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Grundrechenarten – Zusammenfassung

Plus, addieren, Summand, Summe, Minus, subtrahieren, Differenz, Mal, multiplizieren, Faktor, Produkt, geteilt, dividieren, Quotient

Die vier Grundrechenarten

In der Mathematik haben Rechnungen einen Namen.

Wir betrachten im Folgenden die vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, ordnen diesen die Operationszeichen in Form von mathematischen Symbolen zu und klären die Fachbegriffe.

vier Grundrechenarten

Addition

Alle Rechenarten basieren auf der Addition. Sie ist die einfachste Rechenart und Grundlage der gesamten Mathematik.

Fachbegriffe und Symbole der Addition

Der Fachbegriff addieren leitet sich von dem lateinischen Wort "addere" ab, was "hinzufügen" bedeutet. Das Operationszeichen ist das Pluszeichen ($+$).

Um uns die Addition besser vorstellen zu können, betrachten wir nun folgendes Beispiel:

In Lisas Sparschwein befinden sich $25 €$. Sie steckt noch einen $5 €$-Schein hinein. Wie viel Euro hat Lisa nun in ihren Sparschwein?

Sparschwein_addition.jpg

Dieses Beispiel können wir wie folgt in Form einer Additionsaufgabe ausdrücken:

$\underbrace{25}_{\text{Summand}} + \underbrace{5}_{\text{Summand}} = \underbrace{30}_{\text{Summe}}$

Diese können wir nun unterschiedlich formulieren:

  • $25$ plus $5$ gleich $30$.
  • Ich addiere zur Zahl $25$ die Zahl $5$ und das Ergebnis ist $30$.
  • Zum ersten Summanden $25$ addiere ich den zweiten Summanden $5$ und erhalte die Summe $30$.

Addieren mit Null

Ist eine von zwei Summanden Null, so entspricht die Summe dem zweiten Summanden: $7 + 0 = 7$

Subtraktion

Die Subtraktion gehört wie die Addition zu den Strichrechenarten. Beide Rechenarten sind eng miteinander verknüpft, da die Subtraktion als Umkehrrechnung zur Addition gesehen werden kann:

  • $4 + 5 = 9~\rightarrow$ Addition
  • $9 - 5 = 4~\rightarrow$ Subtraktion

Fachbegriffe und Symbole der Subtraktion

Der Fachbegriff subtrahieren leitet sich von dem lateinischen Wort "subtrahere" ab, was "entfernen" bedeutet. Das Operationszeichen ist das Minuszeichen ($-$).

Auch hier soll ein Beispiel dabei helfen, uns die Subtraktion besser vorstellen zu können:

In Lisas Sparschwein befinden sich $30 €$. Sie nimmt $6 €$ heraus, um ihren Freundinnen Eis zu spendieren. Wie viel Euro hat sie nun noch in ihrem Sparschwein?

Sparschwein_Subtraktion.jpg

Wir betrachten also folgende Subtraktionsaufgabe:

$\underbrace{30}_{\text{Minuend}} - \underbrace{6}_{\text{Subtrahend}} = \underbrace{24}_{\text{Differenz}}$

Diese können wir wie folgt formulieren:

  • $30$ minus $6$ gleich $24$.
  • Ich subtrahiere von der Zahl $30$ die Zahl $6$, das Ergebnis ist $24$.
  • Vom Minuenden $30$ ziehe ich den Subtrahenden $6$ ab und erhalte die Differenz $24$.

Subtraktion mit Null

Ist der Subtrahend Null so entspricht die Differenz dem Minuenden:

$7 + 0 = 7$

Sind Minuend und Subtrahend gleich, so ist die Differenz Null: $7 - 7 =0$

Multiplikation

Die Multiplikation ist die abkürzende Schreibweise für die mehrfache Addition desselben Summanden:

$2 + 2 + 2 = 3\cdot 2 = 6$

Fachbegriffe und Symbole der Multiplikation

Der Fachbegriff multiplizieren leitet sich von dem lateinischen Wort "multiplicare" ab, was "vervielfachen" bedeutet. Das Operationszeichen ist das Malzeichen ($\cdot$). Aber auf dem Taschenrechner befindet sich auf der Multiplikationstaste das Symbol x.

