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Arten von Vierecken

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Mathe-Team
Arten von Vierecken
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse

Beschreibung Arten von Vierecken

Hallo und herzlich willkommen! In diesem Video wirst du die verschiedenen Vierecksarten kennenlernen. Außerdem wirst du lernen, wie man mit Hilfe der Eigenschaften Vierecke voneinander unterscheidet. Du wirst sehen, dass Vierecke auch in deiner Lebenswelt vorkommen. Vielleicht kannst du nach diesem Video Lena und Sabine bei ihrer Auseinandersetzung helfen! Viel Spaß!

Transkript Arten von Vierecken

Hi! Lena und Sabine streiten sich gerade über ein mathematisches Problem. Es geht um folgende Aussage: Jedes Quadrat ist gleichzeitig ein Rechteck. Lena meint, dass diese Aussage korrekt ist. Sabine hingegen sagt, dass jedes Rechteck gleichzeitig ein Quadrat ist.

Um dieses Problem zu lösen, werden wir zuerst noch einmal kurz wiederholen, was ein Viereck ist und worin Vierecke sich unterscheiden können.

Danach wollen wir die verschiedenen Vierecksarten kennenlernen, die es gibt. Dann wollen wir uns noch Vierecke anschauen, die im Alltag vorkommen können... Zum Schluss wollen wir noch Zusammenhänge zwischen den einzelnen Figuren betrachten.

Definition Vierecke

Wie der Name Viereck schon ausdrückt, verfügt es über vier Ecken. Jeder Eckpunkt wird mit einem Großbuchstaben bezeichnet. Üblicherweise fängt man in einer Ecke mit der Beschríftung an. Dort ist der Eckpunkt A. Danach werden die restlichen Eckpunkte gegen den Uhrzeigersinn mit B, C und D beschriftet.

Das Viereck hat vier Seiten, die mit den kleinen Buchstaben a, b, c und d beschriftet werden. Die Seite a verläuft vom Eckpunkt A zum Eckpunkt B. Die anderen Seiten werden auch gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet.

Ein Viereck besitzt vier Innenwinkel, die alpha, beta, gamma und delta heißen. Der Winkel alpha sitzt beim Eckpunkt A. Die anderen Winkel werden auch wieder gegen den Uhrzeigersinn beschriftet, so dass bei Eckpunkt B der Winkel beta eingezeichnet wird.

Zudem hat jedes Viereck zwei Diagonalen, die vom Eckpunkt A zum Eckpunkt C und vom Eckpunkt B zum Eckpunkt D verlaufen. Diese Diagonalen werden mit e und f bezeichnet.

Das alles haben alle Vierecke gemein.

Quadrat

Nun wollen wir uns damit beschäftigen, welche Vierecksarten es überhaupt gibt. Schauen wir uns hierzu mal einige Beispiele an. Wir nennen hierbei nur die Definitionen, weitere Eigenschaften kann man aus diesen Definitionen folgern.

Diese Figur hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel, dies sind Winkel, deren Größe 90 Grad beträgt. Diese Figur nennt man Quadrat.

Rechteck

Diese Figur hat vier rechte Winkel. Diese Figur nennt man Rechteck.

Raute oder Rombus

Diese Figur hat vier gleich lange Seiten. Diese Figur hat sogar zwei Namen, man kann Raute oder Rhombus zu ihr sagen.

Parallelogramm

Bei dieser Figur sind die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander. Diese Figur heißt Parallelogramm.

Trapez

Bei dieser Figur sind nur zwei Seiten zueinander parallel. Es können die Seiten a und c oder die Seiten a und c sein. In unserem Fall sind es die Seiten b und d, die parallel zueinander sind.

Diese Figur heißt Trapez. Ein Trapez heißt symmetrisches Trapez, wenn die zwei Seiten, die nicht parallel zueinander stehen, gleich lang sind.

Drachenviereck oder Drachen

Bei dieser Figur sind jeweils zwei Seiten gleich lang. Zudem sind zwei Winkel, die einander gegenüberliegen, gleich groß. In unserer Figur sind die Winkel beta und delta sowie alpha und gamma gleich groß.

Zudem sind die aneinanderstoßenden Seiten a und b beziehungsweise c und d gleich lang. Diese Figur heißt Drachenviereck oder kurz Drachen.

Allgemeines Viereck

Unsere Anfangsfigur hat keine parallelen Seiten und alle Seiten sind unterschiedlich lang. Dies ist ein allgemeines Viereck.

Alltagsbeispiele für Vierecke

Im Alltag begegnen dir sehr häufig die unterschiedlichen Vierecke. Du musst nur einmal darauf achten. Wenn du dir ein Fußballfeld anschaust, so ist das Spielfeld an sich schon ein Rechteck. Du erkennst, dass es vier rechte Winkel hat.

