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Brüche, Dezimalbrüche und Prozente ineinander umwandeln

Vier Fünftel deiner Klasse mögen Mathe: Wieviel Prozent sind dies? Kannst du diese Zahl als Dezimalzahl schreiben?

Brüche, Dezimalbrüche und Prozentzahlen

Was ist ein Bruch?

Was Brüche sind, kannst du dir gut an einem Beispiel klar machen. Paul liebt Erdbeerkuchen.

Kuchen.jpg

Er möchte diesen Kuchen mit sieben Freunden teilen. Er muss also den Kuchen gerecht auf insgesamt acht Personen aufteilen.

Jedes Stück ist ein Achtel des gesamten Kuchens. Dies kannst du als Bruch schreiben: $\frac18$

  • Der Strich in der Mitte ist der Bruchstrich. Er ersetzt das Divisionszeichen, also das Geteiltzeichen.
  • Die Zahl unter dem Bruchstrich ist der Nenner. Sie benennt den Bruch, hier zum Beispiel „Achtel“. Der Nenner gibt an, in wie viele Teile ein Ganzes geteilt wurde.
  • Die Zahl über dem Bruchstrich ist der Zähler. Sie gibt an, wie viele Teile des Ganzen jeder bekommt.

Übrigens: Einen solchen Bruch nennt man auch gemeinen Bruch.

Besondere Brüche sind die gemischten Brüche. Sie setzen sich aus einer natürlichen Zahl und einem Bruch zusammen. Zum Beispiel steht $3\frac12$ für $3$ Ganze und $1$ Halbes. Du kannst Brüche, in denen der Nenner größer ist als der Zähler, auch als gemischten Bruch darstellen:

$\frac{9}{2}=4\frac{1}{2}$

Was ist ein Dezimalbruch?

Dezimalbruch

Ein Dezimalbruch ist ein Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz, also zum Beispiel $10 $ (101 $), $ 100 $ ($102 $), $ 1000 $ ($ 103 ) usw., ist. Den Dezimalbruch kann man in Bruchschreibweise darstellen:

  • $\frac4{10}$ (vier Zehntel)
  • $\frac3{100}$ (drei Hundertstel)
  • $\frac7{1000}$ (sieben Tausendstel)

Den Dezimalbruch kann man aber auch in Kommaschreibweise angeben

  • $0,4$
  • $0,03$
  • $0,007$

Häufig wird der Dezimalbruch dann auch als Dezimalzahl oder Kommazahl bezeichnet.

Eine Dezimalbruch in Kommaschreibweise besteht aus Vorkommastellen, einem Komma und Nachkommastellen. Die Nachkommastellen sind von links nach rechts: die Zehntel, die Hundertstel, die Tausendstel, …

Umwandeln von Bruchschreibweise in Kommaschreibweise

Einen Dezimalbruch in Bruchschreibweise kannst du mit Hilfe des Stellenwertsystems in Kommaschreibweise darstellen. Dafür erweiterst du den Bruch so, dass im Nenner einer Zehnerpotenz steht: $\frac18=\frac{125}{1000}=\frac1{10}+\frac2{100}+\frac5{1000}=0,125$.

Umwandeln von Kommaschreibweise in Bruchschreibweise

  • Willst du eine endliche Dezimalzahl als Bruch schreiben, zählst du die Stellen hinter dem Komma, zum Beispiel 3.
  • Dann ist der Nenner des Bruches $10$ hoch die Anzahl der Nachkommastellen, also zum Beispiel 10 hoch 3, also 1000.
  • Beispiel: $23, 45$ besitzt 2 Nachkommastellen. Der Nenner ist also 102, also $100$, und der Zähler die gesamte Ziffernfolge ohne Komma, nämlich $2345$: $\frac{2345}{100}$.
  • Diesen Bruch kannst du noch kürzen: $\frac{2345}{100}= \frac{469}{20}$.
  • Übrigens kannst du diesen Bruch auch als gemischten Bruch schreiben, da der Zähler größer ist als der Nenner: $ 23\frac9{20}$

Was sind Prozentzahlen?

Das Wort „Prozent“ kommt aus dem Lateinischen und heißt übersetzt „für Hundert“ oder „pro Hundert“. Prozentangaben werden verwendet, Anteile an einem Ganzen besser vergleichbar zu machen, weil alle Prozente den gleichen Nenner, nämlich $100$, haben. Dabei werden die folgenden Größen verwendet:

  • der Grundwert $G$
  • der Prozentwert $W$ und
  • der Prozentsatz $p$% beziehungsweise die Prozentzahl $p$

Den Zusammenhang dieser Größen kann man durch diese Formel für die Prozentrechnung beschreiben:

$\frac{W}{G}=\frac{p}{100}$

Du kannst diese Formel umstellen je nachdem, welche Größe gesucht und welche Größen gegeben sind.

Brüche und Dezimalbrüche ineinander umwandeln

Umwandlung von Brüchen in Dezimalbrüche

Wir schauen uns das Einstiegsbeispiel mit dem Erdbeerkuchen noch einmal an: Wenn jeder der acht Freunde $\frac18$ des Kuchens bekommt, wie viel ist das als Dezimalbruch?

