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Stammfunktionen – Beispiel (1)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Stammfunktionen – Beispiel (1)
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Beschreibung Stammfunktionen – Beispiel (1)

Nachdem wir die Theorie im Video „Stammfunktionen – Definition “ kennen gelernt haben, möchten wir in die Praxis übergehen. Wir suchen die Stammfunktionen von Funktionen. Drei Videos habe ich hierfür als Einstieg vorbereitet, in denen ich dir nun Beispiele vorrechne. Damit das also nicht so abläuft, haben wir hier Regeln. Die Regeln sind nicht dazu da oder von Mathelehrern erfunden, um Schüler besser mobben zu können, sondern Regeln sind dafür da, um hier einfacher Stammfunktionen finden zu können. Unser erstes Beispiel lautet: f(x) = x³. Weiter geht es dann mit Beispiel zwei im nächsten Video!

Transkript Stammfunktionen – Beispiel (1)

Hallo! Wir suchen Stammfunktionen und damit das hier nicht abläuft wie beim Osterhasen, wo man immer raten muss, wo er denn die Eier hat oder wo er die Eier versteckt hat. Damit das also nicht so abläuft, haben wir hier Regeln. Die Regeln sind nicht dazu da oder von Mathelehrern erfunden, um Schüler besser mobben zu können, sondern Regeln sind dafür da, um hier einfacher Stammfunktionen finden zu können. Ja, und diese sind also so zu lesen hier: Wir haben einen Funktionsterm der Form 1/n+1×xn+1 und wenn man den ableitet, da ist der Ableitungsstrich, dann erhält man xn; n darf übrigens irgendeine Zahl sein außer -1. Ansonsten darfst du wirklich jede reelle Zahl einsetzen. In manchen Büchern steht n Element Z oder so was, egal. Alle Zahlen, auch irrationale Zahlen, auch negative Zahlen darf man hier einsetzen außer eben -1. Und diese Formel, die jetzt hier übrigens Potenzregel der Integralrechnung heißt, ist also folgendermaßen zu lesen: Du hast jetzt hier einen Funktionsterm der Form xn und du findest eine Stammfunktion, indem du nämlich dieses n hier in diesen Term einsetzt. Die Zahl, die dann für n steht, setzt du hier ein und dann erhältst du also eine Stammfunktion dieser Funktion hier. Dann haben wir hier noch die Summenregel der Integralrechnung und auch noch die Faktorregel der Integralrechnung. Jeweils ergibt sich, wie man so schön sagt, diese Regel, also die Summenregel zum Beispiel, indem man das Ding hier einfach ableitet. Du weißt, dass du summandenweise ableiten kannst. Deshalb kannst du auch summandenweise die Sache rückwärts machen. Ich verwende jetzt nicht das Wort aufleiten. Der Prozess von hier nach da heißt integrieren. Manche Bücher schreiben auch aufleiten. Ich kann mich nicht daran gewöhnen. Ich sage integrieren. Die Formel ist so gemeint U(x) ist eine Stammfunktion von u(x). Ebenso ist V(x) eine Stammfunktion von v(x). Hier haben wir also die Faktorregel der Integralrechnung. Das bedeutet, wenn wir eine Funktion vorfinden, vor der einfach ein Koeffizient steht, wie man so sagt, also einfach eine Zahl × Funktionsterm, dann kann man diese Zahl einfach stehen lassen und × Stammfunktionsterm rechnen und hat so eine Stammfunktion dieser Funktion gefunden. Das hier unten nennt sich lineare Substitution. Kann man auch mit Ableiten nachweisen, also U ist eine Stammfunktion von u. Was es damit genau auf sich hat, möchte ich an Beispielen erklären, kommen später, nicht jetzt in diesem Film. Da gibt es so eine gewisse Sichtweise, die man sich da angewöhnen muss, aber das erkläre ich dann später. Als erstes Beispiel möchte ich hier Mal etwas ganz Einfaches zeigen. Klar, man fängt ja nicht mit dem Kompliziertesten an am Anfang. Wir haben eine Funktion f(x), das ist ein klein f hier, f(x)=x3. Wir suchen eine Stammfunktion davon, und da wir hier diese Regeln haben, können wir gleich Mal gucken, ob denn eine Regel hier zutrifft. Nun, wenn wir hier für n 3 einsetzen, dann haben wir hier x3 stehen und dann können wir also diese Funktion hier mit dem Funktionsterm x3 nach dieser Potenzregel der Integralrechnung ableiten. Das bedeutet, wir bekommen eine Funktion F(x) und die sieht dann folgendermaßen aus: Wir haben 1 geteilt durch, für n setzen wir 3 ein, dann steht hier also 3+1 × x3+1. Bevor ich jetzt 3+1 noch ausrechne, möchte ich was sagen zur Schreibweise. Das hier ist nur eine Stammfunktion. Wenn man irgendeine konstante Zahl noch anfügt, also + C rechnet, bekommt man noch viele weitere Stammfunktionen. C darf irgendeine Zahl sein, ist völlig egal. Und, wenn man das schon so genau nimmt, müsste man hier eigentlich auch noch FC(x) schreiben, denn für jedes bestimmte C, was man hier einsetzt, bekommt man hier eine bestimmte Stammfunktion. Und deshalb kann ja F(x) nicht einfach für viele Stammfunktionen stehen, sondern man muss dann schon FC(x) hinschreiben. Die Schreibweisen sind aber unterschiedlich. Wenn du das genau wissen sollst, wie du das in der Klausur schreibst, dann frage bitte den Mathematiklehrer deines Vertrauens. Das Wichtige hierbei ist, dass du also auf folgenden Term kommst: 1 geteilt durch 4, also 1/4×x4. Das hier ist eine Stammfunktion der Funktion f(x)=x3 und da ich mit dem C schon angefangen habe, kommt es hier auch hin. Woher wissen wir jetzt genau, dass das hier eine Stammfunktion davon ist? Ich habe das schon angedeutet hier. Man sieht das durch Ableiten und jetzt möchte ich einfach Mal die Funktion F(x)=(1/4x4) ableiten, Klammer drum und Ableitungsstrich. Hier steht kein C, weil hier auch kein C steht. Ich könnte natürlich hier ein C hinschreiben und da auch ein C hinschreiben. Aber da du und ich, wir beide schon wissen, dass C abgeleitet einfach 0 ergibt, spare ich mir das hier. Das ist auch so die übliche Vorgehensweise. Das C muss man da nicht unbedingt hinschreiben. Also, das kann man ableiten, und zwar nach Faktorregel zum einen. Ihr wisst ja hier steht ein Faktor, nämlich 1/4, Faktorregel der Differenzialrechnung, nicht diese Faktorregel der Integralrechnung. Wir sind hier jetzt gerade beim Ableiten. 1/4 einfach hinschreiben und auf x4 wende ich dann die Potenzregel der Differenzialrechnung an und das ist 4×x4-1. Und dann kann man das auch noch vereinfachen: 1/4×4 ist 1, die 1 schreibe ich nicht mehr hin, x4-1 ist x3 und damit haben wir wieder das, was hier steht. Wir können also sehen, wir haben richtig gerechnet. Eine Stammfunktion ist ja eine Funktion, deren Ableitung diese Ausgangsfunktion ergibt. Das tut sie. Damit ist, glaube ich, hier der Fall erledigt. Deutlicher wird es nicht mehr. Viel Spaß damit! Tschüss!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Er schreibt kopfüber mit beiden Händen?! :O

