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Was ist ein Bruch?

Die Bedeutung von Brüchen kannst du dir am besten an einem Beispiel klar machen. Hier siehst du einen Apfel. Die drei Freunde Monika, Marvin und Leon teilen diesen in gleich große Stücke.

2994_Apfel.jpg

Jedes Stück entspricht dann einem Drittel des Apfels. Mathematisch drückst du das so aus:

912_Bruch_1.jpg

Ein (gemeiner) Bruch setzt sich immer aus drei Bestandteilen zusammen:

  • Die untere der beiden Zahlen ist der Nenner. Diese Zahl „benennt“ den Bruch und gibt an, in wie viele Teile etwas aufgeteilt wurde. Für das Apfelbeispiel ist der Nenner deshalb $3$.
  • Der Strich über dem Nenner ist der Bruchstrich. Er ist gleichbedeutend mit dem Divisionszeichen $(:)$.
  • Die obere der beiden Zahlen ist der sogenannte Zähler. Der Zähler gibt an, wieviele Teile (bezogen auf den Nenner) gerade betrachtet werden. Für jedes Stück des Apfelbeispiels ist der Zähler also $1$.

Alle Stücke zusammen sind als Bruch ausgedrückt also $\frac{3}{3}$. Da diese drei Stücke wieder den gesamten Apfel ergeben gilt $\frac{3}{3} = 1$. Außerdem weißt du aus der Division schon, dass $3:3 = 1$ gilt.

Gemeine Brüche

Ein Bruch wie $\frac13$ wird auch als gemeiner Bruch bezeichnet. Das bedeutet nicht, dass der Bruch ausgesprochen unsympathisch ist, sondern dass dies die allgemeine Schreibweise ist: Zähler durch Nenner.

Gemischte Brüche

Gemischte Brüche setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem gemeinen Bruch zusammen. Hier siehst du eine andere Darstellung für Brüche. Dabei gilt die Festlegung, dass ein roter Balken dem Bruch $\frac{1}{3}$ entspricht:

2994_gemischter_Bruch_anschaulich.jpg

Drei solcher Rechtecke sind also drei Drittel. Das ist ein Ganzes. Im Bild sind immer drei Drittel zu einem Ganzen gebündelt.

Insgesamt siehst du hier drei Ganze und ein Drittel.

Das kannst du mit Hilfe der Summe $3 + \frac13$ ausdrücken. Ein gemischter Bruch drückt eine solche Summe aus. Man hat sich aber darauf geeinigt das $+$-Zeichen nicht aufzuschreiben. Der gemischt Bruch lautet also:

$3\frac{1}{3}$

Was ist ein Dezimalbruch?

Der Begriff Dezimalbruch ist in der Mathematik leider nicht einheitlich definiert. In diesem Text wird eine der möglichen Definitionen vorgestellt.

Ein Dezimalbruch oder Zehnerbruch ist ein spezieller Bruch. Bei diesem steht im Nenner eine Zehnerpotenz. Was ist denn das?

Eine Zehnerpotenz ist eine Potenz, bei der die Zahl $10$ in der Basis steht. Allgemein kann man das so ausdrücken: $10^n$. Bei Dezimalbrüchen ist $n$ eine natürliche Zahl $(n \ge 1)$. Hier siehst du einige Beispiele für Zehnerpotenzen:

$\begin{array}{cccc} 10^1&=&10&~&10^4&=&10000&~\\ 10^2&=&100&~&10^5&=&100000&~\\ 10^3&=&1000 &~&10^6&=&1000000&~ \end{array}$

Eine Zehnerpotenz $10^n$ ist also eine $1$ mit $n$ Nullen.

Ein solcher Dezimalbruch lässt sich gut als Dezimalzahl schreiben. Hierfür verwendest du das Stellenwertsystem. Ein Beispiel:

$\frac2{100}=0,02$

Die zweite Stelle hinter dem Komma wird als Hundertstel bezeichnet.

Nun wollen wir uns anschauen, wie gemeine oder gemischte Brüche in Dezimalzahlen umgewandelt werden.

Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Umwandeln von gemeinen Brüchen in Dezimalzahlen

Hier siehst du, wie du den den Bruch $\frac12$ als Dezimalzahl ausdrücktst:

Im ersten Schritt wandelst du $\frac12$ dazu in einen Dezimalbruch um. Dazu erweiterst du den Bruch so, dass im Nenner eine Zehnerpotenz steht. Erweitern ist dabei ein Vorgang, bei dem du Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multiplizierst. Eine Möglichkeit, um auf einen Dezimalbruch zu kommen, ist für dieses Beispiel den Bruch mit $5$ zu erweitern:

$\frac{1}{2} = \frac{1\cdot 5}{2\cdot 5} = \frac{5}{10}$

Diesen Dezimalbruch kannst du nun in eine Dezimalzahl umwandeln. Diese ist $0,5$.

Wir üben das Umwandeln von gemeinen Brüchen in Dezimalzahlen an weiteren Beispielen:

  • $\frac18=\frac{1\cdot 125}{8\cdot 125}=\frac{125}{1000}=0,125$
  • $\frac1{25}=\frac{1\cdot 4}{25\cdot 4}=\frac{4}{100}=0,04$

Umwandeln von gemischten Brüchen in Dezimalzahlen

Hier siehst du nun, wie du die Umwandlung von gemischten Brüchen in Dezimalzahlen vornimmst. Schau dir dafür den gemischten Bruch $2\frac12$ an.

