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Brüche durch Brüche dividieren – Einführung (2)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Brüche durch Brüche dividieren – Einführung (2)
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Brüche durch Brüche dividieren – Einführung (2)

Herzlich Willkommen zu einem weiteren Einführungsvideo zur Division von Brüchen! Heute wollen wir dir zeigen, wie du einen Bruch durch einen anderen Bruch dividierst. Wir wissen bereits, dass 1 : 1/3 = 3 ist. Was ist nun 1/3 : 1/2 ? Wir zeigen es dir ausführlich an verschiedenen Bruchstreifen. Zwei Bruchzahlen werden dividiert, indem man den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. Die Kehrwertregel ermöglicht es dir, die Division mit Brüchen als Multiplikation darzustellen. Nutze die Gelegenheit und lass dir im Video die Kehrwertregel erklären.

Transkript Brüche durch Brüche dividieren – Einführung (2)

Hallo! Teilen durch Brüche. Bei dem Thema habe ich mir gedacht, da lasse ich mich nicht lumpen und bereite einfach mal was vor. Und zwar diesen Streifen hier und diesen Streifen. Das ist ein weißer Papierstreifen, das ist ein pinkfarbener Papierstreifen. Und dieser pinkfarbene Papierstreifen passt zweimal auf diesen weißen. Hier der Beweis. Ich hoffe, du hast das sehen können, dass man das gut in der Kamera sieht. Einmal, zweimal. Und jetzt werde ich hier vor deinen Augen diesen weißen Papierstreifen in drei gleiche Teile teilen. Zumindest so ungefähr, ganz hundertprozentig muss das jetzt nicht sein. Das ist 1/3 des weißen Papierstreifens und der rote kommt auch noch dran, der pinkfarbene oder wie man das immer nennen will. 1/3 des roten Streifens. Jetzt ist die Frage, wie oft passt der rote auf den weißen, 1/3 des roten auf ein Drittel des weißen Streifens, es ist einmal und zweimal. Ja, das ist, glaube ich, keine Überraschung. So kennen wir die Welt. Und das möchte ich hier auch mal vormachen mit dem Bruchstreifen. Und zwar gibt es jetzt die Frage: Was passiert, wenn wir ein (1/3)/(1/2). Das schreibe ich noch mal auf. 1/3 geteilt durch ein 1/2. Ja, da können wir uns als erstes fragen: Was ist denn 1 geteilt durch 1/2. Die 1 ist natürlich auch hier, da ist sie. 1/(1/2)=2, weil 1/2 zweimal auf 1 passt. Das möchte ich zum Vergleich mal hier hinschreiben. 1/(1/2)=2. So, das wird hie ein bisschen abgetrennt, 1/(1/2)=2. Was ist jetzt 1/3 geteilt durch 1/2? Ja, da kann ich mir vorstellen, wenn 1/2 zweimal auf das Ganze geht und ich mich jetzt frage: Wie oft passt das dann auf 1/3 des Ganzen? Dann würde ich mal vermuten, dass das Ergebnis auch um 1/3 kleiner sein muss. Wenn hier das Ergebnis 2 ist, müsste hier das Ergebnis jetzt 2/3 sein. (1/3)/1/2)=2/3. Ist das irgendwie vernünftig? Also, 1/(1/2)=2. Jetzt möchte ich nicht 1 durch 1/2 teilen, sondern nur 1/3 der 1. Dann kann ich mir also vorstellen, dann nehme ich auch 1/3 von 1/2. Das ist ungefähr so groß, 1/3 davon, 1, 2, 3. Ich nehme 1/3 von 1/2 und sage mir, ja dann werden auch 2/3 von 1/2, oder 2/3 der Hälfte passen dann hier drauf. Das ist das Gleiche wie mit den Papierstreifen gerade. Und ich glaube, damit kann man gut sehen, dass das hier wirklich ein sinnvolles Ergebnis ist. 2/3 der Hälfte passen auf 1/3 des Ganzen. Und es gibt hier die Kehrwert-Regel, die möchte ich jetzt auch noch mal dazu zeigen. Die Frage ist: Ist die jetzt hier sinnvoll? Die Kehrwertregel sagt: Du kannst durch einen Bruch teilen, indem du mit dem Kehrwert multiplizierst. Der Kehrwert von 1/2, das ist 1. Und 1/3×1/2=2/3. Also auch hier ist das wieder sinnvoll. Die Kehrwert-Regel ergibt dieses Ergebnis, was wir uns hier überlegt haben. Auf zwei verschiedene Arten heben wir es uns überlegt. Nämlich einmal kann man sagen, wenn 1/(1/2)=2 , dann ist (1/3)/(1/2)=1/3 des Ergebnisses. Das ist stimmig und sinnvoll. Dann kann ich aber auch fragen: Wenn ich das Ganze durch 1/2 teile, dann passt das zweimal. Wenn ich 1/3 durch 1/2 teile, dann frage ich mich, wie oft passt 1/3 der Hälfte dann auf dieses Drittel, as ist auch zweimal. Also, das ist sinnvoll, und dass das mit allen möglichen Brüchen funktioniert, das kommt dann noch in den nächsten Filmen. Bis dahin viel Spaß. Tschüss      

