Brüche durch Brüche dividieren (2)

Brüche durch Brüche dividieren (2) Übung

• Beschreibe anhand des Quotienten $\frac32 : \frac14$, wie ein Bruch durch einen Bruch geteilt wird.

  Tipps

  Wie oft passt ein Viertel in ein Ganzes?

  Richtig, viermal.

  Dann passen sicher $2\cdot4=8$ Viertel in zwei Ganze.

  Wenn zum Beispiel

  $4:\frac13=12$

  ist, dann ist

  $4:\frac13:3=\frac{12}3$.

  Du könntest die Rechnung auch mit der Kehrwertregel durchführen. Diese besagt, dass man durch einen Bruch teilt, indem man mit dem Kehrwert dieses Bruches multipliziert.

  Lösung

  Wie kann man einen Bruch, dessen Zähler keine $1$ ist, durch einen anderen Bruch teilen?

  Dies wird hier an dem Beispiel $\frac32:\frac14$ gezeigt:

  • $3:\frac14=3\cdot 4=12$, denn ein Viertel passt zwölfmal in drei Ganze.
  • Wie erhält man damit $\frac32:\frac14$?
  • Wenn $3:\frac14$ gerade $12$ ergibt, halbiere ich auf beiden Seiten zu $\frac32:\frac14=\frac{12}2=6$.

  Wenn ich also den Dividenden, also die Zahl, welche geteilt wird, halbiere (drittele, viertele, ...), halbiert (drittelt, viertelt, ...) sich auch das Ergebnis.

• Berechne das Ergebnis des Terms $\frac32 : \frac14$ mit der Kehrwertregel.

  Tipps

  Der Kehrwert von $\frac15$ ist $\frac51=5$.

  Du kannst durch einen Bruch teilen, indem du mit dessen Kehrwert multiplizierst.

  Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

  Wenn in einem Bruch sowohl im Zähler als auch im Nenner der gleiche Faktor vorkommt, so kann man diesen kürzen.

  Ein Beispiel kannst du hier sehen.

  Lösung

  Das Ergebnis der obigen Aufgabe kann man auch mit der Kehrwertregel berechnen: Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert.

  Die entsprechende Rechnung ist hier zu sehen.

  Der Kehrwert von $\frac14$, dem Bruch, durch den geteilt wird, ist $\frac41=4$.

  Nun kann man die beiden Brüche $\frac32$ sowie $\frac41$ multiplizieren. Hierfür multipliziert man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.

  $\frac32\cdot \frac41=\frac{12}2$.

  Dieser Bruch kann noch mit $2$ gekürzt werden zu

  $\frac{12}2=\frac{12:2}{2:2}=\frac61=6$.

• Bilde von jedem der Brüche den Kehrwert.

  Tipps

  Du erhältst den Kehrwert eines beliebigen Bruches, indem du Zähler und Nenner vertauschst.

  Kann man auch den Kehrwert einer Zahl bilden?

  Sicher, jede Zahl $\large{x}$ lässt sich schreiben als $\large{\frac{x}{1}}$. Nun siehst du leichter, wie sich Zähler und Nenner bei ganzen Zahlen vertauschen lassen.

  Hier siehst du als Beispiel den Kehrwert von $6$ und umgekehrt den von $\frac16$.

  Wenn du von dem Kehrwert eines Bruches wieder den Kehrwert bildest, bist du beim Ausgangsbruch.

  Lösung

  Nach der Kehrwertregel kann man durch einen Bruch teilen, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert.

  Aber wer oder was ist eigentlich dieser Kehrwert? Wird damit gemessen, wie gut ein neuer Besen kehrt???

  Spaß beiseite, der Kehrwert eines Bruches entsteht aus einem Bruch durch Vertauschen von Zähler und Nenner.