Dann haben wir noch den Fünfmeterraum und den Sechzehner, auch dies sind wieder Rechtecke. An der Zeichnung kannst du dies leicht erkennen.

Schau dir mal das Bild des Jägerzauns an. Die Latten bilden auch Vierecke, allerdings sind es keine Quadrate, da es keine rechten Winkel gibt. Alle Seiten sind gleich lang. Es müssen also Rauten sein.

Zusammenhänge zwischen den Vierecken

Zwischen unseren Figuren gibt es allerdings noch einige Zusammenhänge. Die erste Figur ist ein Parallelogramm. Die zweite Figur ist ein Rechteck. Beim Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander. Gilt das denn beim Rechteck auch? Ja, denn das Rechteck vier rechte Winkel hat. Das Parallelogramm muss hingegen keine rechten Winkel besitzen.

Wir können daraus folgern, dass jedes Rechteck auch ein Parallelogramm ist. Dies gilt allerdings nicht umgekehrt. Es gibt also Parallelogramme, die keine Rechtecke sind.

Wir wollen noch einen weiteren Zusammenhang betrachten: Die erste Figur ist ein Quadrat. Dies ist eine Raute. Bei beiden Figuren sind alle Seiten gleich lang. Aber es gibt dennoch einen Unterschied: Das Quadrat muss vier rechte Winkel haben, eine Raute muss keine vier rechten Winkel besitzen.

Jedes Quadrat ist deshalb gleichzeitig eine Raute. Dies gilt aber nicht umgekehrt. Es kann allerdings auch Rauten geben, die auch Quadrate sind. Dies ist dann der Fall, wenn die Raute vier rechte Winkel besitzt.

Es gibt noch viele weitere Zusammenhänge zwischen den Vierecksarten, die du noch kennenlernen wirst.

Zusammenfassung

Du hast nun die Eigenschaften von zahlreichen Vierecken kennengelernt. Auch hast du gesehen, dass Vierecke auch im Alltag vorkommen können. Das Problem von Lena und Sabine haben wir allerdings noch nicht lösen können.

Es ging darum, ob jedes Quadrat auch gleichzeitig ein Rechteck ist. Das behauptet zumindest Lena. Sabine ist vom Gegenteil überzeugt. Sie sagt: Jedes Rechteck ist ein Quadrat.

Wie unterscheiden sich die beiden elementaren Eigenschaften denn? Wir haben gelernt, dass beim Quadrat sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel sind rechtwinklig. Beim Rechteck sind alle Winkel sind rechte.

Es gibt also nur den Unterschied, dass beim Quadrat alle Seiten gleich lang sein müssen. Da dies beim Rechteck nicht der Fall sein muss, kann jedes Quadrat auch als Rechtecke bezeichnet werden. Lena hat also Recht. Jedes Quadrat ist gleichzeitig auch ein Rechteck.

So das war’s schon wieder für heute. Ich denke, dass du noch das ein oder andere Viereck in deiner Umgebung entdecken wirst. Jetzt kennst du ja auch den jeweieligen Namen des Vierecks.

Ich wünsche dir noch einen schönen Tag.

20 Kommentare

20 Kommentare
  1. Super

    Von Ginter Emili, vor mehr als einem Jahr
  2. Danke!

    Von Rdimsh, vor mehr als 2 Jahren
  3. Prima erklärt

    Von Annette S., vor mehr als 2 Jahren
  4. hat mir geholfen

    Von Manuela S., vor mehr als 2 Jahren
  5. Parallelogramm:Rhomboid

    Von Paul S., vor fast 3 Jahren
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Arten von Vierecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Arten von Vierecken kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, um welche Art eines Viereckes es sich jeweils handelt.

    Tipps

    Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel.

    Eine Raute hat vier gleich lange Seiten.

    Ein Viereck, dessen sich gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind, nennen wir Parallelogramm.

    Ein Viereck, das vier rechte Winkel hat, ist ein Rechteck.

    Lösung

    Ein Quadrat ist nicht abgebildet, denn es hat folgende Eigenschaften: Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Dafür sind folgende Vierecke vertreten:

    • Ein Viereck, das vier rechte Winkel hat, ist ein Rechteck.
    • Eine Raute hat vier gleich lange Seiten. Man kann auch Rhombus zu der Figur sein.
    • Ein Viereck, dessen sich gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind, nennen wir Parallelogramm.
    • Wenn es zwei gegenüberliegende Seiten in einem Viereck gibt, die zueinander parallel sind, so nennen wir die Figur Trapez. Es gibt ein allgemeines Trapez und ein symmetrisches Trapez. Bei einem symmetrischen Trapez können wir eine Symmetrieachse durch die Mittelpunkte der parallelen Seiten legen. Somit sind die beiden Seiten, die nicht parallel sind, gleich lang.
  • Gib die Definitionen unterschiedlicher Arten von Vierecken an.

