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Periodische und endliche Dezimalzahlen

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Team Digital
Periodische und endliche Dezimalzahlen
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Periodische und endliche Dezimalzahlen

Inhalt

Periodische und endliche Dezimalzahlen – Mathe

Die Unendlichkeit ist kaum vorstellbar und genau deshalb vermutlich so faszinierend. Auch in der Mathematik begegnen wir der Unendlichkeit immer wieder. So gibt es unendlich viele Zahlen. Aber auch eine einzige Zahl kann aus unendlich vielen Ziffern bestehen. Der Bruch $\frac{1}{3}$ ist ein Beispiel dafür. Als Dezimalzahl geschrieben, sind hinter dem Komma unendlich viele Dreien.

$\dfrac{1}{3} = 1,33333333333333…$

In diesem Text werden endliche und periodische Dezimalzahlen einfach erklärt.

Was sind endliche und periodische Dezimalzahlen? – Definition

Brüche können in Dezimalzahlen umgewandelt werden. Dezimalzahlen werden auch Dezimalbrüche oder Kommazahlen genannt. Betrachten wir den Bruch $\frac{1}{8}$. Wollen wir diesen Bruch als Dezimalzahl schreiben, so nutzen wir die schriftliche Division. Wir teilen den Zähler, also die $1$, durch den Nenner, also die $8$. Nach wenigen Rechenschritten haben wir so aus dem Bruch $\frac{1}{8}$ die Dezimalzahl $0,125$ erhalten.

Arbeitsbaltt periodische Dezimalbrüche Übungen

$\dfrac{1}{8} = 0,125$

Wir sprechen hier von einer endlichen Dezimalzahl, da wir nach endlich vielen Schritten das Endergebnis erhalten haben. Man nennt sie auch abbrechende Dezimalzahl. In diesem Beispiel endet die Dezimalzahl nach der dritten Nachkommastelle. Endliche Dezimalzahlen können aber auch länger oder kürzer sein.

Wie sieht es aber bei dem Bruch $\frac{1}{9}$ aus? Wieder können wir die schriftliche Division durchführen.

Was sind gemischt periodische Dezimalbrüche? Periodische Dezimalzahlen Aufgaben

Nach dem dritten Rechenschritt fällt auf, dass sich die Rechnung immer wiederholt. Egal, wie häufig wir diesen Rechenschritt wiederholen, es bleibt immer der Rest $1$. Wir erhalten also unendlich viele Einsen als Nachkommastellen. Dafür gibt es auch eine Kurzschreibweise. Es wird ein waagerechter Strich über der Ziffer gezogen, welche sich wiederholt. Durch den Überstrich wird deutlich, dass sich diese Ziffer immer wiederholt, ohne dass es ausgeschrieben werden muss.

$\dfrac{1}{9} = 0,\overline{1}$

  • Ausgesprochen wird es als null Komma Periode eins.

Es handelt sich hierbei um eine periodische Dezimalzahl. Das Wort periodisch leitet sich vom griechischen Wort „periodos“ ab und bedeutet so viel wie „Wiederholung“.

Die Periode kann auch aus einer Ziffernfolge, also mehreren Ziffern bestehen. Betrachten wir dafür den Bruch $\frac{2}{7}$. Als Dezimalzahl geschrieben, erhalten wir:

$\dfrac{2}{7} = 0,\overline{285714}$

Es handelt sich ebenfalls um eine periodische Dezimalzahl. Der Periodenstrich wird über alle Nachkommastellen geschrieben, welche zusammen die Periode bilden.

Rein periodische und gemischt periodische Dezimalzahlen

Beide bereits betrachteten Beispiele periodischer Dezimalzahlen waren rein periodisch. Die sich wiederholende Ziffernfolge beginnt bei diesen Zahlen direkt nach dem Komma. Das muss nicht immer der Fall sein.

Betrachten wir den folgenden Bruch:

$\dfrac{1}{6} = 0,1666...$

In diesem Fall schreiben wir den Periodenstrich nur über die $6$.

$\dfrac{1}{6} = 0,1\overline{6}$

  • Man spricht das als null Komma eins Periode sechs.