  Hier siehst du eine Tabelle mit verschiedenen Brüchen und deren Kehrwert:

  $\begin{array}{c|c|c} \text{Bruch}&\rightarrow&\text{Kehrwert}\\ \hline \frac45&\rightarrow&\frac54\\ \hline 5&\rightarrow&\frac15\\ \hline \frac18&\rightarrow&8\\ \hline \frac54&\rightarrow&\frac45\\ \hline \frac72&\rightarrow&\frac27\\ \hline \frac27&\rightarrow&\frac72\\ \end{array}$

• Prüfe die folgenden Aussagen zu Brüchen, Kehrwerten und Quotienten.

  Tipps

  Wenn du bei einer Aussage denkst, dass sie falsch ist, genügt es, wenn du ein Gegenbeispiel findest.

  Jede natürliche (ganze Zahl) lässt sich als Bruch schreiben. Ein Beispiel siehst du hier.

  Wende hier die Kehrwertregel an und kürze dann.

  Lösung

  Kann man einen Bruch auch durch eine natürliche Zahl teilen?

  Klar geht das! Man schreibt dazu die Zahl $x$ als Bruch $\frac{x}1$ und verwendet dann die Kehrwertregel.

  Zum Beispiel:

  $\frac13:5=\frac13\cdot \frac15=\frac1{3\cdot 5}$.

  An diesem Beispiel erkennst du schon, dass du den Nenner mit dieser Zahl multiplizierst. Dies ist kein Beweis für die Aussage, dass man einen Bruch durch eine natürliche Zahl teilt, indem man den Nenner mit der Zahl multipliziert. Man kann dies auch allgemein nachweisen:

  $\frac ab:c=\frac ab:\frac c1=\frac ab\cdot \frac1c=\frac a{b\cdot c}$.

  Dabei sind $a$, $b$ und $c$ natürliche Zahlen. Zusätzlich müssen $b$ und $c$ ungleich $0$ sein.

  Was passiert, wenn man einen Bruch durch sich selbst teilt?

  Dies sei hier an einem Beispiel gezeigt. Auch hier kann man dies allgemein nachweisen:

  $\frac23:\frac23=\frac23\cdot\frac32=\frac66=1$.

• Beschreibe die einzelnen Schritte bei der Verwendung der Kehrwertregel, wenn du den Term $\frac32 : \frac14$ berechnest.

  Tipps

  Du erhältst den Kehrwert eines Bruches, indem du Zähler und Nenner vertauschst.

  Hier siehst du ein Beispiel für die Kehrwertregel.

  Hier siehst du ein Beispiel für das Multiplizieren zweier Brüche.

  Der resultierende Bruch kann noch gekürzt werden zu $\frac25$.

  Lösung

  Es ist $\frac32:\frac14=\frac32\cdot \frac41=\frac{3\cdot4}{2\cdot1}=\frac{12}2$.

  Warum ist das so?

  • Zunächst einmal wird mit dem Kehrwert von $\frac14$ (dieser ist $\frac41$) multipliziert.
  • Dann werden die beiden Brüche multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

  Der resultierende Bruch $\frac{12}2$ kann noch gekürzt werden zu

  $\frac{12}2=\frac{12:2}{2:2}=\frac61=6$.

• Berechne das jeweilige Ergebnis der Quotienten.

  Tipps

  Verwende die Kehrwertregel. Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert.

  Kürzen bedeutet, den Zähler und den Nenner eines Bruches durch die gleiche Zahl zu teilen. Ein Beispiel kannst du hier sehen.

  Wenn mehrere Male hintereinander dividiert wird, so wird von links nach rechts gerechnet.

  Wenn du einen Bruch durch sich selbst teilst, kommt immer $1$ heraus.

  Lösung

  In dieser Aufgabe kannst du nochmal die Kehrwertregel üben. Diese besagt, dass man durch einen Bruch teilt, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert.

  • $3:\frac15=3\cdot\frac51=15$.
  • $3:\frac35=3\cdot \frac53=\frac{15}3=5$.
  • $\frac32:\frac35=\frac32\cdot \frac53=\frac{15}6=\frac52=2,5$
  • $\frac32:\frac35:\frac52=\frac32\cdot \frac53:\frac52=\frac52:\frac52=\frac52\cdot \frac25=\frac{10}{10}=1$.