Hier musst du den Bruch erweitern, sodass im Nenner eine Zehnerpotenz steht. Denk daran: Beim Erweitern multiplizierst du sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der gleichen Zahl:

$\frac18=\frac{1\cdot 125}{8\cdot 125}=\frac{125}{1000}$

Allerdings kannst du nicht alle Brüche in Dezimalbrüche umwandeln. Das funktioniert nur bei solchen Brüchen, deren Nenner ein Teiler einer Zehnerpotenz ist.

Umwandlung von Dezimalbrüchen in Brüche

Einen Dezimalbruch kannst du immer unkompliziert in einen gemeinen Bruch umwandeln, indem du den Bruch kürzt. Erinnere dich: Dafür dividierst du den Zähler und den Nenner eines Bruches durch die gleiche Zahl.

$0,25=\frac{25}{100}=\frac{1\cdot 25}{4\cdot 25}=\frac{1}{4}$

Dezimalzahlen und Prozentzahlen ineinander umwandeln

Umwandlung von Dezimalzahlen in Prozentzahlen

Auch hier schauen wir uns noch einmal das Erdbeerkuchen-Beispiel an. Dieses Mal wollen wir wissen, wie viel Prozent des Kuchens jeder der Freude bekommt. Wir wissen bereits, dass jeder $\frac18=0,125$ bekommt.

Um Dezimalbrüche in Prozentzahlen umzuwandeln, multiplizierst du mit $100$. Anders ausgedrückt, verschiebst du das Komma um zwei Stellen nach rechts und schreibst hinter die so erhaltene Zahl das Prozentzeichen $\%$. Für das Kuchenbeispiel wäre das: $0,125=12,5~\%$.

Umwandeln von Prozentzahlen in Dezimalzahlen

Umgekehrt wandelst du Prozentzahlen in Dezimalzahlen um, indem du durch $100$ dividierst. Das bedeutet, du verschiebst das Komma um zwei Stellen nach links. Wenn die Prozentzahl kein Komma hat, kannst du ein Komma hinter der letzten Ziffer hinzufügen. Achtung: Bei dem Dezimalbruch verwendest du das Prozentzeichen nicht mehr:

  • $20~\%=20,0~\%=0,2$
  • $12,5~\%=0,125$
  • $67,5~\%=0,675$

Brüche und Prozentzahlen ineinander umwandeln

Umwandlung von Brüchen in Prozentzahlen

Willst du Brüche in Prozentzahlen umwandeln, gibt es zwei Möglichkeiten:

Lässt der Bruch sich als Dezimalbruch schreiben, weil du ihn zu einer Zehnerpotenz im Nenner erweitern kannst, dann kannst du ihn in Kommaschreibweise überführen. . Die Dezimalzahl kannst du dann wie bereits beschrieben in eine Prozentzahl umwandeln.

Was ist aber zu tun, wenn ein Bruch sich nicht ohne Weiteres als Dezimalbruch schreiben lässt, weil sein Nenner kein Teiler einer Zehnerpotenz ist? Dann teilst du Zähler durch Nenner, zum Beispiel mit Hilfe der schriftlichen Division, und wandelst dann in eine Prozentzahl um.

Dies schauen wir uns an dem Beispiel $\frac13$ an. Teilst du Zähler durch Nenner, kannst du diesen Bruch als periodische Dezimalzahl schreiben: $\frac13=0,\bar 3$. Dies kannst du nun in eine Prozentzahl umwandeln. Hierfür multiplizierst du mit $100$. Das bedeutet, dass das Komma um zwei Stellen nach rechts verschoben wird: $33,\bar 3~\%$.

Umwandeln von gemischten Brüchen in Prozentzahlen

Schauen wir uns noch am Beispiel $2\frac35$ an, wie ein gemischter Bruch in eine Prozentzahl umgewandelt werden kann. * Zunächst ist $2\frac35=\frac{10}5+\frac3{5}=\frac{13}5$. * Schreibe diesen Bruch als Dezimalbruch: $\frac{13}5=\frac{13\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{26}{10}$ * Nun kannst du den Dezimalbruch in Kommaschreibweise darstellen: $\frac{26}{10}=2,6$. * Zuletzt verschiebst du das Komma um zwei Stellen nach rechts: $2,6=260~\%$.

Umwandeln von Prozentzahlen in Brüche

Willst du nun eine Prozentzahl in einen Bruch umwandeln, zum Beispiel $80~\%$, kannst du folgendermaßen vorgehen:

  • Schreibe zunächst die Prozentzahl als Dezimalbruch mit dem Nenner $100$: $80~\%=\frac{80}{100}$.
  • Prüfe anschließend, ob du kürzen kannst, also ob Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben:$\frac{80}{100}=\frac{80:20}{100:20}=\frac45$.

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Arbeitsblätter im Thema

Brüche, Dezimalbrüche und Prozente ineinander umwandeln (2 Arbeitsblätter)