Zunächst wandelst du diesen in einen gemeinen Bruch um. $2\frac12$ sind zwei Ganze und ein Halbes. Zwei Ganze sind das gleiche wie vier Halbe, also schreiben wir:

$2\frac12=\frac42+\frac12=\frac52$

Nun kannst du so weiter machen wie bei gemeinen Brüchen:

$\frac52=\frac{5\cdot 5}{2\cdot 5}=\frac{25}{10}=2,5$

Periodische Brüche

Vielleicht bist du schon einmal über den Bruch $\frac13$ gestolpert. Der Bruch $\frac13$ lässt sich nicht durch Erweitern in einen Dezimalbruch umwandeln. Hier musst du schriftlich dividieren:

$\frac13=1:3=0,3333...=0,\overline{3}$

Eine solche Dezimalzahl wird auch periodische Dezimalzahl genannt.

Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Umgekehrt kannst du auch Dezimalzahlen in Brüche umwandeln.

Dezimalzahlen kleiner als $1$

Wir schauen uns zuerst abbrechende Dezimalzahlen an, die kleiner als $1$ sind. Abbrechende Dezimalzahlen sind Dezimalzahlen, die eine begrenzte Anzahl von Nachkommastellen haben. Beispiele sind $0,3$ oder $0,75$ oder $0,12$.

Du schreibst die Dezimalzahl immer zuerst als Zehnerbruch. Dazu untersuchen wir, wie viele Nachkommastellen unsere Zahl besitzt: Genauso viele Nullen hat dann die Zehnerpotenz im Nenner unseres Zehnerbruchs. Die Ziffern der Dezimalzahl können wir direkt in den Zähler übertragen.

Das üben wir an zwei Beispielen:

Die Dezimalzahl $0,3$ hat eine Nachkommastelle. Die Zehnerpotenz im Nenner hat also eine $0$. Wenn wir nun die Ziffern aus der Dezimalzahl in den Zehnerbruch übertragen, erhalten wir $0,3=\frac3{10}$. Diesen Bruch kannst du nicht vereinfachen.

$0,75$ hat zwei Nachkommastellen. Die letzte Nachkommastelle beschreibt die Hundertstel; entsprechend stehen im Nenner unseres Bruchs Hundertstel. Die beiden Nachkommastellen können wir einfach in den Zähler übertragen:

$0,75=\frac{75}{100}=\frac{75:25}{100:25}=\frac34$

Im zweiten Schritt haben wir mit $25$ gekürzt.

Dezimalzahlen größer als $1$

Eine abbrechende Dezimalzahl, die größer als $1$ ist, lässt sich als gemischter Bruch schreiben. Du schreibst die Dezimalzahl erst einmal als gemeinen Bruch und wandelst diesen dann in einen gemischten Bruch um.

Das üben wir einmal mit der Dezimalzahl $3,5$:

$3,5=\frac{35}{10}=\frac{35:5}{10:5}=\frac72$

Der Bruch $\frac72$ lässt sich so schreiben:

$\frac72=\frac62+\frac12=3+\frac12=3\frac12$

Periodische Dezimalzahlen

Nun bleiben noch die periodischen Dezimalzahlen. Dabei bezieht sich diese Anleitung nur auf sogenannte reinperiodische Dezimalzahlen. Das sind solche, bei denen die Periode direkt hinter dem Komma startet.

Wenn du eine periodische Zahl als Bruch schreiben möchtest, gehst du wie folgt vor:

  • Schreibe in den Zähler die Ziffern der Periode.
  • In den Nenner schreibst du ebenso viele Neunen wie die Anzahl der Ziffern in der Periode.
  • Gegebenenfalls kannst du den Bruch noch kürzen.

Um das zu üben, schauen wir uns das Beispiel $0,15151515...=0,\overline{15}$ an:

  • Hier sind die Ziffern der Periode die $1$ und die $5$, also $15$. Wir schreiben also $15$ in den Zähler unseres Bruchs.
  • Wenn du die Ziffern der Periode $15$ zählst, kommst du auf $2$ Stellen. Das heißt, du schreibst zwei Neunen in den Nenner des Bruchs. Das ergibt $0,\overline{15}=\frac{15}{99}=\frac{15:3}{99:3}=\frac5{33}$.

Das Umrechnen von Brüchen beim Einkaufen

Aylin geht mit ihrem kleinen Bruder einkaufen. Da sie viel backen wollen, brauchen sie mehrere Packungen Mehl:

  • für einen Kuchen: $0,5~kg$
  • für mehrere Brote: $2\frac12~kg$
  • für Pizza $200~g$

Sie möchte nun wissen, wie viel Mehl sie insgesamt einkaufen muss. Hierfür muss sie alle Angaben entweder als Bruch oder als Dezimalzahl schreiben. Sie muss übrigens auch noch auf die Maßeinheiten achten. Sie rechnet alles in $kg$ um und verwendet Dezimalzahlen:

  • Kuchen: $0,5~kg$ ✓
  • Brot: $2\frac12~kg=\frac42~kg+\frac12~kg=\frac52~kg=\frac{5\cdot 5}{2\cdot 5}~kg=\frac{25}{10}~kg=2,5~kg$
  • Pizza: $100~g=\frac1{10}~kg$, also $200~g=\frac2{10}~kg=0,2~kg$

Insgesamt muss Aylin somit $0,5~kg+2,5~kg+0,2~kg=3,2~kg$ Mehl einkaufen.