Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Integralfunktion – Definition

Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 4.1 / 7 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Integralfunktion – Definition
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Integralfunktion – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Integralfunktion – Definition kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, ob die Aussagen über die Integralfunktion richtig sind.

    Tipps

    Die Integralfunktion $I_a(x)$ einer Funktion $f$ zur unteren Grenze $a$ entspricht einem bestimmten Integral, nur dass die obere Grenze kein fester Wert, sondern die Variable $x$ ist.

    Es gilt:

    $\int\limits_{a}^{a} f(x) \text{d}x = 0$

    Lösung

    Die Integralfunktion $I_a(x)$ einer Funktion $f$ zur unteren Grenze $a$ entspricht einem bestimmten Integral, nur dass die obere Grenze kein fester Wert, sondern die Variable $x$ ist. Wir schreiben:

    $I_a(x)=\displaystyle \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t$

    Dabei ist es wichtig, dass wir die abhängige Variable der Funktion $f$ nicht mit $x$ benennen, da das $x$ als obere Grenze verwendet wird.

    'Für die Integralfunktion gilt: $I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(x) ~\text{d}x$.' – Falsch.

    'Anschaulich stellt die Integralfunktion die Flächenbilanz zwischen den beiden Grenzen dar.' – Richtig.

    Wir können die Integralfunktion konkret bestimmen, wenn wir die Funktion $f$ als Integrand und die untere Grenze $a$ gegeben haben. Dazu verwenden wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t = F(x) - F(a)$

    'Um die Integralfunktion konkret zu bestimmen, verwenden wir die Ableitungsregeln.' – Falsch, wir verwenden die Integrationsregeln.

    Wir setzen dann die obere und untere Grenze in eine gefundene Stammfunktion ein, und erhalten als Ergebnis einen Funktionsterm, so wie wir ihn gewohnt sind.

    'Eine Integralfunktion von $f$ ist immer auch eine Stammfunktion von $f$.' – Richtig.
    Allerdings handelt es sich um eine spezielle Stammfunktion: Denn sie hat bei der unteren Grenze $a$ eine Nullstelle, da der Funktionsterm durch $F(x)-F(a)$ gebildet wird. Wenn wir also für $x=a$ einsetzen, ergibt sich der Funktionswert Null. Es gilt: $\int\limits_{a}^{a} f(x) ~\text{d}x = 0$.

    'Die Integralfunktion hat bei der unteren Grenze $a$ eine Nullstelle.' – Richtig.

    Wir betrachten noch ein Beispiel:

    Wir betrachten die Funktion $f(x)=2x$. Für die Integralfunktion $I_a(x)$ wählen wir dann jedoch die abhängige Variable $t$ und schreiben:
    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t = \int\limits_{a}^{x} 2t ~\text{d}t $
    Wählen wir als untere Grenze $a=0$, so ergibt sich:
    $\displaystyle I_0(x)= \int\limits_{0}^{x} 2t ~\text{d}t = \Big[t^2\Big]_{0}^{x} = x^2-0^2 = x^2 $
    Wir können also beispielsweise für $x=3$ die Flächenbilanz zwischen $0$ und $3$ unter dem Funktionsgraphen von $f(t)=2t$ bestimmen. (siehe Abbildung)

  • Berechne die Funktionswerte der Integralfunktion.

    Tipps

    Wir können die Integralfunktion konkret mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bestimmen:

    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t = F(x) - F(a)$

    Anschaulich stellt die Integralfunktion die Flächenbilanz zwischen den beiden Grenzen dar, hier zum Beispiel zwischen $0$ und $3$.

    $\displaystyle \int 2t ~\text{d}t = t^2 + c = F(t)$

    Lösung

    Die Integralfunktion $I_a(x)$ einer Funktion $f$ zur unteren Grenze $a$ entspricht einem bestimmten Integral, nur dass die obere Grenze kein fester Wert, sondern die Variable $x$ ist. Wir schreiben allgemein:

    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t)~ \text{d}t$

    In unserem Beispiel lautet die Integralfunktion also:

    $\displaystyle I_0(x)= \int\limits_{0}^{x} 2t ~\text{d}t$

    Anschaulich stellt die Integralfunktion die Flächenbilanz zwischen den beiden Grenzen dar.

    Wir können die Integralfunktion konkret mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bestimmen:

    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t = F(x) - F(a)$

    In unserem Beispiel wenden wir ihn wie folgt an:

    $ \displaystyle I_0(x)= \int\limits_{0}^{x} 2t ~\text{d}t = \Bigl[t^2\Bigr]_{0}^{x} = x^2-0^2 = x^2 $

    Wir können also beispielsweise für $x=1{,}5$ die Flächenbilanz zwischen $0$ und $1{,}5$ unter dem Funktionsgraphen von $f(t)=2t$ bestimmen. Dazu setzen wir in die gefundene Integralfunktion ein:
    $I_0(1{,}5) = 1{,}5^2 = 2{,}25$

    So ergeben sich auch die anderen Funktionswerte:

    • $I_0(2) = 2^2 = 4$
    • $I_0(3) = 3^2 = 9$
    • $I_0(5) = 5^2 = 25$
  • Bestimme den Funktionsterm der Integralfunktionen $I_a(x)$.

