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Trigonometrische Funktionen

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Die Autor*innen
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Wolfgang Tews
Trigonometrische Funktionen
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Trigonometrische Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Trigonometrische Funktionen kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse dein Wissen über den Einheitskreis und die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens zusammen.

    Tipps

    Im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich der Sinus aus Gegenkathete durch Hypotenuse, der Kosinus aus Ankathete durch Hypotenuse und der Tangens aus Gegenkathete durch Ankathete.

    Welche farbige Strecke ist demnach welcher Winkelfunktion zuzuordnen? Der Radius ist am Einheitskreis definitionsgemäß gleich Eins.

    Wann werden die Winkelfunktionen in der Abbildung Null?

    Lösung

    Im Einheitskreis können die Winkelfunktionen wie folgt definiert und veranschaulicht werden.

    Der Sinus des Winkels $\alpha$ ergibt sich aus Gegenkathete durch Hypotenuse im kleinen rechtwinkligen Dreieck: $sin\alpha=\frac yr$. Die Hypotenuse entspricht dem Radius des Einheitskreises, ist also Eins. Daher ist der Sinus von $\alpha$ im Einheitskreis die gelb markierte Strecke, also $sin\alpha=y$. Es gilt damit im ersten Quadranten: $sin(0°)=0$ und $sin(90°)=1$.

    Der Kosinus des Winkels $\alpha$ ergibt sich aus Ankathete durch Hypotenuse im kleinen rechtwinkligen Dreieck: $cos\alpha=\frac xr$. Die Hypotenuse entspricht wieder dem Radius des Einheitskreises, ist also Eins. Daher ist der Kosinus von $\alpha$ im Einheitskreis die rot markierte Strecke, also $cos\alpha=x$. Es gilt damit im ersten Quadranten: $cos(0°)=1$ und $cos(90°)=0$.

    Der Tangens des Winkels $\alpha$ ergibt sich aus Gegenkathete durch Ankathete im großen rechtwinkligen Dreieck: $tan\alpha=\frac {\text {Gegenkathete}} {\text {Ankathete}}$. Die Ankathete entspricht hierbei dem Radius des Einheitskreises, ist also Eins. Daher ist der Tangens von $\alpha$ im Einheitskreis die blau markierte Strecke, also $tan\alpha=\text {Gegenkathete}$. Es gilt damit im ersten Quadranten: $tan(0°)=0$ und $tan(90°)=\text {n.d.}$, da der Nenner im Bruch nicht Null werden darf.

  • Beschreibe Lage und Aussehen der Funktionsgraphen von Sinus und Kosinus.

    Tipps

    Ordne die Funktionsgraphen der Sinus- und Kosinusfunktion zu, indem du dir die Lage der Maxima und Minima im ersten Quadranten (bis 90°) verdeutlichst.

    Ergänze dann die gegebenen Funktionswerte an den Stellen, wo Sinus und Kosinus minimal oder maximal werden.

    Ergänze die x-Achse um die Angaben im Bogenmaß. Die Angaben in Grad müssen durch $180°$ geteilt werden, um das Bogenmaß in Vielfachen von $\pi$ zu erhalten.

    Lösung

    Die Sinus- und Kosinusfunktion erkennt man an ihrem typischen wellenartigen Verlauf. Die Funktionswerte schwanken dabei periodisch zwischen +1 und -1.

    Um zu ermitteln, ob eine Sinus- oder Kosinusfunktion vorliegt, kannst du dir die Nulldurchgänge oder die Lage der Minima beziehungsweise Maxima anschauen: Die Kosinusfunktion erreicht zum Beispiel ihren maximalen Wert bereits bei 0° (und dann wieder bei 360°). Die Sinusfunktion hingegen erst bei 90°. Du kannst dich aber auch an der Lage der Nullstellen orientieren. Die nebenstehende Tabelle gibt noch einmal einen guten Überblick über die markanten Stellen der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion.

    Winkelfunktionen können sowohl ausgehend vom Gradmaß als auch mit Hilfe des Bogenmaßes beschrieben werden. Daher ist es gut, wenn du mit beiden Angaben vertraut bist. Um Gradzahlen in das Bogenmaß zu überführen, musst du sie durch 180° teilen. Dann erhältst du das Bogenmaß in Vielfachen der Kreiszahl Pi.

  • Erkläre exemplarisch das Verhalten der Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens in allen vier Quadranten des Einheitskreises.

    Tipps

    Stelle dir die Vergrößerung des Winkels und den Effekt auf die Funktionswerte jeder Funktion in den einzelnen Quadranten vor.

    Auf das Vorzeichen kannst du anhand der Pfeilrichtung schließen. Pfeile, die nach oben oder rechts zeigen, deuten auf positive Vorzeichen. Pfeile, die nach links oder unten zeigen, auf negative Vorzeichen.

