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Winkelfunktionen und Einheitskreis

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Inhalt

  • Der Einheitskreis
  • Der Sinus am Einheitskreis
  • Der Cosinus am Einheitskreis
  • Der Tangens am Einheitskreis
  • Das Bogenmaß
  • Was sind Polarkoordinaten?
  • Der Einheitskreis

    Der Einheitskreis ist ein spezieller Kreis. Der Radius des Einheitskreises ist $r=1$.

    3111_Einheitskreis_2.jpg

    Mit Hilfe dieses Einheitskreises können die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus sowie Tangens erklärt werden.

    In dem rechtwinkligen Dreieck ist der Radius $r$ die Hypotenuse. Somit ist

    $\sin(x)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{r}=\text{Gegenkathete von }\alpha$,

    $\cos(x)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{r}=\text{Ankathete von }\alpha$ und

    $\tan(x)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$.

    Der Sinus am Einheitskreis

    1147_Sinus_Einheitskreis.jpg

    Wenn du den Winkel $\alpha$ veränderst, verändert sich auch der zugehörige Sinuswert.

    • Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.
    • Für $\alpha=90^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=1$.
    • Für $\alpha=180^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.
    • Für $\alpha=270^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=-1$.
    • Für $\alpha=360^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.

    3111_Sinus.jpg

    Von nun an wiederholen sich die Sinuswerte. Dies wird als Periodizität bezeichnet.

    • Die Periodenlänge ist $360^\circ$. Das bedeutet, du kannst den Graph kopieren und rechts sowie links anhängen. Damit bekommst du den Verlauf der Sinusfunktion.
    • Der Definitionsbereich von Sinus ist $\mathbb{D}_{\sin}=\mathbb{R}$.
    • Der Wertebereich von Sinus ist $\mathbb{W}_{\sin}=[-1;1]$.
    • Die Nullstellen von Sinus sind die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.

    Der Cosinus am Einheitskreis

    1147_Cosinus_Einheitskreis.jpg

    Ebenso wie beim Sinus kannst du durch Veränderung von $\alpha$ verschiedene Cosinuswerte berechnen.

    • Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=1$.
    • Für $\alpha=90^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=0$.
    • Für $\alpha=180^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=-1$.
    • Für $\alpha=270^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=0$.
    • Für $\alpha=360^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=1$.

    3111_Cosinus.jpg

    • Auch die Cosinusfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge $360^\circ$.
    • Der Definitionsbereich von Cosinus ist $\mathbb{D}_{\cos}=\mathbb{R}$.
    • Der Wertebereich von Cosinus ist $\mathbb{W}_{\cos}=[-1;1]$.
    • Die Nullstellen von Cosinus sind gegeben durch $90^\circ$ plus die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.

    Der Tangens am Einheitskreis

    1147_Tangens_Einheitskreis.jpg

    • Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\tan(\alpha)=0$.
    • Für $\alpha=45^\circ$ erhältst du $\tan(\alpha)=1$.
    • Der Tangens ist nicht definiert für $90^\circ$ plus die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.
    • Der Wertebereich von Tangens ist $\mathbb{W}=\mathbb{R}$.
    • Der Tangens ist periodisch mit der Periodenlänge $180^\circ$.
    • Die Nullstellen des Tangens sind die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.

    3111_Tangens.jpg

    Das Bogenmaß

    Bei den trigonometrischen Funktionen wird entweder das Winkelmaß oder das Bogenmaß verwendet. Dieses wird als Vielfaches der Kreiszahl $\pi=3,1415...$ dargestellt.

    • $0^\circ~\hat=~ 0$
    • $90^\circ~\hat=~ \frac{\pi}2$
    • $180^\circ~\hat=~\pi$
    • $270^\circ~\hat=~ \frac{3\pi}2$
    • $360^\circ~\hat=~ 2\pi$

    Mit dem Bogenmaß kann die Periodizität der Kreisfunktionen wie folgt erklärt werden:

    • Sinus und Cosinus sind $2\pi$-periodisch und
    • Tangens $\pi$-periodisch.

    Was sind Polarkoordinaten?

    Ein Punkt in einem kartesischen Koordinatensystem hat eine x- sowie eine y-Koordinate: $P(x|y)$. Man kann jeden Punkt auch mit Polarkoordinaten darstellen.

    3111_Polarkoordinaten.jpg

    Es gilt

    • $\cos(\varphi)=\frac xr$ oder, äquivalent dazu, $x=r\cdot \cos(\varphi)$.
    • $\sin(\varphi)=\frac yr$ oder, äquivalent dazu, $y=r\cdot \sin(\varphi)$.

    Dabei ist $r=\sqrt{x^2+y^2}$.

    Das bedeutet, dass zu jedem Punkt eindeutig ein $r$ sowie ein Winkel $\varphi$ gehören. Du kannst dann den Punkt auch in Polarkoordinaten schreiben: $P(r|\varphi)$.

    Beispiel 1

    Hier siehst du, wie du von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten umrechnen kannst.

    Für den Punkt $P(4|3)$ ist

    • $r=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ und
    • somit $\varphi=\cos^{-1}\left(\frac45\right)\approx36,9^\circ$.

    Die Darstellung des Punktes in Polarkoordinaten lautet dann $P(5|36,9^\circ)$.

    Beispiel 2

    Umgekehrt kannst du auch Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen.

    Für den Punkt $Q(\sqrt{8}|45^\circ)$ ist

    • $x=\sqrt8\cdot \cos(45^\circ)=2$ sowie
    • $y=\sqrt8\cdot \sin(45^\circ)=2$.

    Die Darstellung des Punktes in kartesischen Koordinaten lautet dann $Q(2|2)$.

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