Kumulierte Häufigkeiten

Was ist kumulierte Häufigkeit?

Eine kumulierte Häufigkeit, auch Summenhäufigkeit, gibt die Häufigkeit an, dass ein Merkmal kleiner gleich einem bestimmten Wert $k$ ist. Es handelt sich also um die Summe aus der Häufigkeit dieses Werts mit den Häufigkeiten aller Werte darunter.

Wir können kumulierte Häufigkeiten nutzen, wenn uns zum Beispiel nicht nur interessiert, wie viele Schüler in der letzten Arbeit eine ganz bestimmte Note hatten, sondern wie viele Schüler die Note $3$ oder besser erreicht haben. Das kann besonders dann interessant sein, wenn es sehr viele verschiedene Ausprägungen des Merkmals gibt. Wenn wir zum Beispiel die Akkulaufzeiten von Smartphones in Minuten messen, dann kann man so bestimmen, wie viele Geräte eine Akkulaufzeit unter einem bestimmten Grenzwert haben.

Kumulierte Häufigkeit – Definition

Der Begriff kumuliert kommt vom lateinischen Wort cumulare, was „anhäufen“ bedeutet. Bei der kumulativen Häufigkeit werden die Häufigkeiten aller Werte addiert, die kleiner oder gleich einem bestimmten Wert $k$ sind. Eine Voraussetzung ist dabei, dass die Daten geordnet sind, also in kleiner oder gleich bzw. größer $k$ unterteilt werden können.

Wir unterscheiden zwischen kumulierter absoluter Häufigkeit, kumulierter relativer Häufigkeit und kumulierter prozentualer Häufigkeit. Dabei werden jeweils die Werte der entsprechenden Häufigkeiten bis $k$ zusammengerechnet.

Kumulierte Häufigkeiten berechnen

Wir wissen bereits, dass sich die kumulierten Häufigkeiten als Summe der Häufigkeiten ergeben, für die die Ausprägung eines Merkmals kleiner oder gleich $k$ ist. In der folgenden Tabelle sind z. B. die Daten eines Mathetests dargestellt. In der linken Spalte stehen die Werte der Noten $k$, in der mittleren Spalte die absoluten Häufigkeiten $h_k$ und rechts die kumulierten absoluten Häufigkeiten $hc_k$.

Aus der Tabelle sehen wir zum Beispiel, dass die absolute Häufigkeit $h_3$ für $k = 3$ bei $22$ liegt. Das bedeutet: $22$ Schülerinnen und Schüler haben bei dem Test genau die Note $3$ erhalten. Die kumulierte Häufigkeit $hc_3 = 37 $ für $k = 3$ können wir ebenfalls ablesen. Dieser Wert besagt, dass $37$ Schülerinnen die Note $3$ oder eine bessere Note bekommen haben. Berechnen lässt sich der Wert $hc_3$, indem wir die absoluten Häufigkeiten für $h_1$, $h_2$ und $h_3$ addieren: $hc_3 = h_1 + h_2 + h_3 = 3 + 12 + 22 = 37$

Nach demselben Prinzip lassen sich auch die Werte für die kumulierten relativen und die kumulierten prozentualen Häufigkeiten berechnen. Es werden jeweils die Werte der entsprechenden Häufigkeiten addiert. Beispielsweise ergibt sich der Wert für $pc_2 = 30$ aus der unteren Tabelle auch, wenn wir $p_1 + p_2 = 6 + 24 = 30$ rechnen.

Kumulierte Häufigkeit – Eigenschaften

Hier siehst du zwei Säulendiagramme, die die prozentuale Häufigkeit $p_k$ und die kumulierte prozentuale Häufigkeit $pc_k$ aus der Tabelle von oben zeigen. Daran können wir zwei Eigenschaften von kumulierten Häufigkeiten erkennen:

• Die kumulierte prozentuale Häufigkeit nimmt nach rechts, also für größere Werte von $k$, immer weiter zu. Im Vergleich dazu hat die prozentuale Häufigkeit bei $k = 3$ ein Maximum und sinkt danach wieder.
• Die letzte Säule hat den Wert $100$, repräsentiert also $100\%$ der Daten. Diese Säule steht immer für alle Daten, da sie den höchsten möglichen Wert und alle kleineren Werte beinhaltet.

Diese beiden Eigenschaften gelten auch für die kumulierte absolute und die kumulierte relative Häufigkeit. Das kannst du auch in der Tabelle oben ablesen:

• Bei $hc_k$, $fc_k$ und $pc_k$ werden die Werte mit jeder Zeile größer, da wir etwas addieren.
• In der letzten Zeile steht jeweils der Wert, den alle Daten zusammen ergeben. Bei $hc_k$ ist das immer die Anzahl der Datenwerte $n$, bei $fc_k$ ist es $1$ und bei $pc_k$ entsprechend $100$.

Kumulierte Häufigkeit – Zusammenfassung

In diesem Video erfährst du, was kumulierte Häufigkeiten sind und wie du sie bestimmen und interpretieren kannst. Wir unterscheiden dabei zwischen kumulierter absoluter, kumulierter relativer und kumulierter prozentualer Häufigkeit.