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Integralfunktion – Definition

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Team Digital
Integralfunktion – Definition
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Integralfunktion – Definition

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Aufbau einer Integralfunktion zu verstehen und den konkreten Funktionsterm von Integralfunktionen zu berechnen.

Zunächst lernst du, was die Integralfunktion mit dem bestimmten Integral gemeinsam hat. Anschließend siehst du wie die Integralfunktion einer variablen oberen Integrationsgrenze den resultierende Flächenbilanz zwischen Ausgangsfunktion und x-Achse zuordnet. Abschließend erfährst du, wie du den konkreten Funktionsterm einer Integralfunktion bestimmen kannst.

Integralfunktion

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Stammfunktion, Integralfunktion, bestimmtes Integral, obere Integrationsgrenze und untere Integrationsgrenze.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits bestimmte Integrale kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Integralen haben.

Transkript Integralfunktion – Definition

Was ist eigentlich eine Integralfunktion? Na, eine Stammfunktion! So sieht die Formel aus! Das ist eigentlich alles was du wissen musst! Den Rest kriegst du ja alleine hin oder? Bis zum nächsten mal! Kleines Späßchen! In diesem Video erfährst du ganz genau, was es mit der „Integralfunktion“ auf sich hat und wie man sie berechnet. Um uns der Sache zu nähern, schauen wir uns zunächst nochmal kurz an, was wir unter einem „bestimmten Integral“ verstehen. Mit dem „bestimmten Integral“ können wir die Flächenbilanz berechnen, die zwischen einem Funktionsgraphen, und der x-Achse, in einem bestimmten Intervall eingeschlossen wird. Ganz konkret klappt das dann mit dem „Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung“. Zum Beispiel bei der Funktion „f von x gleich zwei x“. Wir möchten die Flächenbilanz im Intervall null bis zwei berechnen. Wir bilden dafür eine Stammfunktion, setzen die Intervallgrenzen ein, und erhalten den Wert vier als Ergebnis. Da der Graph im betrachteten Intervall ausschließlich oberhalb der x-Achse verläuft, spiegelt dieser Wert den Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen wieder. Flächenbilanz und Flächeninhalt sind in diesem Fall also identisch. Wenn wir jetzt das Intervall verändern, also zum Beispiel drei anstatt zwei als obere Grenze setzen, verändert sich so natürlich auch die daraus resultierende Flächenbilanz. In diesem Intervall erhalten wir dann schon den Wert neun. Wir sehen also: Wenn wir die Integrationsgrenzen verschieben, ändert sich im Normalfall auch die resultierende Flächenbilanz. Wir können diesen Gedankengang weiterführen, indem wir für die untere Intervallgrenze einen festen Wert wählen, die obere Intervallgrenze aber variabel lassen. In anderen Worten: Die obere Grenze soll jetzt ein beliebiger Wert sein, der mal etwas kleiner und mal etwas größer sein kann. Wir verschieben die obere Grenze also entlang der x-Achse. Je nachdem welchen Wert wir für b wählen, wird sich auch die Flächenbilanz zwischen Graph und x-Achse verändern. Und genau das gibt die Integralfunktion wieder. Wir wählen für die untere Grenze einen festen Wert – diesen nennen wir allgemein a. Die obere Grenze ist jetzt aber Variabel – wir verdeutlichen das mit einem x anstelle des b's. Wenn x die obere Grenze angibt, müssen wir die Integrationsvariable anders bezeichnen. Üblicherweise wählt man hier ein t. Schauen wir uns das nochmal an unserer Beispielfunktion an. Anstatt „f von x gleich zwei x“ nennen wir sie jetzt „f von t gleich zwei