    Tipps

    Setze zunächst $a$ und $f(t)$ in die Integralfunktion

    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t$ ein.

    Beispiel: $a=3$ und $f(t)=4t^2$

    $\displaystyle I_3(x)= \int\limits_{3}^{x} 4t^2 ~\text{d}t = \Bigl[\frac{4}{3}t^3\Bigr]_{3}^{x} = \frac{4}{3}x^3-\frac{4}{3} \cdot 3^3 = \frac{4}{3}x^3-36$

    Lösung

    Wir können die Integralfunktion $I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t$ mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bestimmen. Dazu setzen wir jeweils zuerst $a$ und $f(t)$ ein, und bestimmen dann das Integral:

    Beispiel 1: $a=1$ und $f(t)=2t^2$

    $\displaystyle I_1(x)= \int\limits_{1}^{x} 2t^2 ~\text{d}t = \bigg[\frac{2}{3}t^3\bigg]_{1}^{x} = \frac{2}{3}x^3-\frac{2}{3} \cdot 1^3 = \frac{2}{3}x^3-\frac{2}{3}$

    Beispiel 2: $a=3$ und $f(t)=t^3$

    $\displaystyle I_3(x)= \int\limits_{3}^{x} t^3 \text{d}t = \bigg[\frac{1}{4}t^4\bigg]_{3}^{x} = \frac{1}{4}x^4-\frac{1}{4} \cdot 3^4 = \frac{1}{4}x^4-\frac{81}{4}$

    Beispiel 3: $a=1$ und $f(t)=3t^2$

    $\displaystyle I_1(x)= \int\limits_{1}^{x} 3t^2 \text{d}t = \Bigl[ t^3\Bigr]_{1}^{x} = x^3-1^3 = x^3-1$

    Beispiel 4: $a=2$ und $f(t)=2t^3$

    $\displaystyle I_2(x)= \int\limits_{2}^{x} 2t^3 \text{d}t = \bigg[\frac{1}{2}t^4\bigg]_{2}^{x} = \frac{1}{2}x^4- \frac{1}{2}\cdot 2^4 = \frac{1}{2}x^4-8$

  • Ermittle die Integralfunktion für unterschiedliche Werte von $a$.

    Tipps

    $f(t) = \sqrt t = t^{\frac{1}{2}}$

    Die Wurzel aus einer negativen Zahl kann nicht gezogen werden.

    Beispiel: $a=3$
    $I_3(x)= \int\limits_{3}^{x} \sqrt t ~\text{d}t = \Bigl[\frac{2}{3} \sqrt {t^3}\Bigr]_{3}^{x} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{2}{3} \sqrt {3^3} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - 2 \sqrt 3 $

    Lösung

    Um die Integralfunktion $I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} \sqrt t ~\text{d}t$ zu bestimmen, setzen wir die gegebenen Werte für $a$ ein und bestimmen dann das Integral mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t = F(x) - F(a)$

    Wir benötigen also die Stammfunktion der gegebenen Funktion $f(t) = \sqrt t$. Dazu schreiben wir sie als Potenz und berechnen die Stammfunktion mithilfe der Potenzregel:

    $\displaystyle f(t) = \sqrt t = t^{\frac{1}{2}} \quad \Rightarrow \quad F(t)= \frac{1}{\frac{1}{2} +1} t^{\frac{1}{2}+1} = \frac{1}{\frac{3}{2}} t^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \sqrt {t^3}$


    • $a=1$:
    $\displaystyle I_1(x)= \int\limits_{1}^{x} \sqrt t ~\text{d}t = \bigg[\frac{2}{3} \sqrt {t^3}\bigg]_{1}^{x} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{2}{3} \sqrt {1^3} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{2}{3}$
    • $a=0$:
    $ \displaystyle I_0(x)= \int\limits_{0}^{x} \sqrt t ~\text{d}t = \bigg[\frac{2}{3} \sqrt {t^3}\bigg]_{0}^{x} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{2}{3} \sqrt {0^3} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3}$
    • $a=2$:
    $\displaystyle I_2(x)= \int\limits_{2}^{x} \sqrt t ~\text{d}t = \bigg[\frac{2}{3} \sqrt {t^3}\bigg]_{2}^{x} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{2}{3} \sqrt {2^3} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{4}{3} \sqrt 2$
    • $a=-1$:
    $\displaystyle I_{-1}(x)= \int\limits_{-1}^{x} \sqrt t ~\text{d}t = \bigg[\frac{2}{3} \sqrt {t^3}\bigg]_{-1}^{x} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{2}{3} \sqrt {(-1)^3} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{2}{3} \sqrt {-1}$
    Hier müsste die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden. Dies ist nicht möglich. Daher ist $I_{-1}(x)$ nicht definiert.