Kommazahlen, bei denen die Periode nicht direkt nach dem Komma beginnt, werden gemischt periodische Dezimalzahlen genannt. Es wird also auch zwischen rein periodischen und gemischt periodischen Dezimalzahlen unterschieden. Die Periode der periodischen Dezimalzahl kann demnach auch erst deutlich nach dem Komma beginnen.

Wie erkennt man endliche oder periodische Dezimalzahlen anhand des Bruchs?

Wie erkennt man, ob ein Bruch einer endlichen, einer rein periodischen oder einer gemischt periodischen Dezimalzahl entspricht? Um das herauszufinden, können wir die Primfaktorzerlegung nutzen.

Bei einer endlichen Dezimalzahl treten im Nenner eines vollständig gekürzten Bruchs nur die Primfaktoren $2$ und $5$ auf.

  • Betrachten wir das Beispiel $\frac{9}{20}$. Der Nenner $20$ lässt sich in die Primfaktoren $2 \cdot 2 \cdot 5$ zerlegen. Neben der $2$ und der $5$ gibt es also keine weiteren Primfaktoren. Die entsprechende Dezimalzahl ist endlich: $\frac{9}{20} = 0,45$

Bei den rein periodischen Dezimalzahlen treten die Zahlen $2$ und $5$ in der Primfaktorzerlegung gar nicht auf.

  • Der Nenner des Bruchs $\frac{11}{21}$ lässt sich in die Primfaktoren $3 \cdot 7$ zerlegen. Da weder eine $2$ noch eine $5$ in der Primfaktorzerlegung zu finden ist, ist die entsprechende Dezimalzahl rein periodisch: $\frac{11}{21} = 0,\overline{523809}$

Bei einer gemischt periodischen Dezimalzahl treten mindestens eine $2$ oder eine $5$ sowie mindestens eine andere Zahl in der Primfaktorzerlegung auf.

  • Bei dem Bruch $\frac{7}{15}$ lässt sich der Nenner in die Primfaktoren $3 \cdot 5$ zerlegen. Es handelt sich also um eine gemischt periodische Dezimalzahl: $\frac{7}{15} = 0,4\overline{6}$

Wichtig: Vor der Durchführung der Primfaktorzerlegung muss immer darauf geachtet werden, dass der Bruch vollständig gekürzt ist.

Die folgende Tabelle zeigt, welche Art der Dezimalzahlen welche Eigenschaften der Primfaktoren aufweist.

Was sind periodische Dezimalbrüche? Abbrechende und periodische Dezimalzahlen

Rechnen mit periodischen Dezimalzahlen

Aber wie rechnet man nun mit den periodischen Dezimalzahlen? Um periodische Dezimalzahlen zu addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren, eignet sich eine Möglichkeit am besten. Die einfachste Möglichkeit ist es, den periodischen Dezimalbruch in einen Bruch umzuwandeln. Dann können wir mit den Brüchen rechnen. Wollen wir das Ergebnis als Dezimalzahl angeben, so können wir den Bruch am Ende mithilfe der schriftlichen Division in einen Dezimalbruch umwandeln.

Endliche und periodische Dezimalzahlen – Zusammenfassung

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zum Thema endliche und periodische Dezimalzahlen zusammen.

  • Man unterscheidet zwischen endlichen und periodischen Dezimalzahlen.
  • Endliche Dezimalzahlen haben eine begrenzte Anzahl an Ziffern.
  • Periodische Dezimalzahlen sind unendlich lang und haben eine sich wiederholende Ziffernfolge oder eine sich wiederholende einzelne Ziffer.
  • Die Schreibweise für periodische Dezimalzahlen ist ein waagerechter Strich, der über die Ziffern geschrieben wird, welche sich wiederholen.
  • Periodische Dezimalzahlen werden zudem unterschieden in rein periodische und gemischt periodische Dezimalzahlen.
  • Bei rein periodischen Dezimalzahlen beginnt die Periode direkt nach dem Komma.
  • Bei gemischt periodischen Dezimalzahlen fängt die sich wiederholende Ziffernfolge nicht direkt hinter dem Komma an.
  • Um welchen Typ es sich bei der Dezimalzahl handelt, kann man an einem vollständig gekürzten Bruch erkennen. Dafür muss sein Nenner mithilfe der Primfaktorzerlegung untersucht werden.