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Hallo Noah Donev,
    kannst du genauer beschreiben, was du nicht verstanden hast? Wurde deiner Meinung nach etwas nicht genau genug erklärt? Gerne kannst du dich auch an unseren Fach Chat wenden. Dieser ist von Montag bis Freitag von 17-19 Uhr für dich da.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor fast 3 Jahren
  2. ich verstehe es immer noch nicht:(

    Von Helena Donev, vor fast 3 Jahren
  3. Hatt mir sehr geholfen...
    Nur die dritte Aufgabe fannd ich schwer😤 und ich krieg sie einfach nicht hin...😢

    Von Naebischer, vor mehr als 4 Jahren
  4. ich schreibe auch bald eine arbeit über brüche

    Von B Sbk, vor etwa 7 Jahren
  5. ich schreibe dazu bald eine arbeit

    Von Malexoae, vor mehr als 8 Jahren
Mehr Kommentare

Brüche durch Brüche dividieren – Einführung (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche durch Brüche dividieren – Einführung (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zur Division von Brüchen anhand des Beispiels $\frac13 : \frac12$.

    Tipps

    An diesen Bruchstreifen kannst du die Rechnung sehen.

    Beachte, dass $\frac16$ ein Drittel einer Hälfte ist.

    Wenn du die Aufgabe $24:2$ rechnest, fragst du dich, wie oft die $2$ in die $24$ passt. Die Antwort ist zwölfmal.

    Das Ergebnis der Rechnung ist die Anzahl der Hälften, die in ein Drittel passen.

    Lösung

    Wie kann man einen Bruch durch einen Bruch teilen?

    Stelle dir einen weißen Papierstreifen vor sowie einen weiteren pinkfarbenen, der zweimal in den weißen Papierstreifen passt.

    Wenn man nun sowohl den weißen als auch den pinkfarbenen Streifen drittelt, kann man sich fragen, wie oft das Drittel des pinkfarbenen in das Drittel des weißen Streifens passt. Richtig: zweimal.

    Ebenso kann man sich das Teilen von Brüchen durch Brüche vorstellen.

    Wie oft passt ein Halbes in ein Ganzes? Richtig: zweimal.

    Wie oft passt dann ein Halbes in ein Drittel? Es passen zwei Drittel davon in ein Drittel.

    Die beiden grünen Bruchstreifen lassen erkennen, dass zwei Hälften in ein Ganzes passen.

    • Wenn man sowohl die Ganzen drittelt (dies ist der obere blaue Bruchstreifen) und
    • ebenfalls eine Halbes drittelt (dies ist der untere blaue Bruchstreifen)
    kann man erkennen, dass zwei dieser Drittel eines Halben in ein Drittel passen.

  • Bestimme das Ergebnis des Quotienten $\frac13 : \frac12$.

    Tipps

    Allgemein kann man eine Division auch als Frage auffassen. So führt uns $27:3$ zu der Frage: Wie oft passt $3$ in $27$?

    Du kannst das Ergebnis dieser Aufgabe auch mittels der Kehrwertregel bestimmen. Diese besagt, dass man durch einen Bruch teilt, indem man mit dem Kehrwert dieses Bruches multipliziert.

    Die Kehrwertregel für die obige Aufgabe siehst du hier.

    Lösung

    Es soll der Bruch $\frac13$ durch den Bruch $\frac12$ dividiert werden.

    Dies kann man sich anhand von Bruchstreifen klarmachen: Wie oft passt ein Halbes in ein Drittel?

    Zunächst kann man sich überlegen, wie oft ein Halbes in ein Ganzes passt: also $1:\frac12$. Richtig: zweimal. Also ist $1:\frac12=2$.

    Wenn man nun $1$ durch $3$ teilt, muss man auch das Ergebnis durch $3$ teilen und erhält somit

    $\frac13:\frac12=\frac23$.

    Dies erhält man auch mit der Kehrwertregel, welche besagt, dass man durch einen Bruch teilt, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert.

    $\frac13:\frac12=\frac13\cdot\frac21=\frac23$ $\surd$

  • Berechne das jeweilige Ergebnis der Divisionsaufgabe.

    Tipps

    Wende die Kehrwertregel an.

    Diese besagt, dass man durch einen Bruch teilt, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

    Den Kehrwert eines Bruches erhältst du, indem du Zähler und Nenner des Bruches vertauschst.

    Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Verwendung der Kehrwertregel.

    Lösung

    Man kann einen Bruch durch einen Bruch teilen, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert. Dies nennt man die Kehrwertregel.