    Von Rathkatz, vor fast 5 Jahren
  2. kann man nur c nehmen

    Von Tantan90, vor mehr als 9 Jahren

Stammfunktionen – Beispiel (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Stammfunktionen – Beispiel (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib zu der jeweiligen Funktion die Ableitung an.

    Tipps

    Wenn du die Summe zweier Funktionen ableitest, kannst du jede Funktion ableiten und die Ableitungen addieren. Dies ist die Summenregel der Differentiation.

    Wie kann man eine Potenzfunktion ableiten?

    Es ist zum Beispiel

    $(x^4)'=4x^3$.

    Beim Differenzieren kannst du einen Faktor, welcher von der Variablen $x$ unabhängig ist, aus der Differentiation herausnehmen. Zum Beispiel ist

    $(3x^4)'=3(x^4)'=3\cdot 4x^3=12x^3$.

    Dies ist die Faktorregel der Diffentiation.

    Die Kettenregel der Differentiation lautet

    $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

    Was passiert, wenn die innere Funktion $g(x)$ eine lineare Funktion ist?

    Lösung

    Integration und Differentiation hängen zusammen. Wenn man prüfen will, ob eine Funktion $F(x)$ Stammfunktion von $f(x)$ ist, leitet man ab und es muss gelten

    $F'(x)=f(x)$.