Wenn du noch weitere Aufgaben zu endlichen und periodischen Dezimalzahlen suchst, so wirst du auf dieser Seite fündig. Hier findest du Arbeitsblätter und Übungen zum Thema endliche und periodische Dezimalzahlen.

Transkript Periodische und endliche Dezimalzahlen

Die Unendlichkeit Kaum vorstellbar und gerade deshalb so faszinierend! In der Mathematik begegnet uns die Unendlichkeit immer wieder. Du weißt bestimmt schon, dass es unendlich viele Zahlen gibt. Doch auch eine einzige Zahl kann aus unendlich vielen Ziffern bestehen! Zum Beispiel der Bruch ein Drittel. Schreiben wir diesen als Dezimalzahl aus, so hören wir gar nicht mehr auf zu schreiben! Was wohl dahinter steckt? Schauen wir uns „periodische und endliche Dezimalzahlen“ mal genauer an! Am besten fangen wir vorne an. Wir können Brüche in Dezimalzahlen, auch Dezimalbrüche oder Kommazahlen genannt, umwandeln. Zum Beispiel den Bruch ein Achtel. Dafür nutzen wir die schriftliche Division und teilen den Zähler durch den Nenner. So können wir ein Achtel in wenigen Rechenschritten in die Dezimalzahl 0,125 umwandeln. Da wir nach endlich vielen Rechenschritten das Endergebnis erhalten haben, sprechen wir hier von einer endlich beziehungsweise abbrechende Dezimalzahl. Sie endet nach der dritten Nachkommastelle. Doch wie sieht es aus, wenn wir den Bruch ein Neuntel, als Dezimalzahl angeben wollen? Wieder führen wir die schriftliche Division durch. Spätestens nach dem dritten Rechenschritt fällt uns allerdings auf, dass sich die Rechnungen immer wiederholen! Jedes Mal bleibt der Rest eins. Daher ist es egal, wie oft wir den Rechenschritt wiederholen, die nächste Nachkommastelle wird auch immer wieder eine eins sein. Wir haben also unendlich viele Einsen als Nachkommastellen. Dafür haben wir heute echt keine Zeit, wir haben schließlich nicht nur in Mathe Hausaufgaben. Zum Glück gibt es auch eine Kurzschreibweise. Wir schreiben einen waagerechten Strich über die Ziffer, die sich wiederholt. Dieser Überstrich verdeutlicht, dass sich die Ziffer immer wiederholt, ohne dass wir dies ausschreiben müssen. Wir lesen: „Null Komma Periode Eins“. Wir haben es in diesem Fall also mit einer periodischen Dezimalzahl zu tun. Das Wort Periode leitet sich von dem griechischen Wort „periodos“ ab und bedeutet so viel wie „Wiederholung“. Eine Periode kann auch aus mehreren Ziffern, also einer Ziffernfolge bestehen. Schauen wir uns zum Beispiel den Bruch zwei Siebtel an. Als Dezimalzahl geschrieben erhalten wir Null Komma Periode Zwei Acht Fünf Sieben Eins Vier. Also ebenfalls eine periodische Dezimalzahl. Pausiere das Video doch kurz und prüfe es selbst einmal nach, indem du schriftlich dividierst! Wir schreiben den Periodenstrich also über alle sechs Nachkommastellen, die zusammen die Periode bilden. Die beiden periodischen Dezimalzahlen, die wir bisher betrachtet haben waren reinperiodisch. Die sich wiederholende Ziffernfolge beginnt bei diesen Zahlen direkt nach dem Komma. Doch das ist nicht immer der Fall. Der Bruch ein