lösung

  Der einfachste Weg, um natürliche Zahlen mit Brüchen zu multiplizieren, ist, die natürliche Zahl mit dem Zähler zu multiplizieren und den Nenner unverändert zu lassen. Da Multiplikation kommutativ – also vertauschbar – ist, ist es dabei egal, ob der Bruch vor oder hinter dem Malpunkt steht. Mit diesen Regeln lassen sich die Probleme schnell lösen und wir erhalten die folgenden Ergebnisse:

  • $3\cdot\frac{1}{6}=\frac{3\cdot 1}{6}=\frac{3}{6}$
  • $2\cdot\frac{2}{5}=\frac{2\cdot 2}{5}=\frac{4}{5}$
  • $\frac{1}{3}\cdot4=\frac{1\cdot 4}{3}=\frac{4}{3}$
  • $\frac{1}{2}\cdot2=\frac{1\cdot 2}{2}=\frac{2}{2}$
  • $9\cdot\frac{3}{9}=\frac{9\cdot 3}{9}=\frac{27}{9}$

• Beschreibe die Durchführung und die Eigenschaften einer Multiplikation.

  Tipps

  Der grundlegendste Schritt der Multiplikation ist die Addition einer Zahl zu sich selbst.

  Lösung

  Die Textabschnitte ergeben in der folgenden Reihenfolge eine einfache Beschreibung der Multiplikation von Brüchen mit Zahlen:

  „Die Multiplikation ist eigentlich nur eine abgekürzte Schreibweise für eine Addition.“

  „Multiplizieren wir zwei Zahlen, so wird nämlich die erste Zahl so oft aufaddiert, wie es die zweite Zahl vorgibt.“

  • Beispielsweise ist $3\cdot 2$, wenn wir es als Addition schreiben, gleich $\underbrace{2+2+2}_{3\text{ mal}}$.

  „Dabei ist es egal, in welcher Reihenfolge die beiden Zahlen stehen. Dies bezeichnen wir auch als Kommutativität der Multiplikation.“

  • Das obige Produkt können wir genauso gut als $\underbrace{3+3}_{2\text{ mal}}$ schreiben. Deshalb ist $3\cdot 2=2\cdot 3$.

  „Willst du nun nicht mehr zwei Zahlen, sondern eine Zahl und einen Bruch miteinander multiplizieren, so kannst du die Multiplikation fast wie gewohnt durchführen.“

  „Du musst hierbei allerdings darauf achten, dass du die Zahl nur mit dem Zähler des Bruches multiplizierst und den Nenner unverändert lässt.“

  • Für drei beliebige Zahlen, die wir hier durch die Platzhalter $a$, $b$ und $c$ ausdrücken, gilt also: $a\cdot \dfrac{b}{c}=\dfrac{a\cdot b}{c}$. Zum Beispiel: $2\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{2\cdot 2}{5}=\dfrac{4}{5}.$

• Erarbeite, wie du Brüche mit Brüchen multiplizierst.

  Tipps

  Ein Bruch gibt immer an, wie viele Teile in ein Ganzes passen. Beispielsweise passt $\frac{1}{5}$ genau fünfmal in die $1$.

  Lösung

  Das Multiplizieren von Brüchen miteinander kann einem zunächst Angst einjagen. Allerdings stellt sich schnell heraus, dass du dafür nicht mehr beherrschen musst, als für das Multiplizieren zweier ganzer Zahlen.

  Den Lückentext vervollständigst du folgendermaßen:

  Hier siehst du ein „Ganzes“, das in drei Teile geteilt wurde. Ein solcher Teil ist dann ein Drittel des Ganzen, oder $\frac{1}{3}\cdot 1$.

  • Wir wissen bereits, dass $\frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}$ ist. Die Multiplikation mit $1$ dient daher nur der Verdeutlichung, dass ein Bruch, wenn er alleine steht, immer einen Anteil an einem Ganzen (also $1$) darstellt.

  Wenn wir eines dieser Teilstücke wieder in drei Teile teilen, dann ist ein solcher Teil ein Drittel des Teilstücks, also ein Drittel eines Drittels. Da das Ganze drei Teilstücke hat und jedes davon wiederum drei kleine Teile, besteht das Ganze also aus insgesamt neun solcher kleiner Teile. Deshalb ist ein solcher kleiner Teil jetzt ein Neuntel des Ganzen, oder $\frac{1}{9}\cdot 1$.

  • Beachte, dass bei einem Bruch die Ausgangsgröße wichtig ist. Ein kleines Teilstück ist gleichzeitig ein Drittel eines großen Teilstücks und ein Neuntel des Ganzen. Da wir uns aber, solange nichts anderes vorgegeben ist, immer auf das Ganze als Ausgangsmenge beziehen, ist $\frac{1}{9}$ hier der gesuchte Bruch.

  Du hast es vielleicht nicht bemerkt, aber hier haben wir bereits zwei Brüche miteinander multipliziert. Denn der Ausdruck „Ein Drittel eines Drittels“ ist mathematisch nichts anderes als das Produkt zweier Brüche:

  $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}$

  Wenn du zwei Brüche miteinander multiplizierst, kannst du dir also statt des Malpunktes das Wort „von“ vorstellen, um dir klarzumachen, was du eigentlich berechnest. Die Gleichung

  $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$

  kannst du dann im Kopf lesen als: „Ein Drittel von einem Drittel ist ein Neuntel.“

  • Grammatikalisch besser ist eigentlich die Verwendung des Genitivs („Ein Drittel eines Drittels“). Das Wort „von“ kannst du allerdings als Merkhilfe verwenden, da du jetzt weißt, dass es den Malpunkt verkörpert.

  Das geht auch bei komplizierteren Brüchen recht leicht, wenn du dir die folgende Rechenregel merkst, mit der du zwei beliebige Brüche miteinander multiplizieren kannst:

  Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner!

  • Mit dieser Regel kannst du nun beliebig komplizierte Brüche miteinander multiplizieren.