    In der Abbildung siehst du die Funktionen von Sinus (gelb), Kosinus (rot) und Tangens (blau) im dritten Quadranten.

    Lösung

    In den genannten Beispielen ist der Tangens als Winkelfunktion gar nicht vertreten. Seine Funktionswerte schwanken nämlich zwischen plus unendlich und minus unendlich.

    Der rote Pfeil, also der Kosinus des Winkels, ist bei einem Winkel von 0° maximal. Mit zunehmendem Winkel im ersten Quadranten wird er immer kleiner und erreicht bei 90° den Wert Null. Seine Funktionswerte fallen demnach im ersten Quadranten von +1 auf 0. Sie sind positiv, weil der Pfeil nach rechts zeigt. Im vierten Quadranten hingegen steigen die Werte des Kosinus an: Er ist Null bei 270° und maximal wieder bei 360°. Die Funktionswerte steigen von 0 auf +1. Das Vorzeichen ist positiv, weil der Pfeil nach rechts zeigt.

    Der gelbe Pfeil, also der Sinus des Winkels, ist bei einem Winkel von 90° maximal. Mit zunehmendem Winkel im dritten Quadranten wird er immer größer und erreicht bei 270° den Wert -1. Seine Funktionswerte fallen demnach im dritten Quadranten von 0 auf -1. Sie sind negativ, weil der Pfeil nach unten zeigt. Im vierten Quadranten steigen die Werte des Sinus hingegen an: Er liegt bei -1 bei 270° und bei Null bei 360°. Die Funktionswerte steigen von -1 auf 0. Das Vorzeichen ist negativ, weil der Pfeil nach unten zeigt.

  • Erstelle eine Übersicht wichtiger Funktionswerte im ersten Quadranten von Sinus, Kosinus und Tangens im Grad- und Bogenmaß.

    Tipps

    $360°$ entsprechen $2\pi$.

    Beachte die richtige Einstellung am Taschenrechner (deg für Berechnungen des Winkel in Grad, rad für Berechnungen des Winkels im Bogenmaß).

    Lösung

    Mit dem Taschenrechner lassen sich beliebige Funktionswerte der Winkelfunktionen berechnen. Bei der Berechnung musst du aber unbedingt beachten, in welcher Form du deinen Winkel angibst.

    Willst du Winkelfunktionen berechnen, indem du Winkel im Gradmaß verwendest, musst du den Taschenrechner auf deg stellen. Verwendest du hingegen lieber Winkel im Bogenmaß, muss dein Taschenrechner auf rad stehen.

    Winkelangaben in Grad und Bogenmaß kannst du jederzeit über die Beziehung $360°$ entsprechen $2\pi$ umrechnen. Je nachdem, was dir mehr liegt. Bei den Winkelfunktionen in der Physik (zum Beispiel in der Physik der Schwingungen und Wellen) wirst du aber wahrscheinlich am häufigsten Angaben im Bogenmaß finden.

    Ein paar besondere Funktionswerte kennst du jetzt bestimmt auch schon aus dem Kopf und musst sie nicht jedes Mal mit dem Taschenrechner berechnen.

  • Gib an, wie die Winkelfunktionen am Einheitskreis definiert sind.

    Tipps

    Sinus- und Kosinusfunktion werden über das kleine rechtwinklige Dreieck definiert.

    Die Tangensfunktion wird über das große rechtwinklige Dreieck definiert.

    Der Sinus ist in der Abbildung gelb, der Kosinus rot und der Tangens blau dargestellt.

    Lösung

    Die Winkelfunktionen am Einheitskreis leiten sich über die allgemeinen Definitionen am rechtwinkligen Dreieck her.

    Am Einheitskreis wird durch den Einheitsradius der Ausdruck für die Winkelfunktionen dann noch einmal vereinfacht.

    So erhält man als Ergebnis die nebenstehende Abbildung.

  • Erschließe dir, was das Verschieben der Funktionsgraphen von Sinus und Kosinus bewirkt.

    Tipps

    Verschiebe gedanklich die Funktionsgrafen in der Abbildung.

    Lösung

    Die Periode der Sinus- und der Kosinusfunktion beträgt 360°. Addiert man diesen Wert bei beiden Funktionen zu einem beliebigen gegebenen Winkel hinzu, erhält man wieder denselben Funktionswert, wie bei dem gegebenen Winkel.

    Verschiebt man Sinus- und Kosinusfunktion um eine halbe Periode (180°), so erhält man die ursprünglichen Funktionswerte, aber mit umgekehrtem Vorzeichen.

    Die Grafen der Sinus- und die Kosinusfunktion können auch zur Deckung gebracht werden. Da der Kosinus dem Sinus vorauseilt, also früher sein Maximum erreicht, kann dazu entweder eine Viertelperiode (90°) zum Sinus addiert werden oder eine Dreiviertelperiode zum Kosinus (270°).