Sechstel entspricht der Dezimalzahl 0,1666 und so weiter. Auch hier handelt es sich um eine periodische Dezimalzahl. Wir lesen allerdings nicht „Null Komma Periode Eins Sechs“, das würde der Zahl 0,161616 und so weiter entsprechen, sondern Null Komma Eins Periode Sechs. Kommazahlen, bei denen die Periode nicht direkt nach dem Komma beginnt, nennen wir gemischt-periodische Dezimalzahlen. Wir können also auch zwischen reinperiodischen und gemischt-periodischen Dezimalzahlen unterscheiden. Doch wie erkennen wir denn jetzt, ob ein Bruch einer endlichen, einer reinperiodischen oder einer gemischt-periodischen Dezimalzahl entspricht? Dabei hilft uns die Primfaktorzerlegung! Treten im Nenner eines vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren zwei und fünf auf, ist die entsprechende Dezimalzahl endlich. Schauen wir uns zum Beispiel den Bruch neun zwanzigstel an. Der Nenner zwanzig lässt sich in die Primfaktoren „zwei mal zwei mal fünf“ zerlegen. Neben den Zweien und der Fünf gibt es also keine weiteren Primfaktoren, und die entsprechende Dezimalzahl ist endlich. Bei den reinperiodischen Dezimalzahlen treten die Zahlen zwei und fünf in der Primfaktorzerlegung des Nenners hingegen gar nicht auf. Der Nenner des Bruches elf einundzwanzigstel lässt sich in die Primfaktoren „drei mal sieben“ zerlegen. Da hier weder eine zwei noch eine fünf in der Primfaktorzerlegung zu finden ist, ist die entsprechende Dezimalzahl reinperiodisch. Wie du siehst, beginnt die Periode direkt nach dem Komma. Was bleibt dann noch für die gemischt-periodischen Dezimalzahlen? Genau! Der Nenner eines entsprechenden Bruches setzt sich aus einer Primfaktorzerlegung zusammen, die mindestens eine zwei oder fünf und zusätzlich auch mindestens einen anderen Primfaktor enthält. So ist es beispielsweise bei dem Bruch sieben fünfzehntel. Hier lässt sich der Nenner in „drei mal fünf“ zerlegen also haben wir es mit einer gemischt-periodischen Dezimalzahl zu tun. Alles klar, bevor das hier noch immer so weitergeht, fassen wir lieber mal zusammen. Grundsätzlich können wir zwischen endlichen, also abbrechenden Dezimalzahlen auf der einen Seite und periodischen Dezimalzahlen auf der anderen Seite unterscheiden. Um periodische Dezimalzahlen schreiben zu können, nutzen wir einen waagerechten Strich, der über die sich wiederholende Ziffernfolge gezogen wird. Auch hier können wir allerdings noch einmal unterscheiden. Nämlich zwischen reinperiodischen Dezimalzahlen, bei denen die Periode direkt hinter dem Komma beginnt, und gemischt-periodischen Dezimalzahlen, bei denen die sich wiederholende Ziffernfolge nicht direkt hinter dem Komma anfängt. Um welchen Typ von Dezimalzahl es sich handelt, können wir einem vollständig gekürzten Bruch ansehen, indem wir seinen Nenner mit Hilfe der Primfaktorzerlegung untersuchen. Haben wir es mit einer periodischen Dezimalzahl zu tun, wird sich die entsprechende Periode immer wieder wiederholen! In diesem Sinne: Auf in die Unendlichkeit und noch viel, viel weiter!

