30 Tage testen: Mehr Spaß am Lernen.
30 Tage risikofrei testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

30 Tage risikofrei testen

Der Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein spezieller Kreis. Der Radius des Einheitskreises ist $r=1$.

3111_Einheitskreis_2.jpg

Mit Hilfe dieses Einheitskreises können die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus sowie Tangens erklärt werden.

In dem rechtwinkligen Dreieck ist der Radius $r$ die Hypotenuse. Somit ist

$\sin(x)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{r}=\text{Gegenkathete von }\alpha$

$\cos(x)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{r}=\text{Ankathete von }\alpha$

$\tan(x)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$

Der Sinus am Einheitskreis

1147_Sinus_Einheitskreis.jpg

Wenn du den Winkel $\alpha$ veränderst, verändert sich auch der zugehörige Sinuswert.

  • Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.
  • Für $\alpha=90^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=1$.
  • Für $\alpha=180^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.
  • Für $\alpha=270^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=-1$.
  • Für $\alpha=360^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.

3111_Sinus.jpg

Von nun an wiederholen sich die Sinuswerte. Dies wird als Periodizität bezeichnet.

  • Die Periodenlänge ist $360^\circ$. Das bedeutet, du kannst den Graph kopieren und rechts sowie links anhängen. Damit bekommst du den Verlauf der Sinusfunktion.
  • Der Definitionsbereich von Sinus ist $\mathbb{D}_{\sin}=\mathbb{R}$.
  • Der Wertebereich von Sinus ist $\mathbb{W}_{\sin}=[-1;1]$.
  • Die Nullstellen von Sinus sind die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.

Der Cosinus am Einheitskreis

1147_Cosinus_Einheitskreis.jpg

Ebenso wie beim Sinus kannst du durch Veränderung von $\alpha$ verschiedene Cosinuswerte berechnen.

  • Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=1$.
  • Für $\alpha=90^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=0$.
  • Für $\alpha=180^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=-1$.
  • Für $\alpha=270^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=0$.
  • Für $\alpha=360^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=1$.

3111_Cosinus.jpg

  • Auch die Cosinusfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge $360^\circ$.
  • Der Definitionsbereich von Cosinus ist $\mathbb{D}_{\cos}=\mathbb{R}$.
  • Der Wertebereich von Cosinus ist $\mathbb{W}_{\cos}=[-1;1]$.
  • Die Nullstellen von Cosinus sind gegeben durch $90^\circ$ plus die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.

Der Tangens am Einheitskreis

1147_Tangens_Einheitskreis.jpg

  • Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\tan(\alpha)=0$.
  • Für $\alpha=45^\circ$ erhältst du $\tan(\alpha)=1$.
  • Der Tangens ist nicht definiert für $90^\circ$ plus die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.
  • Der Wertebereich von Tangens ist $\mathbb{W}=\mathbb{R}$.
  • Der Tangens ist periodisch mit der Periodenlänge $180^\circ$.
  • Die Nullstellen des Tangens sind die ganzzahlen Vielfachen von $180^\circ$.

3111_Tangens.jpg

Das Bogenmaß

Bei den trigonometrischen Funktionen wird entweder das Winkelmaß oder das Bogenmaß verwendet. Dieses wird als Vielfaches der Kreiszahl $\pi=3,1415...$ dargestellt.

  • $0^\circ~\hat=~ 0$
  • $90^\circ~\hat=~ \frac{\pi}2$
  • $180^\circ~\hat=~\pi$
  • $270^\circ~\hat=~ \frac{3\pi}2$
  • $360^\circ~\hat=~ 2\pi$

Mit dem Bogenmaß kann die Periodizität der Kreisfunktionen wie folgt erklärt werden:

  • Sinus und Cosinus sind $2\pi$-periodisch und
  • Tangens $\pi$-periodisch.

Was sind Polarkoordinaten?

Ein Punkt in einem kartesischen Koordinatensystem hat eine x- sowie eine y-Koordinate: $P(x|y)$. Man kann jeden Punkt auch mit Polarkoordinaten darstellen.

3111_Polarkoordinaten.jpg

Es gilt

  • $\cos(\varphi)=\frac xr$ oder, äquivalent dazu, $x=r\cdot \cos(\varphi)$.
  • $\sin(\varphi)=\frac yr$ oder, äquivalent dazu, $y=r\cdot \sin(\varphi)$.

Dabei ist $r=\sqrt{x^2+y^2}$.

Das bedeutet, dass zu jedem Punkt eindeutig ein $r$ sowie ein Winkel $\varphi$ gehören. Du kannst dann den Punkt auch in Polarkoordinaten schreiben: $P(r|\varphi)$.

Beispiel 1

Hier siehst du, wie du von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten umrechnen kannst.

Für den Punkt $P(4|3)$ ist

  • $r=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ und
  • somit $\varphi=\cos^{-1}\left(\frac45\right)\approx36,9^\circ$.

Die Darstellung des Punktes in Polarkoordinaten lautet dann $P(5|36,9^\circ)$.

Beispiel 2

Umgekehrt kannst du auch Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen.

Für den Punkt $Q(\sqrt{8}|45^\circ)$ ist

  • $x=\sqrt8\cdot \cos(45^\circ)=2$ sowie
  • $y=\sqrt8\cdot \sin(45^\circ)=2$.

Die Darstellung des Punktes in kartesischen Koordinaten lautet dann $Q(2|2)$.

Videos und Übungen in Winkelfunktionen und Einheitskreis

2 Videos

Arbeitsblätter zum Ausdrucken zum Thema Winkelfunktionen und Einheitskreis

Bf9a18fdbd93c181e3afd50ed7df9717 1 Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis Anzeigen Herunterladen
Vorschaubild Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Polarkoordinaten Anzeigen Herunterladen