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Faktor- und Summenregel für Integrale

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Team Digital
Faktor- und Summenregel für Integrale
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Faktor- und Summenregel für Integrale

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Funktionen mit der Produkt- und Summenregel zu integrieren.

Zunächst lernst du einige wichtige Basis-Integrale kennen. Anschließend lernst du, wie du die Produktregel anwenden kannst. Abschließend erfährst du, wie du die Summenregel anwenden kannst.

Faktorregel Summenregel

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Integral, Produktregel und Summenregel.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits die Potenzregel für Integrale kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu verschiedenen Funktionstypen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, "Integrieren durch Substitution" zu lernen.

Transkript Faktor- und Summenregel für Integrale

Wünschst du dir auch manchmal, du könntest etwas Geschehenes einfach wieder rückgängig machen? Das ist im wahren Leben leider meist nicht möglich. Zum Glück haben wir die Mathematik! Hier können wir eine Ausversehen abgeleitete Funktion wieder in ihre Ursprungsform bringen, indem wir sie mit der Faktor- und Summenregel integrieren. Integrieren – dazu vielleicht erstmal eine kurze Wiederholung: Die Potenzregel für Integrale hilft uns, wenn wir eine Potenzfunktion, beziehungsweise eine Funktion, die wir als Potenz darstellen können, integrieren möchten. Dafür müssen wir den Exponenten der Funktion um eins erhöhen, und die Potenz dann mit dem Kehrwert des um eins erhöhten Exponenten multiplizieren. Außerdem addieren wir die Integrationskonstante c, da ja das unbestimmte Integral die Menge aller Stammfunktionen angibt. Die Potenzregel für Integrale ist somit das Gegenstück zur Potenzregel für Ableitungen. Bevor wir jetzt zur Faktor- und Summenregel kommen, schauen wir uns am Besten noch einige grundlegende Integrale an, die wir uns gut merken sollten! Zunächst einmal sollten wir wissen was passiert, wenn wir eine konstante Zahl integrieren. Wir nehmen hier mal stellvertretend die drei. Aber ganz egal um welche Zahl es sich handelt: Wir integrieren sie, indem wir einfach ein x dranhängen und die Integrationskonstante c addieren. Dann ist da noch das Integral der Funktion „eins durch x“. Das ist ja gleich „x hoch minus-eins“ und dieser Exponent ist bei der Potenzregel ausgeschlossen. Wenn wir versuchen diese Funktion mit der Potenzregel zu integrieren, kommen wir nicht weit, da wir an dieser Stelle durch null teilen müssten. Das können wir deiner Mathelehrkraft wirklich nicht antun! Hierzu musst du dir einfach merken, dass dieses Integral gleich dem natürlichen Logarithmus des Betrags von x ist. Manche nehmen es nicht ganz so genau, aber wenn du hier die Betragsstriche nicht vergisst und vor allem auch c immer mitschreibst, bist du auf jeden Fall auf der sicheren Seite. Für sowas will man in der Klausur wirklich keine Punkte abgezogen bekommen! Deutlich einfacher ist der Fall „e hoch x“. Da sich „e hoch x“ beim Ableiten nicht verändert, ändert sich auch beim Integrieren nichts. Außer, dass wir natürlich auch hier die Integrationskonstante c nicht vergessen dürfen! Und dann gibt es da noch unsere alten Bekannten Sinus und Cosinus. Hierzu kennst du vielleicht noch diesen praktischen Kreislauf als Merkhilfe, der anzeigt, wie wir Sinus und Cosinus ableiten können. Dazu müssen wir nur mit dem Uhrzeigersinn gehen. Da wir durch das Integrieren das Ableiten umkehren, funktioniert dieser Kreislauf beim Integrieren genau andersherum, also gegen den Uhrzeigersinn. Das Integral von Sinus ist also minus-Cosinus, minus-Cosinus integriert ergibt minus-Sinus, dann erhält man Cosinus und schließlich wieder Sinus. Und so weiter, ein ewiger Kreislauf! Wenn du diese wichtigen Integrale auf dem Kasten hast, ist das eine super Basis. Denn diese Funktionen treten natürlich nicht immer in Reinform auf, sondern können auch mit einem Faktor multipliziert oder zu einer Summe kombiniert werden. Dann kommen Faktor- und Summenregel zum Einsatz! Das Schöne ist: Diese beiden Regeln sind ganz einfach und funktionieren praktisch genauso wie bei Ableitungen! Zunächst zur Faktorregel. Sie besagt, dass ein Faktor, der eine reelle Zahl ist, beim Integrieren einfach stehen bleibt. Wir können also einen konstanten Faktor einfach aus dem Integral ziehen. Das schauen wir uns am Besten an einem Beispiel an. Um diese Funktion zu integrieren, können wir den Faktor Acht also zunächst aus dem Integral ziehen. Dann die Potenzfunktion wie gewohnt integrieren, und anschließend mit dem unveränderten Faktor Acht multiplizieren und ein c spendieren. Easy! Wir können das Ganze ganz leicht überprüfen, indem wir die Funktion einfach wieder ableiten. Du weißt schon. Rückgängig machen und so. Und siehe da! Passt alles. Zur Summenregel! Auch die ist sehr intuitiv und gut zu merken! Sie besagt, dass das Integral einer Summe von zwei Funktionen – nennen wir sie „f von x“ und „g von x“ – gleich der Summe der Integrale der beiden Funktionen ist. In anderen Worten: Wir können eine Summe integrieren, indem wir die Summanden einfach einzeln integrieren. Genauso wie beim Ableiten! Auch dazu schauen wir uns ein kurzes Beispiel an. Um dieses Integral zu berechnen, können wir es zunächst in drei Integrale zerlegen. Dann können wir diese einzeln berechnen, indem wir Potenz- und Faktorregel anwenden. Und schon haben wir das Integral berechnet. Da c irgendeine reelle Zahl sein kann, können wir es erst am Ende addieren. Aber nicht vergessen, sonst gibt's meistens Punktabzug! Um unser Ergebnis zu überprüfen müssen wir diese Funktion einfach wieder ableiten. Probiere es doch mal aus! Also gut – Was müssen wir uns alles merken? Mit der Faktor- und Summenregel können wir zusammengesetzte Funktionen integrieren. Das funktioniert genauso wie beim Ableiten. Sowohl bei der Faktorregel – die besagt, dass konstante Faktoren beim Integrieren erhalten bleiben – als auch bei der Summenregel – nach der wir Summanden einer Funktion einzeln integrieren können. Außerdem sollten wir einige Standardintegrale – hier siehst du sie noch einmal – und den „Sinus-Cosinus-Kreislauf“ im Kopf behalten, da diese Funktionen immer mal wieder auftauchen können. Dann sind wir schonmal ganz gut gerüstet, um auch etwas komplizierter aufgebaute Funktion zu integrieren. Na also! Irgendeine Lösung für das Problem lässt sich doch immer finden! Der Tag ist gerettet.

