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Brüche dividieren – Erklärung 1 der Kehrwertregel (2)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Brüche dividieren – Erklärung 1 der Kehrwertregel (2)
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Brüche dividieren – Erklärung 1 der Kehrwertregel (2)

Herzlich Willkommen zum Video „Brüche dividieren - genaue Erklärung (1) der Kehrwertregel - 2.Teil “. In dieser Videoreihe, bestehend aus zwei Teilen, wird dir die Kehrwertregel anschaulich erklärt. Es geht um die Aufgabe 4/3 : 2/5. Wir wissen bereits, dass 1/3 : 2 = 1/6. Dies haben wir unter Zuhilfenahme des Bruchstreifens herausbekommen. Dir wird im Verlauf des Video in mehreren Schritten letztendlich gezeigt, warum die Kehrwertregel gilt. Du kennst somit nicht nur die Kehrwertregel, sondern du hast in den zwei Lehrfilmen auch anschaulich gezeigt bekommen, warum diese Regel gilt! Du kannst die Kehrwertregel nun ruhigen Gewissens anwenden!

Transkript Brüche dividieren – Erklärung 1 der Kehrwertregel (2)

Hallo! Brüche dividieren, hier kommt der 2. Teil dieser Aufgabe. Es geht um diese Aufgabe (4/3)/(2/5). Und die entscheidende Frage bei jetzt, hier in dem Teil (1/3)/(2/5), das wollen wir jetzt klären. Wir wissen schon, (1/3)/2=1/6. Man muss die große 2 streichen, erst in 2 Teile teilen, dann noch mal in 3 - das sieht dann so aus und dieses Teil passt einmal auf 1/3. Hier ist die Frage, ich hätte mich nicht fragen sollen, wie viel des großen 2er-Streifens passt auf 1/3, sondern 1/5 des 2er-Streifens. Das war ja die eigentliche Frage. Und ja, was kann ich jetzt machen? Ich hätte also nicht den 2er-Streifen teilen sollen, sondern ein 1/5 davon, dann wäre auch das, was da rauskommt, nämlich dieses Ding hier, das wäre dann ja auch 5× kleiner gewesen. Und weil das so ist, wenn ich nicht so viel teile, sondern nur 1/5 davon, teile das in 6 Teile, dann ist es ja 5× kleiner. Ja, dann kommt also nicht dieses Ding hier raus, sondern etwas, was 5× kleiner ist. Das mache ich jetzt mal, versuche das mal so ungefähr hier hinzukriegen. Dann muss ich also 4 Striche machen, die jetzt leider nicht ganz gleich groß sind alle. Also das sollen jetzt 5 gleich große Teile so. Ich hoffe, du kannst das mit etwas Fantasie erkennen - 1, 2, 3, 4, 5 Teile sind es. Und es ist die Frage: Wie viel eines solchen Teils hier passt auf 1/3? Na ja, bevor ich diesen Streifen geteilt habe, war es 1 Streifen, der drauf passte. Jetzt habe ich ihn in 5 Teile geteilt. Wie viel passen jetzt auf 1/3? 1, 2, 3, 4, 5 Teile sind es. Das ist auch bis dahin dann keine Überraschung. Also kann man schreiben, es passen 5 drauf, und zwar wenn man die 2/5 in 3×2 Teile teilt. Das ist bis hierhin das Ergebnis. Das ist auch schon die entscheidende Sache eigentlich dabei, dass man sich nämlich hier vorstellt: Was wäre, wenn ich nicht den ganzen 2er-Streifen teile, diesen großen, sondern wenn ich nur 1/5 davon teile, dann wird das Ergebnis auch 5× kleiner, und dann passen da auch 5× mehr Teile auf dieses Drittel drauf als vorher. Hier stand die 1, da steht die 5, und siehe da, so kannst du sehen, dass das wirklich auch stimmt. Jetzt ist die Aufgabe aber noch immer nicht fertig, denn es ging darum, zu fragen, was ist (4/3)/(2/5), nicht, was ist (1/3)/(2/5). Ja, und jetzt kann ich mir die Sache also einfach machen. Ich weiß jetzt, wie viele dieser kleinen Teile hier auf 1/3 passen. Wie viele passen dann auf 4/3? Na ja, hier passen 5 drauf, 2×5, 3×5 und das 4. Drittel ist nicht da, lege ich hier dran - 4× so viele passen auf 4/3. Das ist, glaube ich, auch keine Überraschung. Also kann ich vor die 5 hier im Zähler noch eine 4 schreiben. Also haben wir hier 4×5, steht im Zähler, 3×2 steht im Nenner. Das kann man natürlich noch ausrechnen. Das wären dann 20/6. Und dann kann man das noch kürzen. Das würdest du so nie als Ergebnis hinschreiben, ist klar, mache ich aber bewusst nicht, nur um zu zeigen, dass die Kehrwertregel gilt. Denn, du siehst, du hättest einfach diesen Bruch hier umdrehen können und mit diesem Bruch multiplizieren, das dann auf einen Bruchstrich schreiben, es wäre dasselbe rausgekommen. Hättest du es einfach nur so nach Regeln gemacht, wüsstest du nicht, warum diese Regel gilt. Aber mit der Überlegung jetzt, also so, wie wir das jetzt hier entwickelt haben, kannst du sehen, dass die Kehrwertregel tatsächlich gilt. Dass du das auch tatsächlich sehen kannst, dass diese Teile sich alle so verhalten. Ja, und dann kannst du demnächst also mit Kehrwertregel auch mit profundem Wissen anwenden. Dann wünsche ich dir viel Spaß damit. Bis bald - tschüss!