    Es ist also wichtig, die Ableitungsregeln gut zu kennen, da zu einigen von diesen analoge Regeln beim Integrieren existieren.

    Die Potenzregel der Differentiation besagt, dass

    $\left(\frac1{n+1}x^{n+1}\right)'=x^n$, für alle $x\neq -1$.

    Will man also eine Stammfunktion von $x^n$ bestimmen, so liest man die obige Ableitungsregel von rechts nach links. Dies ist die Potenzregel der Integration. Der Exponent darf dabei nicht $-1$ sein.

    Um den Zusammenhang zwischen einer Funktion und deren Stammfunktion zu zeigen, wird die Stammfunktion oft mit dem entsprechenden Großbuchstaben geschrieben:

    • $U'(x)=u(x)$ sowie
    • $V'(x)=v(x)$.
    Die Summenregel der Differentiation

    $(U(x)+V(x))'=u(x)+v(x)$.

    Die Faktorregel der Differentiation

    $(k\cdot U(x))'=k\cdot u(x)$.

    Die lineare Kettenregel der Differentiation - die Analogie im Bereich der Integration wird als lineare Substitutionsregel bezeichnet:

    $\left(\frac1a U(ax+b)\right)'=u(ax+b)$.

  • Bestimme eine Stammfunktion der Funktion $f(x)$.

    Tipps

    Überlege dir zunächst, welche Integrationsregel du verwenden kannst.

    Der Term $x^3$ wird als Potenz bezeichnet.

    Die Potenzregel der Integration lautet

    $f(x)=x^n$, dann ist $F(x)=\frac1{n+1}x^{n+1}+C$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

    Dies kann durch Ableiten nachgewiesen werden.

    Lösung

    Es soll die Potenzfunktion $f(x)=x^3$ integriert werden.

    Hierfür kann die Potenzregel der Integration verwendet werden, welche sich ergibt, wenn man die Potenzregel der Differentiation von links nach rechts liest:

    $\left(\frac1{n+1}x^{n+1}\right)'=x^n$,

    dabei muss $n\neq -1$ sein.

    In diesem Beispiel ist $n=3$ und somit gilt

    $\begin{align*} F(x)&=\frac1{3+1}x^{3+1}+C\\ &=\frac14x^4+C. \end{align*}$

    $C$ steht dabei für die sogenannte Integrationskonstante. Im eigentlichen Sinne kann man immer nur von einer Stammfunktion sprechen und nicht von der Stammfunktion, da zwei, sich um eine Konstante unterscheidende, Funktion Stammfunktionen der gleichen Funktion sein können.

  • Ordne der jeweiligen Potenzfunktion eine zugehörige Stammfunktion zu.

    Tipps

    Verwende jeweils die Potenzregel der Integration

    • Sei $f(x)=x^n$,
    • dann ist $F(x)=\frac1{n+1}x^{n+1}+C$, mit $n\neq-1$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

    Beachte, dass die Integrationskonstante auch $0$ sein kann.

    Beachte: Bei der Stammfunktion einer Potenzfunktion ist der Exponent jeweils um $1$ größer.

    Du kannst die jeweiligen Stammfunktionen auch ableiten.

    Lösung

    Sei $f(x)=x^n$ eine Potenzfunktion, dann ist durch

    $F(x)=\frac1{n+1}x^{n+1}+C$

    eine Stammfunktion von $f(x)$ gegeben. Dabei muss $n\neq-1$ sein.

    • $f(x)=x^2$, dann ist $F(x)=\frac13x^3+C$ eine Stammfunktion von $f(x)$.
    • $f(x)=x^5$, dann ist $F(x)=\frac16x^6+C$ eine Stammfunktion von $f(x)$.
    • $f(x)=x^6$, dann ist $F(x)=\frac17x^7+C$ eine Stammfunktion von $f(x)$.
    • $f(x)=x$, dann ist $F(x)=\frac12x^2+C$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

  • Prüfe, welche der gegebenen Funktionen Stammfunktion von $f(x)$ ist.

    Tipps

    Du kannst den Term mit der ersten binomischen Formel umformen:

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Du kannst auch die lineare Substitution, als Umkehrung der linearen Kettenregel, verwenden:

    $\left(\frac1a\cdot U(ax+b)\right)'=u(ax+b)$.

    Leite jede der gegebenen Funktionen ab. Es sind zwei Lösungen korrekt.

