Winkelfunktionen und Einheitskreis
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Inhalt
- Der Einheitskreis
- Der Sinus am Einheitskreis
- Der Cosinus am Einheitskreis
- Der Tangens am Einheitskreis
- Das Bogenmaß
- Was sind Polarkoordinaten?
- Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.
- Für $\alpha=90^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=1$.
- Für $\alpha=180^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.
- Für $\alpha=270^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=-1$.
- Für $\alpha=360^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.
- Die Periodenlänge ist $360^\circ$. Das bedeutet, du kannst den Graph kopieren und rechts sowie links anhängen. Damit bekommst du den Verlauf der Sinusfunktion.
- Der Definitionsbereich von Sinus ist $\mathbb{D}_{\sin}=\mathbb{R}$.
- Der Wertebereich von Sinus ist $\mathbb{W}_{\sin}=[-1;1]$.
- Die Nullstellen von Sinus sind die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.
- Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=1$.
- Für $\alpha=90^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=0$.
- Für $\alpha=180^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=-1$.
- Für $\alpha=270^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=0$.
- Für $\alpha=360^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=1$.
- Auch die Cosinusfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge $360^\circ$.
- Der Definitionsbereich von Cosinus ist $\mathbb{D}_{\cos}=\mathbb{R}$.
- Der Wertebereich von Cosinus ist $\mathbb{W}_{\cos}=[-1;1]$.
- Die Nullstellen von Cosinus sind gegeben durch $90^\circ$ plus die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.
- Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\tan(\alpha)=0$.
- Für $\alpha=45^\circ$ erhältst du $\tan(\alpha)=1$.
- Der Tangens ist nicht definiert für $90^\circ$ plus die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.
- Der Wertebereich von Tangens ist $\mathbb{W}=\mathbb{R}$.
- Der Tangens ist periodisch mit der Periodenlänge $180^\circ$.
- Die Nullstellen des Tangens sind die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.
- $0^\circ~\hat=~ 0$
- $90^\circ~\hat=~ \frac{\pi}2$
- $180^\circ~\hat=~\pi$
- $270^\circ~\hat=~ \frac{3\pi}2$
- $360^\circ~\hat=~ 2\pi$
- Sinus und Cosinus sind $2\pi$-periodisch und
- Tangens $\pi$-periodisch.
- $\cos(\varphi)=\frac xr$ oder, äquivalent dazu, $x=r\cdot \cos(\varphi)$.
- $\sin(\varphi)=\frac yr$ oder, äquivalent dazu, $y=r\cdot \sin(\varphi)$.
- $r=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ und
- somit $\varphi=\cos^{-1}\left(\frac45\right)\approx36,9^\circ$.
- $x=\sqrt8\cdot \cos(45^\circ)=2$ sowie
- $y=\sqrt8\cdot \sin(45^\circ)=2$.
Der Einheitskreis
Der Einheitskreis ist ein spezieller Kreis. Der Radius des Einheitskreises ist $r=1$.
Mit Hilfe dieses Einheitskreises können die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus sowie Tangens erklärt werden.
In dem rechtwinkligen Dreieck ist der Radius $r$ die Hypotenuse. Somit ist
$\sin(x)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{r}=\text{Gegenkathete von }\alpha$,
$\cos(x)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{r}=\text{Ankathete von }\alpha$ und
$\tan(x)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$.
Der Sinus am Einheitskreis
Wenn du den Winkel $\alpha$ veränderst, verändert sich auch der zugehörige Sinuswert.
Von nun an wiederholen sich die Sinuswerte. Dies wird als Periodizität bezeichnet.
Der Cosinus am Einheitskreis
Ebenso wie beim Sinus kannst du durch Veränderung von $\alpha$ verschiedene Cosinuswerte berechnen.
Der Tangens am Einheitskreis
Das Bogenmaß
Bei den trigonometrischen Funktionen wird entweder das Winkelmaß oder das Bogenmaß verwendet. Dieses wird als Vielfaches der Kreiszahl $\pi=3,1415...$ dargestellt.
Mit dem Bogenmaß kann die Periodizität der Kreisfunktionen wie folgt erklärt werden:
Was sind Polarkoordinaten?
Ein Punkt in einem kartesischen Koordinatensystem hat eine x- sowie eine y-Koordinate: $P(x|y)$. Man kann jeden Punkt auch mit Polarkoordinaten darstellen.
Es gilt
Dabei ist $r=\sqrt{x^2+y^2}$.
Das bedeutet, dass zu jedem Punkt eindeutig ein $r$ sowie ein Winkel $\varphi$ gehören. Du kannst dann den Punkt auch in Polarkoordinaten schreiben: $P(r|\varphi)$.
Beispiel 1
Hier siehst du, wie du von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten umrechnen kannst.
Für den Punkt $P(4|3)$ ist
Die Darstellung des Punktes in Polarkoordinaten lautet dann $P(5|36,9^\circ)$.
Beispiel 2
Umgekehrt kannst du auch Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen.
Für den Punkt $Q(\sqrt{8}|45^\circ)$ ist
Die Darstellung des Punktes in kartesischen Koordinaten lautet dann $Q(2|2)$.
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