Faktor- und Summenregel für Integrale Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Faktor- und Summenregel für Integrale kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Faktor- und die Summenregel für Integrale.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für die Faktorregel:

    $\displaystyle \int 3x^5 =3 \displaystyle \int x^5 ~\text{d}x = 3 \cdot \frac{1}{6}x^6 + c= \frac{1}{2}x^6+c \quad (c \in \mathbb{R})$

    Die Summenregel besagt, dass das Integral aus einer Summe zweier Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ gleich der Summe der Integrale der beiden Einzelfunktionen ist.

    Lösung

    Die Potenzregel für Integrale hilft uns, wenn wir eine Potenzfunktion integrieren möchten:
    $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$

    Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Potenzfunktion, welche mit einer reellen Zahl $k$ multipliziert wird, so können wir die Faktorregel anwenden: Sie besagt, dass dieser Faktor einfach stehen bleibt:
    $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = \color{#99CC00}{k} \color{black}{~\cdot \int f(x) ~\text{d}x}$

    Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Summe zweier Funktionen, so können wir die Summenregel anwenden. Sie besagt, dass das Integral aus einer Summe zweier Funktionen $f$ und $g$ gleich der Summe der Integrale der beiden Einzelfunktionen ist:
    $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int \color{#99CC00}{f(x)}\color{black}{~\text{d}x}\color{#99CC00}{~+}\color{black}{\int g(x) ~\text{d}x}$

  • Bestimme die Integrale durch Anwendung der Faktor- und Summenregel.

    Tipps

    Versuche, die Integrale zu zerlegen. Wende dabei die Faktor- und Summenregel an:

    • $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $
    • $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$

    Du kannst die Probe machen, indem du die erhaltene Funktion ableitest.

    Lösung

    Um komplexere Integrale zu bestimmen, können wir die Faktor- und die Summenregel anwenden:

    Faktorregel:
    $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $
    Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Funktion, welche mit einer reellen Zahl $k$ multipliziert wird, so bleibt dieser Faktor bei der Integration erhalten.

    Summenregel:
    $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$
    Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Summe zweier Funktionen, so ist das Integral aus der Summe der beiden Funktionen $f$ und $g$ gleich der Summe der Integrale der beiden Einzelfunktionen.