    Lösung

    In Abituraufgaben im Mathematik-Grundkurs werden oft Stammfunktionen vorgegeben und man muss prüfen, ob diese wirklich Stammfunktion der gegebenen Funktion sind.

    Um dies zu überprüfen, wird die gegebene Stammfunktion abgeleitet, denn es gilt

    $F'(x)=f(x)$,

    dabei ist $f(x)$ die zu integrierende Funktion und $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

    Bei der Funktion $f(x)=(x+2)^2$ kann man entweder die Klammern mit der ersten binomischen Formel auflösen zu

    $(x+2)^2=x^2+4x+4$ und dann die einzelnen Summanden unter Verwendung der Potenzregel und Faktorregel integrieren zu

    $F(x)=\frac13x^3+2x^2+4x+C$.

    Man kann auch die lineare Substitutionsregel, die Umkehrung der linearen Kettenregel, anwenden. Diese lautet

    $\left(\frac1a\cdot U(ax+b)\right)'=u(ax+b)$.

    Hier ist $a=1$ und $b=2$ und erhält damit unter Verwendung von $\left(\frac13x^3\right)'=x^2$.

    $F(x)=\frac13(x+2)^3+C$.

  • Beschreibe, wie man prüfen kann, ob die gefundene Funktion tatsächlich eine Stammfunktion ist.

    Tipps

    Es gilt

    $\left(\frac1{n+1}x^{n+1}\right)'=x^n$.

    Dies ist die Potenzregel der Differentiation.

    Integration kann auch beschrieben werden als die Frage: Kenne ich zu einer Funktion $f(x)$ eine Funktion $F(x)$, deren Ableitung $f(x)$ ist?

    Tipp: Wenn du das Integrieren von Funktionen übst, solltest du, um deine Sicherheit zu erhöhen, die Probe durchführen.

    Lösung

    Wenn man zu einer Funktion, in diesem Beispiel $f(x)=x^3$ eine Stammfunktion, hier $F(x)=\frac14x^4+C$ hergeleitet hat, wie kann man dann überprüfen, ob diese Funktion tatsächlich eine Stammfunktion ist?

    Richtig: Man leitet die Stammfunktion ab und es muss sich durch Ableitung wieder die Ausgangsfunktion, hier $f(x)=x^3$ ergeben.

    Unter Verwendung der Potenzregel, der Faktorregel und der Konstantenregel der Differentiation, die Ableitung der Integrationskonstanten ist $C'=0$, erhält man

    $F'(x)=\frac14\cdot 4x^{4-1}$.

    Nun kann noch weiter vereinfacht werden zu

    $F'(x)=x^3=f(x)$.

    $F(x)$ ist also tatsächlich eine Stammfunktion von $f(x)$.

  • Ermittle jeweils eine Stammfunktion der Funktionen.

    Tipps

    Verwende die jeweilige Umkehrung der folgenden Regeln

    • $\left(\frac1{n+1}x^{n+1}\right)'=x^n$, $n\neq-1$,
    • $(U(x)+V(x))'=u(x)+v(x)$,
    • $(k\cdot U(x))'=k\cdot u(x)$ sowie
    • $\left(\frac1a U(ax+b)\right)'=u(ax+b)$.

    Beachte, dass die Umkehrung der Potenzregel für alle $n\neq-1$ gilt, also auch für $n=-2$.

    Du kannst die von dir gefundenen Stammfunktionen jeweils durch Ableiten überprüfen.

    Lösung

    Die folgenden Regeln

    • $\left(\frac1{n+1}x^{n+1}\right)'=x^n$
    • $(U(x)+V(x))'=u(x)+v(x)$,
    • $(k\cdot U(x))'=k\cdot u(x)$ sowie
    • $\left(\frac1a U(ax+b)\right)'=u(ax+b)$
    sind Ableitungsregeln. Wenn man sie von rechts nach links liest, sind es Integrationsregeln, mit deren Hilfe sich die obigen Funktionen ableiten lassen:
    • $f(x)=x+2$. Dann ist $F(x)=\frac12x^2+2x+C$.
    • $g(x)=8x^3-3x^2$. Dann ist $G(x)=8\cdot \frac14x^4-3\cdot \frac13x^3+C=2x^4-x^3+C$.
    • $h(x)=x^{-2}$. Dann ist $H(x)=\frac1{-2+1}x^{-2+1}+C=-x^{-1}+C=-\frac1x+C$.

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