    Tipps

    Überlege dir ganz genau, welche Definition auch wirklich nur für die jeweilige Figur gilt. Oftmals gelten in Teilen bestimmte Definitionen auch für mehrere Figuren. So gilt für das Quadrat beispielsweise, dass es vier rechte Winkel besitzt; aber das reicht noch nicht vollständig aus, um ein Quadrat zu definieren.

    Das ist ein Trapez.

    Das ist ein Parallelogramm.

    Lösung

    Es gibt unterschiedliche Arten von Vierecken. Ihre Gemeinsamkeiten bestehen darin, dass sie alle vier Eckpunkte und vier Seiten haben. In dieser Aufgabe sollen wir die Definitionen einiger Beispiele von Vierecken angeben. Diese sind wie folgt definiert:

    • Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel.
    • Eine Figur, die nur vier rechte Winkel hat, nennen wir Rechteck. Rechtecke müssen keine vier gleich lange Seiten besitzen.
    • Eine Raute hat vier gleich lange Seiten. Die Winkel müssen aber nicht alles rechte Winkel sein. Man kann auch Rhombus zu der Figur sagen.
    • Eine Figur, deren sich gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind, nennen wir Parallelogramm.
    • Wenn nur zwei sich gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind, nennen wir die Figur Trapez. Es gibt ein allgemeines Trapez und ein symmetrisches Trapez. Bei einem symmetrischen Trapez können wir eine Symmetrieachse durch die Mittelpunkte der parallelen Seiten legen. Somit sind die beiden Seiten, die nicht parallel sind, gleich lang.
    • Ein Drache hat jeweils zwei gleich lange Seiten und ein sich gegenüberliegendes Winkelpaar ist gleich groß.
  • Bestimme, um was für besondere Vierecke aus dem Alltag es sich jeweils handelt.

    Tipps

    Ein Viereck, dass vier rechte Winkel hat, ist ein Rechteck.

    Eine Raute hat vier gleich lange Seiten.

    Schaue dir beim Jägerzaun die Flächen zwischen den Holzlatten an. Was für ein Viereck siehst du dort?

    Lösung

    Uns begegnen im Alltag immer wieder verschiedene Arten von Vierecken. In dieser Aufgabe sollen wir unterschiedliche Figuren aus dem Alltag entweder dem Rechteck oder der Raute zuordnen.

    • Die Deckfläche eines Buches ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Also ein Rechteck.
    • Geldscheine sind ebenfalls rechteckig.
    • Die beiden Fenster, die wir auf dem Bild erkennen können, haben ebenfalls je vier rechte Winkel. Sie sind also jeweils ein Rechteck.
    Zu den Rauten gehören folgende Figuren aus dem Alltag:

    • Die Flagge von unserem Bundesland Bayern im Süden von Deutschland besteht aus ganz vielen blau-weißen Rauten.
    • Bei einem Jägerzaun können wir ebenfalls viele kleine Rauten finden. Durch die besondere Anordnung der Holzlatten entstehen viele kleine Zwischenräume, die Rauten darstellen.
  • Bestimme die Zusammenhänge verschiedener Vierecke.

    Tipps

    Ein Viereck, dass vier rechte Winkel hat, ist ein Rechteck.

    Eine Raute hat vier gleich lange Seiten.

    Eine Figur, deren sich gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind, nennen wir Parallelogramm.

    Ein Quadrat hat vier rechte Winkel und vier gleich lange Seiten.

    Beispiel: Ein Quadrat ist auch immer ein Parallelogramm, denn per Definition sind in einem Parallelogramm alle sich gegenüberliegenden Seiten parallel. Ein Quadrat hat vier rechte Winkel und somit sind auch in einem Quadrat alle sich gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel zueinander.

    Lösung

    Zwischen den unterschiedlichen Arten der Vierecke gibt es Zusammenhänge. In dieser Aufgabe sollen wir uns überlegen, welche Aussagen über die Vierecke wahr sind.