    Wir wenden die Regeln auf die gegebenen Beispiele an:

    Beispiel 1: $\displaystyle \int 8 \cdot x^3 ~\text{d}x $
    Wir ziehen den konstanten Faktor vor das Integral:
    $8 \cdot \displaystyle \int x^3 ~\text{d}x$
    Um das Integral zu berechnen, wenden wir die Potenzregel an:
    $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$
    Damit ergibt sich: $8 \cdot \dfrac{1}{4} x^4 + c = 2x^4 + c$
    Wir können die Probe machen, indem wir die erhaltene Funktion ableiten:
    $(2x^4)' = 2 \cdot 4 \cdot x^3 = 8x^3$
    Da wir die zu integrierende Funktion erhalten, haben wir richtig gerechnet.

    Beispiel 2: $\displaystyle \int x^7 - \frac{1}{3}x + 3 \cdot \cos x ~\text{d}x $
    Wir zerlegen das Integral in drei Teilintegrale:
    $\displaystyle \int x^7 ~\text{d}x + \displaystyle \int - \frac{1}{3}x ~\text{d}x + \displaystyle \int 3 \cdot \cos x ~\text{d}x $
    Um die ersten beiden Integrale zu berechnen, wenden wir die Potenzregel an. Für das dritte Integral müssen wir wissen, dass das Integral der Kosinusfunktion gleich der Sinusfunktion ist. Zudem können wir wie im ersten Beispiel die konstanten Faktoren beim Integrieren einfach stehen lassen:
    $\displaystyle \int x^7 ~\text{d}x + \displaystyle \int - \frac{1}{3}x ~\text{d}x + \displaystyle \int 3 \cdot \cos x ~\text{d}x = \frac{1}{8}x^8 - \frac{1}{6}x^2 + 3 \sin x +c$
    Wir können wieder die Probe machen, indem wir die erhaltene Funktion ableiten:
    $\left(\dfrac{1}{8}x^8 - \dfrac{1}{6}x^2 + 3 \sin x\right)^{\!\prime} = \dfrac{1}{8}\cdot 8 \cdot x^7 - \dfrac{1}{6} \cdot 2 \cdot x^1 + 3 \cos x = x^7 - \dfrac{1}{3}x + 3 \cdot \cos x $
    Da wir die zu integrierende Funktion erhalten, haben wir richtig gerechnet.

  • Berechne die Integrale mit der Faktor- und Summenregel.

    Tipps

    Es gilt:

    $\displaystyle \int 3~\text{d}x =3x+c \quad (c \in \mathbb{R})$

    Wir integrieren eine Konstante, indem wir einfach ein $x$ anhängen und die Integrationskonstante $c$ addieren.

    Die Potenzregel für Integrale hilft uns, wenn wir eine Potenzfunktion integrieren möchten:
    $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$

    Lösung

    Die Integrale der wichtigsten Funktionen sind:

    • $\displaystyle \int 3~\text{d}x =3x+c \quad (c \in \mathbb{R})$
    Wir integrieren eine Konstante, indem wir einfach ein $x$ anhängen und die Integrationskonstante $c$ addieren.
    • $\displaystyle \int \dfrac{1}{x}~\text{d}x =\ln |x|+c \quad (c \in \mathbb{R})$
    Bei der Funktion $\frac{1}{x}$ können wir nicht die Potenzregel anwenden. Das Integral dieser Funktion ist gleich dem natürlichen Logarithmus des Betrags von $x$. Auch hier müssen wir noch die Integrationskonstante $c$ addieren.
    • $\displaystyle \int \sin x~\text{d}x =- \cos x+c \quad (c \in \mathbb{R})$
    Das Integral der Sinusfunktion ist gleich der negativen Kosinusfunktion plus der Integrationskonstanten $c$.
    • $\displaystyle \int \cos x~\text{d}x =\sin x+c \quad (c \in \mathbb{R})$
    Das Integral der Kosinusfunktion ist gleich der Sinusfunktion plus $c$.

    $\quad$

    Um komplexere Integrale zu bestimmen, können wir uns der Potenzregel, der Faktor- und der Summenregel bedienen:

    • $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$
    • $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $
    • $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$
    $\quad$

    Wir wenden die Regeln auf die gegebenen Integrale an:

    • Erstes Integral:
    $\displaystyle \int 3x^2 - \dfrac{\cos x}{2} ~\text{d}x $
    Wir wenden die Faktor- und die Summenregel an:
    $\displaystyle \int 3x^2 - \dfrac{\cos x}{2} ~\text{d}x = 3 \displaystyle \int x^2 ~\text{d}x - \frac{1}{2}\displaystyle \int \cos x ~\text{d}x $
    Wir berechnen nun die Integrale.
    $ 3 \displaystyle \int x^2 ~\text{d}x - \frac{1}{2}\displaystyle \int \cos x ~\text{d}x = 3 \cdot \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2} \cdot \sin x +c$
    Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
    $3 \cdot \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2} \cdot \sin x +c = \color{#99CC00}{x^3 - \dfrac{1}{2} \sin x +c \quad (c \in \mathbb{R})}$
    Probe:
    Wir leiten die erhaltene Funktion ab, und erhalten die zu integrierende Funktion:
    $ \left(x^3 - \dfrac{1}{2} \sin x +c\right)' = 3x^2 - \dfrac{\cos x}{2}$