    Den Kehrwert eines Bruches erhält man, indem man Zähler und Nenner vertauscht.

    Somit ist

    • $\frac45:\frac23=\frac45\cdot \frac32=\frac{12}{10}=\frac65=1,2$
    • $\frac53:\frac13=\frac53\cdot \frac31=\frac{15}3=5$
    • $\frac38:\frac54=\frac38\cdot \frac45=\frac{12}{40}=\frac3{10}=0,3$
    • $\frac43:\frac23=\frac43\cdot \frac32=\frac{12}6=2$

  • Entscheide, welche der Rechnungen zu $\frac47 : \frac3{14}$ korrekt ist.

    Tipps

    Verwende zum Teilen durch den Bruch die Kehrwertregel: Durch einen Bruch wird geteilt, indem man mit dem Kehrwert dieses Bruches multipliziert.

    Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

    Wenn in einem Bruch im Zähler und im Nenner der gleiche Faktor vorkommt, so kann dieser gekürzt werden. Das heißt, dass Zähler und Nenner durch diesen Faktor dividiert werden.

    Lösung

    Wenn man zwei Brüche dividiert, führt man dabei drei Schritte durch. Gegebenenfalls ist das Kürzen nicht möglich.

    1. Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Um den Kehrwert eines Bruches zu erhalten, werden Zähler und Nenner vertauscht.
    2. Nun können zwei Brüche multipliziert werden. Hierfür werden Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
    3. Zuletzt kann das Ergebnis gegebenenfalls noch gekürzt werden. Das heißt, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner durch die gleiche Zahl dividiert werden.
    Dies wird nun an dem Beispiel $\frac47:\frac3{14}$ gezeigt:
    1. Der Kehrwert des Bruches $\frac3{14}$ ist $\frac{14}3$. Mit diesem muss nun multipliziert werden: $\frac47\cdot \frac{14}3$.
    2. Um diese Brüche zu multiplizieren, werden Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert: $\frac47\cdot \frac{14}3=\frac{4\cdot 14}{7\cdot 3}$.
    3. Sowohl im Zähler als auch im Nenner des Bruches kommt der Faktor $7$ vor. Also kann gekürzt werden: $\frac{4\cdot 14:7}{7\cdot 3:7}=\frac{4\cdot 2}3=\frac83$.

  • Beschreibe, wie man die Kehrwertregel auf den Quotienten $\frac13 : \frac12$ anwenden kann.

    Tipps

    Rechne jede dieser oben angegebenen Formeln weiter. Du kennst das Ergebnis: $\frac23$.

    Die Kehrwertregel besagt, dass man durch einen Bruch teilt, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert.

    Den Kehrwert eines Bruches erhältst du, indem du Zähler und Nenner vertauschst.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Kehrwertregel.

    Lösung

    Auch wenn man mit den Bruchstreifen das Dividieren von Brüchen durch Brüche anschaulich erklären kann, so wäre es doch ein sehr aufwändiges Verfahren, immer so zu rechnen.

    Deshalb verwendet man die Kehrwertregel:

    Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert.

    Dies kann man sich an dem folgenden Beispiel klarmachen:

    $\frac13:\frac16=2$, da ein Sechstel sechsmal in ein Ganzes und somit zweimal in ein Drittel passt. Mit der Kehrwertregel erhält man

    $\frac13:\frac16=\frac13\cdot\frac61=\frac63=2$ $\surd$

    Auf das obige Beispiel angewendet, erhält man

    $\frac13:\frac12=\frac13\cdot \frac21=\frac23$.

  • Wende die Kehrwertregel an, um die folgenden Divisionsaufgaben zu lösen.

    Tipps

    Beide Ergebnisse sind endliche Dezimalzahlen mit maximal drei Nachkommastellen. Schreibe bitte alle Dezimalstellen auf.

    Du musst mit dem Kehrwert des Bruches, durch welchen geteilt wird, multiplizieren.

    Beachte die Reihenfolge der Division.

    Lösung

    In dieser Aufgabe wird nochmals die Kehrwertregel ausführlich geübt. Diese besagt, dass man durch einen Bruch teilt, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert.

    • $\frac5{12}:\frac{10}3=\frac5{12}\cdot \frac3{10}=\frac{5\cdot 3}{12\cdot 10}$. Sowohl im Zähler als auch im Nenner kommen die Faktoren $3$ und $5$ vor. Es kann also mit $3\cdot5=15$ gekürzt werden: $\frac{5\cdot 3}{12\cdot 10}=\frac18=0,125$.
    • $\frac{21}2:\frac{14}5=\frac{21}2\cdot \frac5{14}=\frac{21\cdot 5}{2\cdot 14}$. Sowohl im Zähler als auch im Nenner kommt der Faktor $7$ vor. Mit diesem kann also gekürzt werden: $\frac{21\cdot 5}{2\cdot 14}=\frac{15}4=3,75$.
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