15 Kommentare

15 Kommentare
  1. sehr gut erklärt ;;;;;)))))

    Von Thorsten Trimpe, vor mehr als 4 Jahren
  2. sehr gutes video

    Von Superelmo2004, vor etwa 6 Jahren
  3. gut verständlich. echt gut:)

    Von Tobias P., vor mehr als 6 Jahren
  4. ich habe alles super verstanden

    Von Pieper Mel, vor mehr als 6 Jahren
  5. gut

    Von S Lukas, vor mehr als 7 Jahren
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Brüche dividieren – Erklärung 1 der Kehrwertregel (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche dividieren – Erklärung 1 der Kehrwertregel (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme den Bruch im nächsten Rechenschritt.

    Tipps

    Bedenke die Kehrwertregel.

    Laut Kehrwertregel sieht der nächste Schritt so aus:

    Wenn du zwei Brüche miteinander multiplizierst, kannst du die Produkte in einem Zähler und einem Nenner zusammenfassen.

    Lösung

    Bei der Divisionsaufgabe

    $\frac{1}{3} : \frac{2}{5}$

    wenden wir die Kehrwertregel an. Dabei wird der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multipliziert.

    Der erste bleibt also unverändert, aus dem Geteilt wird ein Mal und der hintere Bruch dreht sich einfach um:

    $\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2}$.

    Diese beiden Brüche können wir nun zusammenfassen, indem wir jeweils Zähler und Nenner miteinander multiplizieren:

    $\frac{5}{3 \cdot 2}$.

    Natürlich stimmt auch dieser Bruch:

    $\frac{5}{2 \cdot 3}$,

    denn es gilt das Kommutativgesetz.

  • Gib die Kehrwertregel anhand der Gleichung $\frac{4}{3} : \frac{2}{5} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$ wieder.

    Tipps

    Die Werte werden in diesem Schritt noch nicht zusammengefasst. Es geht darum, die Kehrwertregel zu zeigen.

    Hier ein anderes Beispiel für die Kehrwertregel:

    Lösung

    Die allgemeine Kehrwertregel sieht so aus:

    $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.

    Der erste Bruch bleibt unverändert, der hintere wird umgedreht (Kehrwert) und die Division wird zur Multiplikation.

    So erhalten wir in unserer Aufgabe folgendes:

    $\frac{4}{3} : \frac{2}{5} = \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{2}$.

    Weiter müssen wir hier nicht zusammenfassen, da es nur darum ging, die Kehrwertregel zu zeigen. Falls du jedoch weitermachen möchtest, das gekürzte Ergebnis wäre:

    $\frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

  • Bilde den Bruch im nächsten Rechenschritt.

    Tipps

    Eine ganze Zahl kann auch als Bruch dargestellt werden.

    Laut Kehrwertregel wird mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.

    Lösung

    Wir betrachten die Aufgabe

    $\frac{5}{4} : 3$.

    Die hintere Zahl kann man auch als Bruch schreiben, denn die rationalen Zahlen umfassen auch die ganzen Zahlen:

    $\frac{5}{4} : \frac{3}{1}$.

