Brüche durch Brüche dividieren – Einführung (1)

Brüche durch Brüche dividieren – Einführung (1) Übung

• Ergänze die Erklärung zur Division von Brüchen durch Brüche anhand des Quotienten $\frac12 : \frac13$.

  Tipps

  Du kannst dir diese Divisionsaufgabe an den Bruchstreifen klarmachen.

  Ein Sechstel ist ein halbes Drittel.

  Wenn du die Aufgabe $35:7$ rechnest, fragst du dich, wie oft die $7$ in die $35$ passt. Die Antwort ist fünfmal.

  Das Ergebnis der Rechnung ist die Anzahl der Drittel, die in ein Halbes passen.

  Lösung

  Was passiert, wenn man einen Bruch durch einen Bruch dividiert?

  Man stelle sich einen weißen Papierstreifen sowie einen weiteren grünen vor, der dreimal in den weißen Papierstreifen passt.

  Wenn man nun sowohl den weißen als auch den grünen Streifen halbiert, kann man sich fragen, wie oft die Hälfte des grünen in die des weißen Streifens passt. Richtig: dreimal.

  Ebenso kann man sich das Teilen von Brüchen durch Brüche vorstellen.

  Wie oft passt ein Drittel in ein Ganzes? Richtig: dreimal.

  Wie oft passt dann ein Drittel in ein Halbes? Es passen drei halbe Drittel in ein Halbes.

  Dieser Zusammenhang ist an den Bruchstreifen zu erkennen. Bei den blauen Streifen ist die Anzahl der halben Drittel, die ein Halbes ergeben, zu erkennen.

  Beachte: Ein Sechstel ist ein halbes Drittel und davon passen drei in ein Halbes.

• Berechne das Ergebnis der Divisionsaufgabe $\frac23 : \frac13$.

  Tipps

  Man kann diese Aufgabe auch mit Hilfe der Kehrwertregel lösen:

  Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

  Du kannst dir auch überlegen, wie viele Drittel in ein Halbes passen.

  Dies kannst du an den Bruchstreifen sehen.

  Hier siehst du ein Beispiel für die Kehrwertregel.

  Lösung

  Es soll der Quotient $\frac12:\frac13$ berechnet werden.

  Dies kann man sich mit Bruchstreifen klarmachen: Wie oft passt ein Drittel in ein Halbes?

  Fragen wir uns zunächst, wie oft ein Drittel in ein Ganzes passt. Richtig: dreimal. Also ist $1:\frac13=3$.

  Wenn man nun $1$ halbiert, muss man auch das Ergebnis halbieren und erhält somit

  $\frac12:\frac13=\frac32$.

  Dies erhält man auch mit der Kehrwertregel, welche besagt, dass man durch einen Bruch teilt, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert.

  $\frac12:\frac13=\frac12\cdot\frac31=\frac32$ $\surd$

• Bestimme das jeweilige Ergebnis der Divisionsaufgaben.

  Tipps

  Du kannst die Kehrwertregel anwenden. Diese besagt, dass man durch einen Bruch teilt, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

  Den Kehrwert eines Bruches erhältst du, indem du Zähler und Nenner des Bruches vertauschst.

  Hier siehst du ein Beispiel für die Kehrwertregel sowie für das Kürzen von Brüchen.

  Lösung

  Man kann einen Bruch durch einen Bruch zu teilen, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert. Dies ist die Kehrwertregel.

  Den Kehrwert eines Bruches erhält man, indem man Zähler und Nenner vertauscht.

  Somit ist

  • $\frac32:\frac14=\frac32\cdot \frac41=\frac{12}2=6$
  • $\frac25:\frac15=\frac25\cdot \frac51=\frac{10}5=2$
  • $\frac23:\frac16=\frac23\cdot \frac61=\frac{12}3=4$
  • $\frac43:\frac16=\frac43\cdot \frac61=\frac{24}3=8$

• Erkläre, wie man den Term $\frac23:\left(\frac12:\frac38\right)$ lösen kann.

  Tipps

  Ohne Klammern würdest du von links nach rechts rechnen.

  Die Kehrwertregel besagt, dass man durch einen Bruch teilt, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert.

  Kürzen bedeutet, den Zähler und den Nenner eines Bruches durch die gleiche Zahl zu dividieren.

  Lösung

  Um die Divisionsaufgabe $\frac23:\left(\frac12:\frac38\right)$ zu lösen, muss man beachten, dass zunächst der Term in der Klammer berechnet werden muss.

  Durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Dies ist die Kehrwertregel. Somit erhält man

  $\frac23:\left(\frac12:\frac38\right)=\frac23:\left(\frac12\cdot \frac83\right)=\frac23:\frac86$.

  Wiederum mit der Kehrwertregel gelangt man zu

  $\frac23:\frac86=\frac23\cdot \frac68=\frac{12}{24}$.

  Beide Male wurde verwendet, dass zwei Brüche multipliziert werden, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

  Da in dem Bruch $\frac{12}{24}$ sowohl im Zähler als auch im Nenner der Faktor $12$ vorkommt, kann dieser gekürzt werden:

  $\frac{12}{24}=\frac{12:12}{24:12}=\frac12$.

  $\frac12$ ist das Ergebnis der obigen Aufgabe.

• Gib die Kehrwertregel an.

  Tipps

  Den Kehrwert eines Bruches erhält man, indem man Zähler und Nenner vertauscht.

  Rechne das Beispiel $\frac12:\frac13$, von dem du das Ergebnis $\frac32$ bereits kennst, mit jeder der Regeln durch.

  Hier siehst du ein Beispiel für die Kehrwertregel.

  Lösung

  Das Teilen eines Bruches durch Brüche kann man durch die Kehrwertregel vereinfachen.

  Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert.

  Dies kann man sich an dem folgenden Beispiel klarmachen:

  $\frac12:\frac14=2$, da ein Viertel viermal in ein Ganzes und somit zweimal in ein Halbes passt. Mit der Kehrwertregel erhält man

  $\frac12:\frac14=\frac12\cdot\frac41=\frac42=2$ $\surd$.

• Entscheide, wie viele Pizzendrittel jeder bekommt.

  Tipps

  Schreibe $9$ ganze Pizzen und eine Drittelpizza als Bruch.

  Überlege dir, wie oft $\frac13$ in diesen Bruch passt.

  Lösung

  Zunächst kann man sich überlegen, wie neun ganze Pizzen und eine Drittelpizza als Bruch dargestellt werden können:

  $9\frac13=9+\frac13=\frac{9\cdot3}3+\frac13=\frac{28}3$.

  Diese $\frac{28}3$ sollen in $\frac13$-Stücke aufgeteilt werden:

  $\frac{28}3:\frac13=\frac{28}3\cdot \frac31=28$.

  Da sieben Personen sich diese Stücke teilen, muss dieses Ergebnis noch durch $7$ geteilt werden und man erhält somit

  $28:7=4$.

  Das heißt, jede der sieben Personen kann vier dieser $\frac13$-Stücke essen.

  Guten Appetit.