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. Hab bald eine Arbeit hat mir sehr geholfen

    Von Jackie Lettau, vor 3 Tagen
  2. Gut erklärt.

    Von Amy, vor 8 Tagen
  3. Danke der Redner war auch gut.

    Von Belle, vor 2 Monaten
  4. Gut fand ich :)

    Von Renati ;), vor 2 Monaten
  5. wir hatten einen Homeschooling-Tag einlegen müssen und die Aufgaben in einer Anderen Plattform nicht richtig erklährt bekommen, aber jetzt habe ich es verstanden. DANKE! :-)

    Von Emilya July Schwarzer, vor 2 Monaten
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Periodische und endliche Dezimalzahlen Übung

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  • Entscheide, ob die Aussagen zu den Dezimalzahlen richtig sind.

    Tipps

    Beispiele für periodische Dezimalzahlen:

    $0,\overline{106}$
    $1,\overline{3}$
    $0,14\overline{2}$
    $23,\overline{9365}$

    Lösung

    Wir können Brüche in Dezimalzahlen, auch Dezimalbrüche oder Kommazahlen genannt, umwandeln. Dafür nutzen wir die schriftliche Division und teilen den Zähler durch den Nenner.

    Endliche Dezimalzahlen
    Ist die Division nach endlich vielen Schritten beendet, so ist das Ergebnis eine endliche, also abbrechende Dezimalzahl. Dies hat nichts damit zu tun, ob bei der Division ein Rest verbleibt. Dieser Rest bedeutet nur, dass das Ergebnis ein Komma enthält.
    Wir betrachten als Beispiel den Bruch $\frac{1}{8}$ und wandeln ihn um:

    $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&8&=&0,&1&2&5\\ \hline &1&0& \\ -&& 8\\ \hline && 2&0\\ -&& 1&6\\ \hline &&& 4&0\\ -&&&4&0\\ \hline &&&& 0\\ \end{array}$

    Das Ergebnis ist $0,125$, also ein abbrechender oder auch endlicher Dezimalbruch.

    Periodische Dezimalzahlen
    Ein periodischer Dezimalbruch besteht aus unendlich vielen Ziffern. Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft. Eine Periode kann also auch aus mehreren Ziffern bestehen. Um periodische Dezimalzahlen schreiben zu können, nutzen wir einen waagerechten Strich, der über die sich wiederholende Ziffernfolge gezogen wird.
    Wir schauen uns als Beispiel $\frac{1}{9}$ an. Wir wandeln den Bruch durch schriftliche Division in einen Dezimalbruch um:

    $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&9&=&0,&1&1&1\\ \hline &1&0& \\ -&& 9\\ \hline && 1&0\\ -&& &9\\ \hline &&& 1&0\\ -&&& &9\\ \hline &&&& 1\\ \end{array}$

    Wir erkennen, dass sich der Rest immer wiederholt. Das Ergebnis ist $0,11111.... = 0,\bar{1}$, also ein periodischer Dezimalbruch.

  • Gib an, welche Dezimalbrüche periodisch sind.

    Tipps

    Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich entweder direkt oder irgendwo nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft.

    Du kannst einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln, indem du den Zähler durch den Nenner dividierst.

    Bei endlichen Dezimalbrüchen treten im Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren $2$ und $5$ auf.

    Lösung

    Wir können Brüche in Dezimalzahlen, auch Dezimalbrüche oder Kommazahlen genannt, umwandeln. Dafür nutzen wir die schriftliche Division und teilen den Zähler durch den Nenner.

    Grundsätzlich können wir zwischen endlichen, also abbrechenden Dezimalzahlen und periodischen Dezimalzahlen unterscheiden. Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft. Um periodische Dezimalzahlen schreiben zu können, nutzen wir einen waagerechten Strich, der über die sich wiederholende Ziffernfolge gezogen wird.

    Für die Beispiele ergeben sich folgende Ergebnisse:

    $\frac{1}{3} = 0,3333... = 0,\bar{3}$ $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&3&=&0,&3&3&3...\\ \hline &1&0& \\ -&& 9\\ \hline && 1&0\\ -&& &9\\ \hline &&& 1&0\\ -&&& &9\\ \hline &&&& 1\\ \end{array}$ periodisch

    $\frac{1}{9} = 0,111111... = 0,\bar{1}$ $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&9&=&0,&1&1&1...\\ \hline &1&0& \\ -&& 9\\ \hline && 1&0\\ -&& &9\\ \hline &&& 1&0\\ -&&& &9\\ \hline &&&& 1\\ \end{array}$ periodisch

    $\frac{1}{6} = 0,1666... = 0,1\bar{6}$ $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&6&=&0,&1&6&6...\\ \hline &1&0& \\ -&& 6\\ \hline && 4&0\\ -&& 3&6\\ \hline &&& 4&0\\ -&&& 3&9\\ \hline &&&& 4\\ \end{array}$ periodisch

