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Ergebnisse und Ereignisse

Zufallsversuch, Ergebnis, Ereignis, sicheres Ereignis, unmögliches Ereignis, Gegenereignis, Durchschnitt, Vereinigung, Komplement, Differenz, Ereignisraum

Einleitung

Jeder kennt das, man möchte wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis ist. Oft sind es alltägliche Situationen, die uns Fragestellungen liefern, die wir gerne mathematisch formulieren würden. Bevor man jedoch anfangen kann diese zu beschreiben und zu berechnen, muss man sich bestimmte Begriffe einmal ausführlich anschauen. Das Zufallsexperiment zum Beispiel beschreibt ein Experiment, bei dem trotz gleicher Durchführung des Experimentes verschiedene Ausgänge möglich sind. Betrachtet man dazu einmal das Zufallsexperiment „Das Werfen einer Münze”. Egal wie oft man das Experiment durchführt, man kann vorher nie genau sagen, welchen Ausgang der Münzwurf haben wird, also ob er Kopf oder Zahl zeigen wird.

Anhand der folgenden Begriffe kann man dieses Experiment in mathematischer Form ausdrücken und beschreiben.

Ergebnis

Unter einem Ergebnis versteht man einen möglichen Ausgang eines Zufallsexperimentes. Fasst man alle möglichen Ergebnisse in einer Menge zusammen, so erhält man die Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes. Diese wird in der Regel mit dem griechischen Buchstaben $\Omega$ benannt. Betrachtet man nun das Zufallsexperiment „Einmaliges Werfen einer Münze”, so können die Ergebnisse Kopf $\text{K}$ oder Zahl $\text{Z}$ eintreten.

Münze_2Euro.jpg

Demnach lautet die Ergebnismenge dieses Zufallsexperimentes: $\Omega=\{\text{K}; \text{Z}\}$

Ereignis

Unter einem Ereignis versteht man eine Menge, in der mehrere Ergebnisse eines Zufallsexperimentes zusammengefasst sind. Zum besseren Verständnis betrachtet man hier das Zufallsexperiment „Zweimaliges Werfen einer Münze”. Das Ereignis $A$ könnte dann beispielsweise das „Zweimalige Eintreten von Kopf $\text{K}$” sein. Mathematisch lässt dich das Ereignis $A$ wie folgt darstellen: $A=\{\text{K}; \text{K}\}$. Das Ereignis $A$ enthält also die beiden Ergebnisse „Es wird beim ersten Wurf Kopf $\text{K}$ geworfen" und „Es wird beim zweiten Wurf Kopf $\text{K}$ geworfen". Alle möglichen Ereignisse dieses Zufallsexperimentes sind in dem folgenden Baumdiagramm aufgeführt.

Baumdiagramm.jpg

  • Eine Sonderform stellt das unmögliche Ereignis $E=\emptyset$ dar. Es handelt sich hierbei um die leere Menge. Dieses Ereignis tritt bei einem Zufallsexperiment nie ein.
  • Enthält das Ereignis alle möglichen Ergebnisse der Ergebnismenge, so spricht man vom sicheren Ereignis $E=\Omega$. Das sichere Ereignis bei dem Zufallsexperiment „Einmaliges Werfen einer Münze" ist $E=\{\text{K oder Z}\}$. Es ist nämlich sicher, dass bei diesem Experiment entweder Kopf $\text{K}$ oder Zahl $\text{Z}$ fallen wird.
  • Besteht das Ereignis $E$ nur aus einem Ergebnis, so spricht man von einem Elementarereignis. Bei dem Zufallsexperiment „Einmaliges Werfen der Münze" liegen die folgenden beiden Elementarereignisse vor: $E_1=\{\text{K}\}$ und $E_2=\{\text{Z}\}$.
  • Manchmal ist es einfacher mit dem Gegenereignis zu rechnen als mit dem Ereignis selber. Das Gegenereignis enthält alle Ergebnisse, welche in dem Ereignis nicht enthalten sind. Betrachtet man zum Beispiel das Zufallsexperiment „Einmaliges Würfeln" und das Ereignis $A=\{1; 2; 3; 4; 5\}$, so lautet das Gegenereignis $\overline{A}=\{6\}$.