t“. Zunächst müssen wir dann für a einen Wert wählen, denn dieser soll ja fest sein. Wir nehmen wieder den Wert null. Wenn wir jetzt für x zwei einsetzen, erhalten wir den Wert vier und wenn wir drei einsetzen neun. Das haben wir bereits gesehen. Wir können aber auch jeden beliebigen anderen Wert einsetzen, wie zum Beispiel 1,5. In diesem Fall spuckt uns das bestimmte Integral den Wert 2,25 aus. Das heißt, den oberen Grenzen zwei, drei und 1,5 werden jeweils die resultierenden Flächenbilanzen vier, neun und 2,25 zugeordnet. Allgemein ausgedrückt: Jedem beliebigen Wert für x wird ein entsprechender y-Wert zugeordnet, der von x abhängt. Und genau das ist ja die Grundidee einer Funktion. Wir sprechen also von einer Integralfunktion, wenn jedem möglichen x-Wert als obere Integrationsgrenze ein resultierender y-Wert als Flächenbilanz zugeordnet wird. Diese wird meistens als „Groß-I von x“ bezeichnet und mit der unteren Grenze a als Parameter gekennzeichnet. Daran muss man sich vielleicht erstmal gewöhnen. Funktionsgleichungen sahen bisher meistens etwas einfacher aus. Das Ganze wird aber übersichtlicher, wenn wir die Integralfunktion zu einer gegebenen unteren Grenze mal ganz konkret berechnen. Wir schauen uns das wieder an unserem Beispiel an. Dort haben wir ja die untere Grenze null und die Funktion „f von t gleich zwei t“ als Integrand betrachtet. Die entsprechende Integralfunktion können wir nun ganz einfach berechnen. Dafür wenden wir wieder den Hauptsatz an und setzen X als obere, und Null als untere Intervallgrenze ein. So erhalten wir dann den konkreten Funktionsterm „x Quadrat“ der entsprechenden Integralfunktion. Wenn wir eine andere untere Grenze, wie zum Beispiel eins wählen, erhalten wir Im Normalfall also auch eine andere Integralfunktion. Zwei Dinge zu Integralfunktionen wollen wir an dieser Stelle noch festhalten. Erstens: Jede Integralfunktion ist genau so konstruiert, dass sie an ihrer unteren Grenze a eine Nullstelle hat. Das sehen wir beispielsweise, wenn wir jeweils die untere Grenze in die Integralfunktion einsetzen. Also hier die Null, und hier die Eins. Das ist ja auch logisch, denn wenn die untere Grenze der oberen Grenze des betrachteten Intervalls entspricht, muss die Flächenbilanz gleich null sein. Zweitens ist jede Integralfunktion einer betrachteten Ausgangsfunktion f auch gleichzeitig eine Stammfunktion dieser Ausgangsfunktion. Das sehen wir ganz leicht, wenn wir die entsprechenden Integralfunktionen wieder ableiten. Weil Konstanten beim Ableiten wegfallen, erhalten wir als Ableitung in jedem Fall die Funktion, von der wir ausgegangen waren. Egal welche untere Grenze wir gewählt haben. Alles klar, dass sollten wir am Besten nochmal zusammenfassen. Die Integralfunktion einer Funktion f zur unteren Grenze a ist grundsätzlich einem bestimmten Integral ähnlich. Nur, dass die obere Grenze hier kein fester Wert, sondern variabel ist. Wir können die Integralfunktion konkret bestimmen, wenn wir die Funktion f als Integrand, und die untere Grenze a gegeben haben. Hierzu müssen wir dann nur den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden, und wie gewohnt obere und untere Grenzen in eine gefundene Stammfunktion einsetzen. Als Ergebnis erhalten wir dann einen Funktionsterm, so wie wir ihn gewohnt sind. Eine Integralfunktionen von f ist immer auch eine Stammfunktion von f. Allerdings eine spezielle – insofern, dass sie bei der unteren Grenze a eine Nullstelle hat. So, jetzt weißt du also wovon die Rede ist, wenn es im Matheunterricht das nächste mal um „Integralfunktionen“ geht. Und solltest, wenn du diese Formel vor dir hast, auch nicht nur Hieroglyphen sehen? Oder was meinst du?

Integralfunktion – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Integralfunktion – Definition kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, ob die Aussagen über die Integralfunktion richtig sind.

    Tipps

    Die Integralfunktion $I_a(x)$ einer Funktion $f$ zur unteren Grenze $a$ entspricht einem bestimmten Integral, nur dass die obere Grenze kein fester Wert, sondern die Variable $x$ ist.

    Es gilt:

    $\int\limits_{a}^{a} f(x) \text{d}x = 0$

    Lösung

    Die Integralfunktion $I_a(x)$ einer Funktion $f$ zur unteren Grenze $a$ entspricht einem bestimmten Integral, nur dass die obere Grenze kein fester Wert, sondern die Variable $x$ ist. Wir schreiben:

    $I_a(x)=\displaystyle \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t$

    Dabei ist es wichtig, dass wir die abhängige Variable der Funktion $f$ nicht mit $x$ benennen, da das $x$ als obere Grenze verwendet wird.

    'Für die Integralfunktion gilt: $I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(x) ~\text{d}x$.' – Falsch.

    'Anschaulich stellt die Integralfunktion die Flächenbilanz zwischen den beiden Grenzen dar.' – Richtig.

    Wir können die Integralfunktion konkret bestimmen, wenn wir die Funktion $f$ als Integrand und die untere Grenze $a$ gegeben haben. Dazu verwenden wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t = F(x) - F(a)$

    'Um die Integralfunktion konkret zu bestimmen, verwenden wir die Ableitungsregeln.' – Falsch, wir verwenden die Integrationsregeln.

    Wir setzen dann die obere und untere Grenzen in eine gefundene Stammfunktion ein, und erhalten als Ergebnis einen Funktionsterm, so wie wir ihn gewohnt sind.

    'Eine Integralfunktion von $f$ ist immer auch eine Stammfunktion von $f$.' – Richtig.
    Allerdings handelt es sich um eine spezielle Stammfunktion: Denn sie hat bei der unteren Grenze $a$ eine Nullstelle, da der Funktionsterm durch $F(x)-F(a)$ gebildet wird. Wenn wir also für $x=a$ einsetzen, ergibt sich der Funktionswert Null. Es gilt: $\int\limits_{a}^{a} f(x) ~\text{d}x = 0$.

    'Die Integralfunktion hat bei der unteren Grenze $a$ eine Nullstelle.' – Richtig.

    Wir betrachten noch ein Beispiel:

    Wir betrachten die Funktion $f(x)=2x$. Für die Integralfunktion $I_a(x)$ wählen wir dann jedoch die abhängige Variable $t$ und schreiben:
    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t = \int\limits_{a}^{x} 2t ~\text{d}t $
    Wählen wir als untere Grenze $a=0$, so ergibt sich:
    $\displaystyle I_0(x)= \int\limits_{0}^{x} 2t ~\text{d}t = \Big[t^2\Big]_{0}^{x} = x^2-0^2 = x^2 $
    Wir können also beispielsweise für $x=3$ die Flächenbilanz zwischen $0$ und $3$ unter dem Funktionsgraphen von $f(t)=2t$ bestimmen. (siehe Abbildung)

  • Berechne die Funktionswerte der Integralfunktion.

    Tipps

    Wir können die Integralfunktion konkret mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bestimmen:

    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t = F(x) - F(a)$

    Anschaulich stellt die Integralfunktion die Flächenbilanz zwischen den beiden Grenzen dar, hier zum Beispiel zwischen $0$ und $3$.

    $\displaystyle \int 2t ~\text{d}t = t^2 + c = F(t)$

    Lösung

    Die Integralfunktion $I_a(x)$ einer Funktion $f$ zur unteren Grenze $a$ entspricht einem bestimmten Integral, nur dass die obere Grenze kein fester Wert, sondern die Variable $x$ ist. Wir schreiben allgemein:

    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t)~ \text{d}t$

    In unserem Beispiel lautet die Integralfunktion also:

    $\displaystyle I_0(x)= \int\limits_{0}^{x} 2t ~\text{d}t$

    Anschaulich stellt die Integralfunktion die Flächenbilanz zwischen den beiden Grenzen dar.

    Wir können die Integralfunktion konkret mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bestimmen:

    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t = F(x) - F(a)$

    In unserem Beispiel wenden wir ihn wie folgt an:

    $ \displaystyle I_0(x)= \int\limits_{0}^{x} 2t ~\text{d}t = \Bigl[t^2\Bigr]_{0}^{x} = x^2-0^2 = x^2 $

    Wir können also beispielsweise für $x=1{,}5$ die Flächenbilanz zwischen $0$ und $1{,}5$ unter dem Funktionsgraphen von $f(t)=2t$ bestimmen. Dazu setzen wir in die gefundene Integralfunktion ein:
    $I_0(1{,}5) = 1{,}5^2 = 2{,}25$

    So ergeben sich auch die anderen Funktionswerte:

    • $I_0(2) = 2^2 = 4$
    • $I_0(3) = 3^2 = 9$
    • $I_0(5) = 5^2 = 25$
  • Bestimme den Funktionsterm der Integralfunktionen $I_a(x)$.

    Tipps

    Setze zunächst $a$ und $f(t)$ in die Integralfunktion

    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t$ ein.

    Beispiel: $a=3$ und $f(t)=4t^2$

    $\displaystyle I_3(x)= \int\limits_{3}^{x} 4t^2 ~\text{d}t = \Bigl[\frac{4}{3}t^3\Bigr]_{3}^{x} = \frac{4}{3}x^3-\frac{4}{3} \cdot 3^3 = \frac{4}{3}x^3-36$

    Lösung

    Wir können die Integralfunktion $I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t$ mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bestimmen. Dazu setzen wir jeweils zuerst $a$ und $f(t)$ ein, und bestimmen dann das Integral:

    Beispiel 1: $a=1$ und $f(t)=2t^2$

    $\displaystyle I_1(x)= \int\limits_{1}^{x} 2t^2 ~\text{d}t = \bigg[\frac{2}{3}t^3\bigg]_{1}^{x} = \frac{2}{3}x^3-\frac{2}{3} \cdot 1^3 = \frac{2}{3}x^3-\frac{2}{3}$

    Beispiel 2: $a=3$ und $f(t)=t^3$

    $\displaystyle I_3(x)= \int\limits_{3}^{x} t^3 \text{d}t = \bigg[\frac{1}{4}t^4\bigg]_{3}^{x} = \frac{1}{4}x^4-\frac{1}{4} \cdot 3^4 = \frac{1}{4}x^4-\frac{81}{4}$

    Beispiel 3: $a=1$ und $f(t)=3t^2$

    $\displaystyle I_1(x)= \int\limits_{1}^{x} 3t^2 \text{d}t = \Bigl[ t^3\Bigr]_{1}^{x} = x^3-1^3 = x^3-1$

    Beispiel 4: $a=2$ und $f(t)=2t^3$

    $\displaystyle I_2(x)= \int\limits_{2}^{x} 2t^3 \text{d}t = \bigg[\frac{1}{2}t^4\bigg]_{2}^{x} = \frac{1}{2}x^4- \frac{1}{2}\cdot 2^4 = \frac{1}{2}x^4-8$

  • Ermittle die Integralfunktion für unterschiedliche Werte von $a$.

    Tipps

    $f(t) = \sqrt t = t^{\frac{1}{2}}$

    Die Wurzel aus einer negativen Zahl kann nicht gezogen werden.

    Beispiel: $a=3$
    $I_3(x)= \int\limits_{3}^{x} \sqrt t ~\text{d}t = \Bigl[\frac{2}{3} \sqrt {t^3}\Bigr]_{3}^{x} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{2}{3} \sqrt {3^3} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - 2 \sqrt 3 $

    Lösung

    Um die Integralfunktion $I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} \sqrt t ~\text{d}t$ zu bestimmen, setzen wir die gegebenen Werte für $a$ ein und bestimmen dann das Integral mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t = F(x) - F(a)$

    Wir benötigen also die Stammfunktion der gegebenen Funktion $f(t) = \sqrt t$. Dazu schreiben wir sie als Potenz und berechnen die Stammfunktion mit Hilfe der Potenzregel:

    $\displaystyle f(t) = \sqrt t = t^{\frac{1}{2}} \quad \Rightarrow \quad F(t)= \frac{1}{\frac{1}{2} +1} t^{\frac{1}{2}+1} = \frac{1}{\frac{3}{2}} t^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \sqrt {t^3}$


    • $a=1$:
    $\displaystyle I_1(x)= \int\limits_{1}^{x} \sqrt t ~\text{d}t = \bigg[\frac{2}{3} \sqrt {t^3}\bigg]_{1}^{x} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{2}{3} \sqrt {1^3} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{2}{3}$
    • $a=0$:
    $ \displaystyle I_0(x)= \int\limits_{0}^{x} \sqrt t ~\text{d}t = \bigg[\frac{2}{3} \sqrt {t^3}\bigg]_{0}^{x} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{2}{3} \sqrt {0^3} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3}$
    • $a=2$:
    $\displaystyle I_2(x)= \int\limits_{2}^{x} \sqrt t ~\text{d}t = \bigg[\frac{2}{3} \sqrt {t^3}\bigg]_{2}^{x} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{2}{3} \sqrt {2^3} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{4}{3} \sqrt 2$
    • $a=-1$:
    $\displaystyle I_{-1}(x)= \int\limits_{-1}^{x} \sqrt t ~\text{d}t = \bigg[\frac{2}{3} \sqrt {t^3}\bigg]_{-1}^{x} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{2}{3} \sqrt {(-1)^3} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{2}{3} \sqrt {-1}$
    Hier müsste die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden. Dies ist nicht möglich. Daher ist $I_{-1}(x)$ nicht definiert.

    • $a=4$:
    $\displaystyle I_4(x)= \int\limits_{4}^{x} \sqrt t ~\text{d}t = \bigg[\frac{2}{3} \sqrt {t^3}\bigg]_{4}^{x} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{2}{3} \sqrt {4^3} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{16}{3}$
  • Stelle die markierte Fläche als Integral dar.

    Tipps

    In den Abbildungen können wir direkt die Integralgrenzen ablesen. Außerdem können wir die Funktionsart (linear, quadratische, trigonometrisch) identifizieren und die Integrale so zuordnen.

    $A= \displaystyle \int\limits_{0}^{2} t^2+1 ~\text{d}t$

    Lösung

    Wir wissen nun, dass die Integralfunktion $I_a(x)$ einer Funktion $f$ zur unteren Grenze $a$ einem bestimmten Integral entspricht. Bei diesem bestimmten Integral ist wichtig, dass die obere Grenze kein fester Wert, sondern die Variable $x$ ist. Anschaulich stellt die Integralfunktion die Flächenbilanz zwischen den beiden Grenzen dar.

    Genauso können wir ein bestimmtes Integral $\int\limits_a^b f(x)~\text{d}x$ als Flächenbilanz zwischen dem Funktionsgraphen und der $x$-Achse interpretieren. Die Integralgrenzen $a$ und $b$ beschreiben dabei die Geraden $x = a$ und $x = b$, welche die Fläche begrenzen.

    In den Abbildungen können wir also immer direkt die Integralgrenzen ablesen. Außerdem können wir die Funktionsart (linear, quadratische, trigonometrisch) identifizieren und die Integrale so zuordnen:

    • Abbildung 1: Grenzen $1$ und $3$, quadratische Funktion $\quad \Rightarrow \quad \int\limits_{1}^{3} t^2 ~\text{d}t$
    • Abbildung 2: Grenzen $1$ und $4$, lineare Funktion $\quad \Rightarrow \quad \int\limits_{1}^{4} t+1 ~\text{d}t$
    • Abbildung 3: Grenzen $1$ und $4$, quadratische Funktion $\quad \Rightarrow \quad \int\limits_{1}^{4} (t-2)^2+1 ~\text{d}t$
    • Abbildung 4: Grenzen $2$ und $5$, trigonometrische Funktion $\quad \Rightarrow \quad \int\limits_{2}^{5} 0,5 \cos (-x+3)+1 ~\text{d}t$
  • Überprüfe die Zusammenhänge zwischen Integralfunktion, Funktion und Ableitungen.

    Tipps

    Eine Integralfunktionen von $f$ ist immer auch eine Stammfunktion von $f$.

    $I_a(a) = F(a) - F(a)= 0$

    Das bedeutet, die untere Grenze $a$ einer Integralfunktion ist gleichzeitig auch immer eine Nullstelle der Integralfunktion.

    Lösung

    Die Integralfunktion $I_a(x)$ einer Funktion $f$ zur unteren Grenze $a$ entspricht einem bestimmten Integral, nur dass die obere Grenze kein fester Wert, sondern die Variable $x$ ist:

    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t$

    Dabei gilt:

    • Aussage 1: Eine Integralfunktionen von $f$ ist immer auch eine Stammfunktion von $f$.
    • Aussage 2: Die Integralfunktion hat bei der unteren Grenze $a$ eine Nullstelle.
    Wir betrachten dazu ein Beispiel: $f(x)=2x$. Für die Integralfunktion $I_a(x)$ wählen wir die Variable $t$ für $f(t)=2t$ und schreiben:

    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t = \int\limits_{a}^{x} 2t \text{d}t = \Bigl[t^2\Bigr]_{a}^{x} = x^2-a^2 $

    Wir überprüfen nun die Aussagen:

    • $I_3(3)=0$ $\quad$ richtig wegen Aussage 1, im Beispiel gilt: $I_3(3)=3^2-3^2=0$
    • $I_3(0)=0$ $\quad$ falsch wegen Aussage 1, im Beispiel gilt: $I_3(0)=0^2-3^2=-9$
    • $I''_0(x)=f'(x)$ $\quad$ richtig wegen Aussage 2, im Beispiel gilt: $I''_0(x)=(x^2)'' = (2x)' = 2 = f'(x)$
    • $I''_3(x)=f'(x)+3x$ $\quad$ falsch wegen Aussage 2, im Beispiel gilt: $I''_0(x)=(x^2)'' = (2x)' = 2 = f'(x)$
    • $I'_0(x)=0$ $\quad$ falsch wegen Aussage 2, im Beispiel gilt: $I'_0(x)=(x^2)' = 2x$
    • $I'_1(x)=f'(x)$ $\quad$ falsch wegen Aussage 2, im Beispiel gilt: $I'_1(x)=(x^2-1)' = 2x = f(x)$
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