    $\frac{1}{8} = 0,125$ $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&8&=&0,&1&2&5\\ \hline &1&0& \\ -&& 8\\ \hline && 2&0\\ -&& 1&6\\ \hline &&& 4&0\\ -&&&4&0\\ \hline &&&& 0\\ \end{array}$ endlich

    $\frac{2}{5} = 0,4$ $\begin{array}{rrlllllll} &2&:&5&=&0,&4\\ \hline &2&0& \\ -&2& 0\\ \hline && 0& \end{array}$ endlich

    $\frac{3}{8} = 0,375$ $\begin{array}{rrlllllll} &3&:&8&=&0,&3&7&5\\ \hline &3&0& \\ -&2& 4\\ \hline && 6&0\\ -&& 5&6\\ \hline &&& 4&0\\ -&&&4&0\\ \hline &&&& 0\\ \end{array}$ endlich

    Alternativer Lösungsweg:
    Um zu entscheiden, ob es sich bei einem vollständig gekürzten Bruch um eine endliche oder periodische Dezimalzahl handelt, können wir auch die Primfaktorzerlegung im Nenner anwenden:

    • Bei endlichen Dezimalbrüchen treten im Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren $2$ und $5$ auf.
    • Bei periodischen Dezimalbrüchen tritt mindestens ein Primfaktor auf, der nicht $2$ oder $5$ ist.
    Wir betrachten so die Brüche:

    • $\frac{1}{3} \qquad$ Primfaktor im Nenner: $3 \quad \mapsto$ periodisch
    • $\frac{1}{8} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2} \qquad$ Primfaktor im Nenner: $2 \quad \mapsto$ nicht periodisch
    • $\frac{1}{9} = \frac{1}{3 \cdot 3}\qquad$ Primfaktor im Nenner: $3 \quad \mapsto$ periodisch
    • $\frac{1}{6} = \frac{1}{2 \cdot 3} \qquad$ Primfaktoren im Nenner: $2$ und $3 \quad \mapsto$ periodisch
    • $\frac{2}{5} \qquad$ Primfaktor im Nenner: $5 \quad \mapsto$ nicht periodisch
    • $\frac{3}{8} = \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot 2}\qquad$ Primfaktor im Nenner: $2 \quad \mapsto$ nicht periodisch
  • Formuliere die Zahl in Worten.

    Tipps

    Beispiel:

    $3,4\overline{6} \quad$ Drei Komma Vier Periode Sechs

    Die Periode wird vor der sich wiederholenden Ziffernfolge genannt. Jede Ziffer wird einzeln benannt.

    Lösung

    Periodische Dezimalzahlen
    Ein periodischer Dezimalbruch besteht aus unendlich vielen Ziffern. Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft. Um periodische Dezimalzahlen schreiben zu können, nutzen wir einen waagerechten Strich, der über die sich wiederholende Ziffernfolge gezogen wird. Wir sprechen dies wie folgt:

    • $0,\overline{106} \quad$ Null Komma Periode Eins Null Sechs
    • $0,1\overline{06} \quad$ Null Komma Eins Periode Null Sechs
    • $0,106 \quad$ Null Komma Eins Null Sechs
    • $0,10 \overline{6} \quad$ Null Komma Eins Null Periode Sechs
  • Stelle den Bruch als Dezimalzahl dar.

    Tipps

    Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, nutzen wir die schriftliche Division und teilen den Zähler durch den Nenner.

    $\frac{1}{8}= 1:8 = 0,125$

    Lösung

    Wir können Brüche in Dezimalzahlen, auch Dezimalbrüche oder Kommazahlen genannt, umwandeln. Dafür nutzen wir die schriftliche Division und teilen den Zähler durch den Nenner.

    Damit ergeben sich folgende Dezimalbrüche:

    Beispiel 1:
    $\frac{6}{11}=6:11=0,5454...=0,\overline{54}$
    Dies ist eine periodische Dezimalzahl.

    Beispiel 2:
    $\frac{5}{8}=5:8=0,625$
    Dies ist eine endliche Dezimalzahl.

