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Winkelsummen in Vierecken

Innenwinkelsummensatz, IWS, 180°

Was ist ein Viereck

Du kennst wahrscheinlich schon viele Arten von Vierecken: Quadrate, Rechtecke, Parallelogramme, Trapeze und noch viele mehr gehören dazu.

Alle Vierecke haben genau vier Ecken. Diese kannst du mit den Punkten $A$, $B$, $C$ und $D$ bezeichnen. Dabei fängst du bei der Ecke ganz links unten mit $A$ an und gehst gegen den Uhrzeigersinn weiter.

Verbindest du die Punkte mit geraden Linien nach dem Alphabet, erhältst du die Seiten des Vierecks. Jede Seite bekommt nun auch eine Bezeichnung. Die Seite zwischen dem Punkt $A$ und $B$ nennst du $a$. Auch hier gehst du nun gegen den Uhrzeigersinn vor, bis du bei der Seite $d$ angekommen bist.

Alle Vierecke haben also vier Ecken und vier Seiten. Außerdem haben sie genau vier Winkel, die innerhalb des Vierecks liegen. Diese werden Innenwinkel genannt. Sie werden gegen den Uhrzeigersinn mit griechischen Buchstaben bezeichnet.

Beliebiges Viereck

Rechnest du die Innenwinkel eines beliebigen Vierecks zusammen, kommst du immer auf denselben Wert!

Innenwinkelsummensatz (IWS)

Die Summe aller Innenwinkel eines Vierecks hat den Wert $360^\circ$.

Bei einem Rechteck kannst du das ganz leicht nachvollziehen. Alle vier Winkel sind bei einem Rechteck gleich. Es sind rechte Winkel, welche immer genau $90^\circ$ groß sind.

Rechteck

Rechnest du nun $4\cdot 90^\circ$ kommst du gerade auf $360^\circ$.

Wie sieht es aber mit anderen Vierecken aus? Wie verhalten sich zum Beispiel die Innenwinkel eines Parallelogramms? Es ist dem Rechteck ja ähnlich. Denn jeweils zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel zueinander. Doch die Winkel sind anders:

Parallelogramm

Die zwei Winkel $\alpha$ und $\beta$ geben gemeinsam $180^\circ$, weil sie Nebenwinkel sind. Das gilt auch für die Winkel $\gamma$ und $\delta$. Zweimal $180^\circ$ ergibt dann wieder $360^\circ$. Die Summe der Innenwinkel ist also auch bei Parallelogrammen immer $360^\circ$.

Was ist nun aber mit einem ganz beliebigen Viereck? Dafür sieh dir erstmal die Winkelsumme von Dreiecken an. Zeichne dafür eine zur Strecke $AB$ parallele Gerade $g$, die durch den Punkt $C$ geht:

Innenwinkel im Dreieck

Der Winkel $\alpha^\prime$ ist der Wechselwinkel zu $\alpha$ und damit sind beide Winkel gleich groß. Genauso ist es mit $\beta^\prime$ und $\beta$. Rechnest du die Winkel $\alpha^\prime$, $\beta^\prime$ und $\gamma$ zusammen, erhältst du $180^\circ$. Damit konntest du zeigen, dass die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks immer $180^\circ$ ist.

Aber nun zurück zum Viereck. Jedes Viereck kannst du in zwei Dreiecke aufteilen. Du zeichnest dafür einfach eine Diagonale ein. Also z.B. vom Punkt $A$ zum Punkt $C$. Zweimal die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ergibt dann $180^\circ \cdot 2$ wieder genau $360^\circ$.

Innenwinkelsumme Dreieck und Viereck

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