    • Jedes Rechteck ist auch ein Parallelogramm, denn in einem Parallelogramm sind die sich gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander, was genauso im Rechteck gegeben ist. Die Umkehrung gilt nicht. Nicht jedes Parallelogramm ist ein Rechteck, da ein Parallelogramm nicht zwingend vier rechte Winkel haben muss.
    • Jedes Quadrat ist auch eine Raute. Beide Figuren haben vier gleich lange Seiten. In einem Quadrat gibt es zudem vier rechte Winkel. Daher sind die sich gegenüberliegenden Seiten immer parallel zueinander. Die sich gegenüberliegenden Seiten in einer Raute sind ebenfalls parallel, die Winkel allerdings nicht zwingend $90^\circ$. Also gilt die Umkehrung, dass jede Raute auch ein Quadrat ist, nicht. Nur Rauten, deren Winkel alle $90^\circ$ betragen, sind auch Quadrate. Es gibt also besondere Rauten, die Quadrate sind.
    • Die Aussage, dass jedes Rechteck ein Quadrat ist, stimmt nicht. Die Umkehrung, dass jedes Quadrat ein Rechteck ist, stimmt. Die einzige Bedingung für ein Rechteck sind vier rechte Winkel. Das ist immer auch in einem Quadrat gegeben. Vier gleiche Seiten, die zusätzlich in einem Quadrat gegeben sein müssen, muss es im Rechteck nicht geben.
  • Beschrifte ein allgemeines Viereck.

    Tipps

    Die Eckpunkte werden mit Großbuchstaben beschriftet.

    Die Seiten werden mit den kleinen Buchstaben $a$, $b$, $c$ und $d$ bezeichnet.

    Ein Viereck besitzt vier Innenwinkel, die $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$ heißen.

    Grundsätzlich wird immer entgegen des Uhrzeigersinns beschriftet.

    Lösung

    Ein Viereck verfügt über vier Ecken.

    • Die Eckpunkte werden mit Großbuchstaben beschriftet. Wir können uns aussuchen, an welcher Ecke wir mit der Beschriftung anfangen. In unserem Beispiel ist die Ecke unten links mit $A$ beschriftet. Die Eckpunkte werden dann entgegen dem Uhrzeigersinn mit $B$, $C$ und $D$ beschriftet.
    • Das Viereck hat vier Seiten. Die Seiten werden mit den Kleinbuchstaben $a$, $b$, $c$ und $d$ bezeichnet. Die Seite $a$ verläuft von Eckpunkt $A$ zu Eckpunkt $B$. Die anderen Seiten werden auch entgegen dem Uhrzeigersinn beschriftet.
    • Ein Viereck besitzt vier Innenwinkel, die $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$ heißen. Der Winkel $\alpha$ liegt bei Eckpunkt $A$; die anderen Winkel werden auch wieder entgegen dem Uhrzeigersinn eingezeichnet.
    • Zudem hat ein Viereck zwei Diagonalen, die mit $e$ und $f$ bezeichnet werden. Die Diagonale $e$ verläuft von Eckpunkt $A$ zu Eckpunkt $C$. Die Diagonale $f$ verläuft von $D$ zu $B$.
    Das alles haben alle Vierecke gemeinsam.

  • Entscheide, auf welche Vierecke die jeweilige Aussage wirklich zutrifft.

    Tipps

    Ein Beispiel: In einem Parallelogramm sind nach Definition die sich gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel zueinander. Das trifft ebenfalls immer für Rechtecke zu. Hier sind alle Winkel $90^\circ$ und somit die sich gegenüberliegenden Seiten stets parallel zueinander. Also ist jedes Rechteck auch ein Parallelogramm.

    Ein Viereck, das vier rechte Winkel hat, ist ein Rechteck.

    Eine Raute hat vier gleich lange Seiten.

    Eine Figur, deren sich gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind, nennen wir Parallelogramm.

    Ein Quadrat hat vier rechte Winkel und vier gleich lange Seiten.

    Sind genau zwei sich gegenüberliegende Seiten in einem Viereck parallel zueinander, nennen wir die Figur Trapez.

    Lösung

    Die Zusammenhänge zwischen Vierecken sind auf dem ersten Blick gar nicht so einfach zu erkennen. Nur durch genaueres Betrachten der Definitionen können wir die Zusammenhänge erkennen.

    In einem Parallelogramm sind nach Definition die sich gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel zueinander. Das trifft ebenfalls für Rechtecke und Quadrate sowie Rauten zu, nicht jedoch für Drachen und Trapeze. Bei Drachen müssen keine Seiten parallel sein; bei einem Drachen muss nur ein Paar sich gegenüberliegender Seiten parallel sein.

    Die Definition von Trapezen besagt, dass nur zwei Seiten parallel zueinander sind. In Parallelogrammen und Rechtecken, Rauten sowie Quadraten sind immer die sich gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander. Es handelt sich also auch immer um Trapeze. Ein Drache kann nicht als Trapez bezeichnet werden.

    Die Definition eines Drachens besagt, dass jeweils zwei benachbarte Seiten gleich groß sind und ein sich gegenüberliegendes Winkelpaar gleich groß ist. Bei einer Raute und einem Quadrat sind diese Eigenschaften ebenfalls immer gegeben. Bei einem Trapez hingegen nicht. Sich gegenüberliegende Winkel müssen nicht gleich groß sein.

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