Winkelfunktionen und Einheitskreis

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Inhalt

Der Einheitskreis
Der Sinus am Einheitskreis
Der Cosinus am Einheitskreis
Der Tangens am Einheitskreis
Das Bogenmaß
Was sind Polarkoordinaten?

Beispiel 1
Beispiel 2

Der Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein spezieller Kreis. Der Radius des Einheitskreises ist $r=1$.

Mit Hilfe dieses Einheitskreises können die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus sowie Tangens erklärt werden.

In dem rechtwinkligen Dreieck ist der Radius $r$ die Hypotenuse. Somit ist

$\sin(x)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{r}=\text{Gegenkathete von }\alpha$,

$\cos(x)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{r}=\text{Ankathete von }\alpha$ und

$\tan(x)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$.

Der Sinus am Einheitskreis

Wenn du den Winkel $\alpha$ veränderst, verändert sich auch der zugehörige Sinuswert.

Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.
Für $\alpha=90^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=1$.
Für $\alpha=180^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.
Für $\alpha=270^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=-1$.
Für $\alpha=360^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.

Von nun an wiederholen sich die Sinuswerte. Dies wird als Periodizität bezeichnet.

Die Periodenlänge ist $360^\circ$. Das bedeutet, du kannst den Graph kopieren und rechts sowie links anhängen. Damit bekommst du den Verlauf der Sinusfunktion.
Der Definitionsbereich von Sinus ist $\mathbb{D}_{\sin}=\mathbb{R}$.
Der Wertebereich von Sinus ist $\mathbb{W}_{\sin}=[-1;1]$.
Die Nullstellen von Sinus sind die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.

Der Cosinus am Einheitskreis

Ebenso wie beim Sinus kannst du durch Veränderung von $\alpha$ verschiedene Cosinuswerte berechnen.

Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=1$.
Für $\alpha=90^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=0$.
Für $\alpha=180^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=-1$.
Für $\alpha=270^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=0$.
Für $\alpha=360^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=1$.

Auch die Cosinusfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge $360^\circ$.
Der Definitionsbereich von Cosinus ist $\mathbb{D}_{\cos}=\mathbb{R}$.
Der Wertebereich von Cosinus ist $\mathbb{W}_{\cos}=[-1;1]$.
Die Nullstellen von Cosinus sind gegeben durch $90^\circ$ plus die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.

Der Tangens am Einheitskreis

Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\tan(\alpha)=0$.
Für $\alpha=45^\circ$ erhältst du $\tan(\alpha)=1$.
Der Tangens ist nicht definiert für $90^\circ$ plus die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.
Der Wertebereich von Tangens ist $\mathbb{W}=\mathbb{R}$.
Der Tangens ist periodisch mit der Periodenlänge $180^\circ$.
Die Nullstellen des Tangens sind die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.

Das Bogenmaß

Bei den trigonometrischen Funktionen wird entweder das Winkelmaß oder das Bogenmaß verwendet. Dieses wird als Vielfaches der Kreiszahl $\pi=3,1415...$ dargestellt.

$0^\circ~\hat=~ 0$
$90^\circ~\hat=~ \frac{\pi}2$
$180^\circ~\hat=~\pi$
$270^\circ~\hat=~ \frac{3\pi}2$
$360^\circ~\hat=~ 2\pi$

Mit dem Bogenmaß kann die Periodizität der Kreisfunktionen wie folgt erklärt werden:

Sinus und Cosinus sind $2\pi$-periodisch und
Tangens $\pi$-periodisch.

Was sind Polarkoordinaten?

Ein Punkt in einem kartesischen Koordinatensystem hat eine x- sowie eine y-Koordinate: $P(x|y)$. Man kann jeden Punkt auch mit Polarkoordinaten darstellen.

Es gilt

$\cos(\varphi)=\frac xr$ oder, äquivalent dazu, $x=r\cdot \cos(\varphi)$.
$\sin(\varphi)=\frac yr$ oder, äquivalent dazu, $y=r\cdot \sin(\varphi)$.

Dabei ist $r=\sqrt{x^2+y^2}$.

Das bedeutet, dass zu jedem Punkt eindeutig ein $r$ sowie ein Winkel $\varphi$ gehören. Du kannst dann den Punkt auch in Polarkoordinaten schreiben: $P(r|\varphi)$.