    Beispiel 3:
    $\frac{4}{30}=4:30=0,1333...=0,1\overline{3}$
    Dies ist eine gemischt-periodische Dezimalzahl.

  • Beschreibe, wie man einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln kann.

    Tipps

    Beispiel: $\frac{1}{8}$

    $\begin{array}{rrlllllll} &1&:&8&=&0,&1&2&5\\ \hline &1&0& \\ -&& 8\\ \hline && 2&0\\ -&& 1&6\\ \hline &&& 4&0\\ -&&&4&0\\ \hline &&&& 0\\ \end{array}$

    Der Bruchstrich steht für ein Geteiltzeichen.

    Lösung

    Wir können Brüche in Dezimalzahlen, auch Dezimalbrüche oder Kommazahlen genannt, umwandeln. Dafür nutzen wir die schriftliche Division und teilen den Zähler durch den Nenner.

    Beispiel:
    Um den Bruch $\frac{2}{5}$ in eine Dezimalzahl umzuwandeln, rechnen wir $2:5$ und erhalten so $0,4$:
    $\begin{array}{rrlllllll} &2&:&5&=&0,&4\\ \hline &2&0& \\ -&2& 0\\ \hline && 0& \end{array}$

    Grundsätzlich können wir zwischen endlichen, also abbrechenden Dezimalzahlen und periodischen Dezimalzahlen unterscheiden. Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft. Um periodische Dezimalzahlen darstellen zu können, nutzen wir einen waagerechten Strich, der über der sich wiederholenden Ziffernfolge gezogen wird.

    • Beispiel für einen endlichen Dezimalbruch: $0,284$
    • Beispiel für einen periodischen Dezimalbruch: $0,\bar{3}$
  • Entscheide, ob die Zahl ein reinperiodischer, gemischt-periodischer oder ein endlicher Dezimalbruch ist.

    Tipps

    Bei endlichen Dezimalbrüchen treten im Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren $2$ und $5$ auf.

    $\frac{7}{30} = \frac{7}{2 \cdot 3 \cdot 5}$

    Lösung

    Grundsätzlich können wir zwischen endlichen, also abbrechenden Dezimalzahlen und periodischen Dezimalzahlen unterscheiden. Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Ziffernfolge unendlich oft.

    Bei periodischen Dezimalzahlen unterscheiden wir noch einmal zwischen reinperiodischen Dezimalzahlen, bei denen die Periode direkt hinter dem Komma beginnt, und gemischt-periodischen Dezimalzahlen, bei denen die Periode nicht direkt hinter dem Komma beginnt.

    Um zu entscheiden, ob es sich bei einem vollständig gekürzten Bruch um eine endliche, reinperiodische oder gemischt-periodische Dezimalzahl handelt, wenden wir die Primfaktorzerlegung im Nenner an:

    • Bei endlichen Dezimalbrüchen treten im Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren $2$ und $5$ auf.
    • Bei reinperiodischen Dezimalbrüchen treten die Zahlen $2$ und $5$ in der Primfaktorzerlegung des Nenners gar nicht auf.
    • Bei gemischt-periodischen Dezimalbrüchen enthält die Primfaktorzerlegung des Nenners mindestens eine $2$ oder $5$ und zusätzlich auch mindestens einen anderen Primfaktor.
    Somit ergeben sich folgende Zuordnungen:

    Endliche Dezimalzahlen:

    • $\frac{1}{125} = \frac{1}{5 \cdot 5 \cdot 5}$
    • $\frac{3}{20} = \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot 5}$

    Reinperiodische Dezimalzahlen:

    • $\frac{1}{21} = \frac{1}{3 \cdot 7}$
    • $\frac{13}{33} = \frac{13}{3 \cdot 11}$

    Gemischt-periodische Dezimalzahlen:

    • $\frac{3}{14} = \frac{3}{2 \cdot 7}$
    • $\frac{7}{30} = \frac{7}{2 \cdot 3 \cdot 5}$
    • $\frac{23}{105} = \frac{23}{3 \cdot 5 \cdot 7}$
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