Auch hierzu sehen wir uns im Folgenden ein Rechenbeispiel an:

Lisa bekommt pro Monat $10 €$ Taschengeld. Wie viel hat sie in $6$ Monaten gespart?

10_euro.jpg

Die zugehörige Multiplikationsaufgabe lautet:

$\underbrace{6}_{\text{Faktor}}\cdot \underbrace{10}_{\text{Faktor}} = \underbrace{60}_{\text{Produkt}}$

Diese Aufgabe können wir wie folgt formulieren:

  • $10$ mal $6$ gleich $60$.
  • Ich multipliziere die Zahl $10$ mit der Zahl $6$, das Ergebnis ist $60$.
  • Den ersten Faktor $10$ multipliziere ich mit dem zweiten Faktor $6$ und erhalte das Produkt $60$.

Multiplikation mit Null

Gibt es in einem Produkt einen Faktor, der Null ist, so ist auch das Produkt Null:

$3\cdot 0 = 0$

Divsion

Die Division zählt wie die Multiplikation zu den Punktrechenarten.

Fachbegriffe und Symbole der Division

Der Fachbegriff dividieren leitet sich von dem lateinischen Wort "dividere" ab, was "teilen" bedeutet. Das Operationszeichen ist das Geteiltzeichen ($:$). Aber auf dem Taschenrechner findet man auf der Divisionstaste das Symbol $\div$.

Es folgt ein Beispiel zur Division:

In vier Wochen bekommt Lisa insgesamt $20 €$ Taschengeld. Wie viel Euro bekommt sie pro Woche?

20_euro.jpg

Wir stellen die zugehörige Divisionsaufgabe wie folgt auf:

$\underbrace{20}_{\text{Dividend}} : \underbrace{4}_{\text{Divisor}} = \underbrace{5}_{\text{Quotient}}$

Diese Aufgabe können wir nun unterschiedlich formulieren:

  • $20$ geteilt durch $4$ gleich $5$
  • Ich dividiere die Zahl $20$ durch die Zahl $4$, das Ergebnis ist $5$.
  • Der Dividend $20$ dividiert durch den Divisor $4$ ergibt den Quotienten $5$.

Dividieren mit Null

Wir der Dividend Null durch einen beliebigen Divisor geteilt, so ist der Quotient stets Null.

$0: 8 = 0$

Der Divisor darf niemals gleich Null sein, denn man darf nicht durch Null teilen.

Dividieren mit Rest

Im Bereich der natürlichen Zahlen ist die Division nicht uneingeschränkt durchführbar. Denn nicht bei allen Zahlen geht das Teilen glatt auf, es bleibt ein Rest: $11:4 = 2$ Rest $3$

Rechenregeln

Wenn man mit den vier Grundrechenarten rechnet, muss man bestimmte Regeln beachten. Diese werden nachfolgend anhand von Beispielsaufgaben erklärt.

Klammerregel

Befinden sich in einem Rechenausdruck Klammern, so werden diese zuerst berechnet:

$\begin{array}{III} (4500 + 400):700 &=& 4900:700 \\ &=& 7 \end{array}$

Punkt- vor Strichrechnung

Es wird immer zuerst die Punktrechnung ($\cdot$ und $:$) vor der Strichrechnung ($+$ und $-$) ausgeführt:

$\begin{array}{III} 64000:8000 + 90012 &=& 8+90012 \\ &=& 90020 \end{array}$

Kombination der Regeln

Treten in einer Rechnung beide Regeln auf, so wird zuerst die Klammerregel und anschließend die Punkt- vor Strich-Regel beachtet:

$\begin{array}{III} (300 + 600)\cdot (700 - 400)-10000 &=& 900\cdot 300 -10000\\ &=& 270000-10000 \\ &=& 260000 \end{array}$