Brüche dividieren – Erklärung 1 der Kehrwertregel (2)

Brüche dividieren – Erklärung 1 der Kehrwertregel (2) Übung

• Bestimme den Bruch im nächsten Rechenschritt.

  Tipps

  Bedenke die Kehrwertregel.

  Laut Kehrwertregel sieht der nächste Schritt so aus:

  Wenn du zwei Brüche miteinander multiplizierst, kannst du die Produkte in einem Zähler und einem Nenner zusammenfassen.

  Lösung

  Bei der Divisionsaufgabe

  $\frac{1}{3} : \frac{2}{5}$

  wenden wir die Kehrwertregel an. Dabei wird der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multipliziert.

  Der erste bleibt also unverändert, aus dem Geteilt wird ein Mal und der hintere Bruch dreht sich einfach um:

  $\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2}$.

  Diese beiden Brüche können wir nun zusammenfassen, indem wir jeweils Zähler und Nenner miteinander multiplizieren:

  $\frac{5}{3 \cdot 2}$.

  Natürlich stimmt auch dieser Bruch:

  $\frac{5}{2 \cdot 3}$,

  denn es gilt das Kommutativgesetz.

• Gib die Kehrwertregel anhand der Gleichung $\frac{4}{3} : \frac{2}{5} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$ wieder.

  Tipps

  Die Werte werden in diesem Schritt noch nicht zusammengefasst. Es geht darum, die Kehrwertregel zu zeigen.

  Hier ein anderes Beispiel für die Kehrwertregel:

  Lösung

  Die allgemeine Kehrwertregel sieht so aus:

  $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.

  Der erste Bruch bleibt unverändert, der hintere wird umgedreht (Kehrwert) und die Division wird zur Multiplikation.

  So erhalten wir in unserer Aufgabe folgendes:

  $\frac{4}{3} : \frac{2}{5} = \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{2}$.

  Weiter müssen wir hier nicht zusammenfassen, da es nur darum ging, die Kehrwertregel zu zeigen. Falls du jedoch weitermachen möchtest, das gekürzte Ergebnis wäre:

  $\frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

• Bilde den Bruch im nächsten Rechenschritt.

  Tipps

  Eine ganze Zahl kann auch als Bruch dargestellt werden.

  Laut Kehrwertregel wird mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.

  Lösung

  Wir betrachten die Aufgabe

  $\frac{5}{4} : 3$.

  Die hintere Zahl kann man auch als Bruch schreiben, denn die rationalen Zahlen umfassen auch die ganzen Zahlen:

  $\frac{5}{4} : \frac{3}{1}$.

  Nun wenden wir die Kehrwertregel an. Dazu wird aus der Division eine Multiplikation und vom hinteren Bruch der Kehrwert gebildet:

  $\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3}$.

  Am Ende fassen wir diese Brüche noch zusammen, indem wir jeweils die Zähler und Nenner miteinander multiplizieren. Die Reihenfolge der Faktoren ist dabei nicht wichtig, das Ergebnis bleibt (bei der Multiplikation) dasselbe:

  $= \frac{5}{4 \cdot 3} = \frac{5}{3 \cdot 4}$.

• Entscheide, welches Ergebnis zu welchem Bruch gehört.

  Tipps

  Die allgemeine Kehrwertregel sieht so aus:

  Wende bei jeder Aufgabe die Kehrwertregel an und vergiss nicht, so weit wie möglich zu kürzen.

  Lösung

  Gehen wir die Aufgaben der Reihe nach durch. Bei jeder wenden wir die Kehrwertregel an.

  • Beginnen wir mit der ersten Aufgabe: $\frac{1}{6} : \frac{7}{4} = \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{7} = \frac{4}{42} = \frac{2}{21}$. Hier konnten wir nach der Multiplikation mit $2$ kürzen.
  • Weiter mit der zweiten Aufgabe: $\frac{32}{7} : \frac{13}{2} = \frac{32}{7} \cdot \frac{2}{13} = \frac{64}{91}$. Hier kann nicht gekürzt werden.
  • Nun zur dritten Aufgabe: $\frac{3}{2} : \frac{7}{5} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{14}$. Auch hier kann man nicht mehr kürzen.
  • Jetzt kommen wir zur letzten Aufgabe: $\frac{2}{9} : \frac{8}{3} = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$. Hier haben wir noch mit $6$ gekürzt.

  Natürlich muss nicht erst im letzten Rechenschritt gekürzt werden. Häufig fällt die Multiplikation zweier Brüche leichter, wenn du schon früher kürzt. Auf diese Weise werden die Zahlen nicht so groß.

• Nenne das Ergebnis des Terms $\frac13 : 2$.

  Tipps

  Die allgemeine Kehrwertregel lautet:

  Eine ganze Zahl kann auch als Bruch verstanden werden.

  Drei der sechs Ergebnisse sind richtig.

  Lösung

  Diese Aufgabe kann man ebenfalls mit Hilfe der Kehrwertregel lösen.

  Die hintere Zahl ist zwar kein Bruch, kann aber auch als solcher gesehen werden:

  $\frac{1}{3} : 2 = \frac{1}{3} : \frac{2}{1}$.

  Nun wenden wir die Kehrwertregel an und multiplizieren mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs:

  $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3 \cdot 2}$.

  Man kann den Nenner natürlich auch andersherum schreiben, bei einer Multiplikation ist die Reihenfolge für das Ergebnis nicht wichtig (Kommutativgesetz):

  $\frac{1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{2 \cdot 3}$.

  Natürlich darf man auch zusammenfassen:

  $\frac{1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.

  Alle drei Varianten sind richtige Ergebnisse der Divisionsaufgabe.

• Ermittle, wie dieser Bruch als einfacher Bruch aussehen würde.

  Tipps

  Ein Bruch ist nichts anderes als eine Divisionsaufgabe:

  Andersherum kann man Divisionsaufgaben auch als Bruch schreiben:

  Die allgemeine Kehrwertregel sieht so aus:

  Lösung

  Wenn wir uns die Aufgabe genauer ansehen, erkennen wir im Zähler eine Divisionsaufgabe, die man auch als Bruch schreiben kann:

  $3: 2 = \frac{3}{2}$.

  Der große Bruchstrich steht (wie alle Bruchstriche) für eine Division. Statt den großen Bruch also weiter zu verwenden, schreiben wir ihn als eine Divisionsaufgabe mit zwei Brüchen, nämlich mit dem umgeschriebenen Zähler und dem unveränderten Nenner:

  $\frac{3}{2} : \frac{2}{5}$.

  Dies ist nun eine normale Divisionsaufgabe mit zwei Brüchen, die wir mit Hilfe der Kehrwertregel lösen können:

  $\frac{3}{2} : \frac{2}{5} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 2}$.

  Das können wir zusammenfassen und erhalten somit als Ergebnis:

  $\frac{15}{4}$.