    • $a=4$:
    $\displaystyle I_4(x)= \int\limits_{4}^{x} \sqrt t ~\text{d}t = \bigg[\frac{2}{3} \sqrt {t^3}\bigg]_{4}^{x} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{2}{3} \sqrt {4^3} = \frac{2}{3} \sqrt {x^3} - \frac{16}{3}$
  • Stelle die markierte Fläche als Integral dar.

    Tipps

    In den Abbildungen können wir direkt die Integralgrenzen ablesen. Außerdem können wir die Funktionsart (linear, quadratisch, trigonometrisch) identifizieren und die Integrale so zuordnen.

    $A= \displaystyle \int\limits_{0}^{2} t^2+1 ~\text{d}t$

    Lösung

    Wir wissen nun, dass die Integralfunktion $I_a(x)$ einer Funktion $f$ zur unteren Grenze $a$ einem bestimmten Integral entspricht. Bei diesem bestimmten Integral ist wichtig, dass die obere Grenze kein fester Wert, sondern die Variable $x$ ist. Anschaulich stellt die Integralfunktion die Flächenbilanz zwischen den beiden Grenzen dar.

    Genauso können wir ein bestimmtes Integral $\int\limits_a^b f(x)~\text{d}x$ als Flächenbilanz zwischen dem Funktionsgraphen und der $x$-Achse interpretieren. Die Integralgrenzen $a$ und $b$ beschreiben dabei die Geraden $x = a$ und $x = b$, welche die Fläche begrenzen.

    In den Abbildungen können wir also immer direkt die Integralgrenzen ablesen. Außerdem können wir die Funktionsart (linear, quadratisch, trigonometrisch) identifizieren und die Integrale so zuordnen:

    • Abbildung 1: Grenzen $1$ und $3$, quadratische Funktion $\quad \Rightarrow \quad \int\limits_{1}^{3} t^2 ~\text{d}t$
    • Abbildung 2: Grenzen $1$ und $4$, lineare Funktion $\quad \Rightarrow \quad \int\limits_{1}^{4} t+1 ~\text{d}t$
    • Abbildung 3: Grenzen $1$ und $4$, quadratische Funktion $\quad \Rightarrow \quad \int\limits_{1}^{4} (t-2)^2+1 ~\text{d}t$
    • Abbildung 4: Grenzen $2$ und $5$, trigonometrische Funktion $\quad \Rightarrow \quad \int\limits_{2}^{5} 0,5 \cos (-x+3)+1 ~\text{d}t$
  • Überprüfe die Zusammenhänge zwischen Integralfunktion, Funktion und Ableitungen.

    Tipps

    Eine Integralfunktion von $f$ ist immer auch eine Stammfunktion von $f$.

    $I_a(a) = F(a) - F(a)= 0$

    Das bedeutet, die untere Grenze $a$ einer Integralfunktion ist gleichzeitig auch immer eine Nullstelle der Integralfunktion.

    Lösung

    Die Integralfunktion $I_a(x)$ einer Funktion $f$ zur unteren Grenze $a$ entspricht einem bestimmten Integral, nur dass die obere Grenze kein fester Wert, sondern die Variable $x$ ist:

    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t$

    Dabei gilt:

    • Aussage 1: Eine Integralfunktion von $f$ ist immer auch eine Stammfunktion von $f$.
    • Aussage 2: Die Integralfunktion hat bei der unteren Grenze $a$ eine Nullstelle.
    Wir betrachten dazu ein Beispiel: $f(x)=2x$. Für die Integralfunktion $I_a(x)$ wählen wir die Variable $t$ für $f(t)=2t$ und schreiben:

    $\displaystyle I_a(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t) ~\text{d}t = \int\limits_{a}^{x} 2t \text{d}t = \Bigl[t^2\Bigr]_{a}^{x} = x^2-a^2 $

    Wir überprüfen nun die Aussagen:

    • $I_3(3)=0$ $\quad$ richtig wegen Aussage 1, im Beispiel gilt: $I_3(3)=3^2-3^2=0$
    • $I_3(0)=0$ $\quad$ falsch wegen Aussage 1, im Beispiel gilt: $I_3(0)=0^2-3^2=-9$
    • $I''_0(x)=f'(x)$ $\quad$ richtig wegen Aussage 2, im Beispiel gilt: $I''_0(x)=(x^2)'' = (2x)' = 2 = f'(x)$
    • $I''_3(x)=f'(x)+3x$ $\quad$ falsch wegen Aussage 2, im Beispiel gilt: $I''_0(x)=(x^2)'' = (2x)' = 2 = f'(x)$
    • $I'_0(x)=0$ $\quad$ falsch wegen Aussage 2, im Beispiel gilt: $I'_0(x)=(x^2)' = 2x$
    • $I'_1(x)=f'(x)$ $\quad$ falsch wegen Aussage 2, im Beispiel gilt: $I'_1(x)=(x^2-1)' = 2x = f(x)$
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

8.155

sofaheld-Level

6.601

vorgefertigte
Vokabeln

7.454

Lernvideos

35.612

Übungen

33.157

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden