Winkelfunktionen und Einheitskreis

Der Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein spezieller Kreis. Der Radius des Einheitskreises ist $r=1$.

Mit Hilfe dieses Einheitskreises können die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus sowie Tangens erklärt werden.

In dem rechtwinkligen Dreieck ist der Radius $r$ die Hypotenuse. Somit ist

$\sin(x)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{r}=\text{Gegenkathete von }\alpha$,

$\cos(x)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{r}=\text{Ankathete von }\alpha$ und

$\tan(x)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$.

Der Sinus am Einheitskreis

Wenn du den Winkel $\alpha$ veränderst, verändert sich auch der zugehörige Sinuswert.

• Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.
• Für $\alpha=90^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=1$.
• Für $\alpha=180^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.
• Für $\alpha=270^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=-1$.
• Für $\alpha=360^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.

Von nun an wiederholen sich die Sinuswerte. Dies wird als Periodizität bezeichnet.

• Die Periodenlänge ist $360^\circ$. Das bedeutet, du kannst den Graph kopieren und rechts sowie links anhängen. Damit bekommst du den Verlauf der Sinusfunktion.
• Der Definitionsbereich von Sinus ist $\mathbb{D}_{\sin}=\mathbb{R}$.
• Der Wertebereich von Sinus ist $\mathbb{W}_{\sin}=[-1;1]$.
• Die Nullstellen von Sinus sind die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.

Der Cosinus am Einheitskreis

Ebenso wie beim Sinus kannst du durch Veränderung von $\alpha$ verschiedene Cosinuswerte berechnen.

• Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=1$.
• Für $\alpha=90^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=0$.
• Für $\alpha=180^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=-1$.
• Für $\alpha=270^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=0$.
• Für $\alpha=360^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=1$.

• Auch die Cosinusfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge $360^\circ$.
• Der Definitionsbereich von Cosinus ist $\mathbb{D}_{\cos}=\mathbb{R}$.
• Der Wertebereich von Cosinus ist $\mathbb{W}_{\cos}=[-1;1]$.
• Die Nullstellen von Cosinus sind gegeben durch $90^\circ$ plus die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.

Der Tangens am Einheitskreis

• Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\tan(\alpha)=0$.
• Für $\alpha=45^\circ$ erhältst du $\tan(\alpha)=1$.
• Der Tangens ist nicht definiert für $90^\circ$ plus die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.
• Der Wertebereich von Tangens ist $\mathbb{W}=\mathbb{R}$.
• Der Tangens ist periodisch mit der Periodenlänge $180^\circ$.
• Die Nullstellen des Tangens sind die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.

Das Bogenmaß

Bei den trigonometrischen Funktionen wird entweder das Winkelmaß oder das Bogenmaß verwendet. Dieses wird als Vielfaches der Kreiszahl $\pi=3,1415...$ dargestellt.

• $0^\circ~\hat=~ 0$
• $90^\circ~\hat=~ \frac{\pi}2$
• $180^\circ~\hat=~\pi$
• $270^\circ~\hat=~ \frac{3\pi}2$
• $360^\circ~\hat=~ 2\pi$

Mit dem Bogenmaß kann die Periodizität der Kreisfunktionen wie folgt erklärt werden:

• Sinus und Cosinus sind $2\pi$-periodisch und
• Tangens $\pi$-periodisch.

Was sind Polarkoordinaten?

Ein Punkt in einem kartesischen Koordinatensystem hat eine x- sowie eine y-Koordinate: $P(x|y)$. Man kann jeden Punkt auch mit Polarkoordinaten darstellen.

Es gilt

• $\cos(\varphi)=\frac xr$ oder, äquivalent dazu, $x=r\cdot \cos(\varphi)$.
• $\sin(\varphi)=\frac yr$ oder, äquivalent dazu, $y=r\cdot \sin(\varphi)$.

Dabei ist $r=\sqrt{x^2+y^2}$.

Das bedeutet, dass zu jedem Punkt eindeutig ein $r$ sowie ein Winkel $\varphi$ gehören. Du kannst dann den Punkt auch in Polarkoordinaten schreiben: $P(r|\varphi)$.

Beispiel 1

Hier siehst du, wie du von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten umrechnen kannst.

Für den Punkt $P(4|3)$ ist

• $r=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ und
• somit $\varphi=\cos^{-1}\left(\frac45\right)\approx36,9^\circ$.

Die Darstellung des Punktes in Polarkoordinaten lautet dann $P(5|36,9^\circ)$.

Beispiel 2

Umgekehrt kannst du auch Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen.

Für den Punkt $Q(\sqrt{8}|45^\circ)$ ist

• $x=\sqrt8\cdot \cos(45^\circ)=2$ sowie
• $y=\sqrt8\cdot \sin(45^\circ)=2$.

Die Darstellung des Punktes in kartesischen Koordinaten lautet dann $Q(2|2)$.