    Nun wenden wir die Kehrwertregel an. Dazu wird aus der Division eine Multiplikation und vom hinteren Bruch der Kehrwert gebildet:

    $\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3}$.

    Am Ende fassen wir diese Brüche noch zusammen, indem wir jeweils die Zähler und Nenner miteinander multiplizieren. Die Reihenfolge der Faktoren ist dabei nicht wichtig, das Ergebnis bleibt (bei der Multiplikation) dasselbe:

    $= \frac{5}{4 \cdot 3} = \frac{5}{3 \cdot 4}$.

  • Entscheide, welches Ergebnis zu welchem Bruch gehört.

    Tipps

    Die allgemeine Kehrwertregel sieht so aus:

    Wende bei jeder Aufgabe die Kehrwertregel an und vergiss nicht, so weit wie möglich zu kürzen.

    Lösung

    Gehen wir die Aufgaben der Reihe nach durch. Bei jeder wenden wir die Kehrwertregel an.

    • Beginnen wir mit der ersten Aufgabe: $\frac{1}{6} : \frac{7}{4} = \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{7} = \frac{4}{42} = \frac{2}{21}$. Hier konnten wir nach der Multiplikation mit $2$ kürzen.
    • Weiter mit der zweiten Aufgabe: $\frac{32}{7} : \frac{13}{2} = \frac{32}{7} \cdot \frac{2}{13} = \frac{64}{91}$. Hier kann nicht gekürzt werden.
    • Nun zur dritten Aufgabe: $\frac{3}{2} : \frac{7}{5} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{14}$. Auch hier kann man nicht mehr kürzen.
    • Jetzt kommen wir zur letzten Aufgabe: $\frac{2}{9} : \frac{8}{3} = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$. Hier haben wir noch mit $6$ gekürzt.
    Natürlich muss nicht erst im letzten Rechenschritt gekürzt werden. Häufig fällt die Multiplikation zweier Brüche leichter, wenn du schon früher kürzt. Auf diese Weise werden die Zahlen nicht so groß.

  • Nenne das Ergebnis des Terms $\frac13 : 2$.

    Tipps

    Die allgemeine Kehrwertregel lautet:

    Eine ganze Zahl kann auch als Bruch verstanden werden.

    Drei der sechs Ergebnisse sind richtig.

    Lösung

    Diese Aufgabe kann man ebenfalls mit Hilfe der Kehrwertregel lösen.

    Die hintere Zahl ist zwar kein Bruch, kann aber auch als solcher gesehen werden:

    $\frac{1}{3} : 2 = \frac{1}{3} : \frac{2}{1}$.

    Nun wenden wir die Kehrwertregel an und multiplizieren mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs:

    $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3 \cdot 2}$.

    Man kann den Nenner natürlich auch andersherum schreiben, bei einer Multiplikation ist die Reihenfolge für das Ergebnis nicht wichtig (Kommutativgesetz):

    $\frac{1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{2 \cdot 3}$.

    Natürlich darf man auch zusammenfassen:

    $\frac{1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.

    Alle drei Varianten sind richtige Ergebnisse der Divisionsaufgabe.

  • Ermittle, wie dieser Bruch als einfacher Bruch aussehen würde.

    Tipps

    Ein Bruch ist nichts anderes als eine Divisionsaufgabe:

    Andersherum kann man Divisionsaufgaben auch als Bruch schreiben:

    Die allgemeine Kehrwertregel sieht so aus:

    Lösung

    Wenn wir uns die Aufgabe genauer ansehen, erkennen wir im Zähler eine Divisionsaufgabe, die man auch als Bruch schreiben kann:

    $3: 2 = \frac{3}{2}$.

    Der große Bruchstrich steht (wie alle Bruchstriche) für eine Division. Statt den großen Bruch also weiter zu verwenden, schreiben wir ihn als eine Divisionsaufgabe mit zwei Brüchen, nämlich mit dem umgeschriebenen Zähler und dem unveränderten Nenner:

    $\frac{3}{2} : \frac{2}{5}$.

    Dies ist nun eine normale Divisionsaufgabe mit zwei Brüchen, die wir mit Hilfe der Kehrwertregel lösen können:

    $\frac{3}{2} : \frac{2}{5} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 2}$.

    Das können wir zusammenfassen und erhalten somit als Ergebnis:

    $\frac{15}{4}$.

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