    • Zweites Integral:
    $\displaystyle \int x^3 + 4 \sin x ~\text{d}x $
    Wir wenden die Faktor- und die Summenregel an:
    $\displaystyle \int x^3 + 4 \sin x ~\text{d}x = \displaystyle \int x^3 ~\text{d}x + 4 \displaystyle \int \sin x ~\text{d}x $
    Wir berechnen nun die Integrale.
    $ \displaystyle \int x^3 ~\text{d}x + 4 \displaystyle \int \sin x ~\text{d}x = \frac{1}{4}x^4 + 4 \cdot (- \cos x) +c $
    Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
    $ \dfrac{1}{4}x^4 + 4 \cdot (- \cos x) +c = \color{#99CC00}{\dfrac{1}{4}x^4 - 4 \cdot \cos x +c \quad (c \in \mathbb{R})}$
    Probe:
    Wir leiten die erhaltene Funktion ab, und erhalten die zu integrierende Funktion:
    $ \left( \dfrac{1}{4}x^4 - 4 \cdot \cos x +c\right)' = x^3 + 4 \sin x $

    • Drittes Integral:
    $\displaystyle \int - \sin x + \frac{4}{x} ~\text{d}x $
    Wir wenden die Faktor- und die Summenregel an:
    $\displaystyle \int - \sin x + \frac{4}{x} ~\text{d}x = - \displaystyle \int \sin x ~\text{d}x + 4 \displaystyle \int \frac{1}{x} ~\text{d}x $
    Wir berechnen nun die Integrale.
    $ - \displaystyle \int \sin x ~\text{d}x + 4 \displaystyle \int \frac{1}{x} ~\text{d}x = - (-\cos x) + 4 \ln |x| +c $
    Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
    $ - (-\cos x) + 4 \ln |x| +c = \cos x + 4 \ln |x| +c = \color{#99CC00}{4 \ln |x| + \cos x +c \quad (c \in \mathbb{R})}$
    Probe:
    Wir leiten die erhaltene Funktion ab, und erhalten die zu integrierende Funktion:
    $ ( \cos x + 4 \ln |x| +c )' = - \sin x + \dfrac{4}{x} $

    • Viertes Integral:
    $\displaystyle \int 5 - \frac{\sin x}{4} ~\text{d}x $
    Wir wenden die Faktor- und die Summenregel an:
    $\displaystyle \int 5 - \frac{\sin x}{4} ~\text{d}x = \displaystyle \int 5 ~\text{d}x - \frac{1}{4}\displaystyle \int \sin x ~\text{d}x $
    Wir berechnen nun die Integrale.
    $ \displaystyle \int 5 ~\text{d}x - \frac{1}{4}\displaystyle \int \sin x ~\text{d}x = 5x - \frac{1}{4} \cdot (-\cos x) +c $
    Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
    $5x + \dfrac{1}{4} \cdot \cos x +c = \color{#99CC00}{5x + \dfrac{\cos x}{4} +c \quad (c \in \mathbb{R})}$
    Probe:
    Wir leiten die erhaltene Funktion ab, und erhalten die zu integrierende Funktion:
    $ \left(5x + \dfrac{\cos x}{4} +c\right)' = 5 - \dfrac{\sin x}{4}$

  • Entscheide, welche Regel bei der Berechnung des Integrals zur Anwendung kommt.

    Tipps

    Die Faktorregel besagt, dass ein konstanter Faktor beim Integrieren einfach stehen bleibt.

    Beispiel:

    $\displaystyle \int x^2 + 3\sin(x) ~\text{d}x$

    $~\displaystyle = \int x^2~\text{d}x + \int 3\sin(x)~\text{d}x$

    $~\displaystyle = \int x^2 ~\text{d}x + 3 \int \sin(x)~\text{d}x$

    Hier wurde zunächst die Summenregel angewendet. Da im hinteren Integral der konstante Faktor $3$ vor $\sin(x)$ steht, müssen wir hier noch die Faktorregel anwenden.

    $\displaystyle \int \dfrac{1}{x}~\text{d}x =\ln |x|+c $

    Lösung

    Um komplexere Integrale zu bestimmen, können wir uns der Faktor- und der Summenregel bedienen:

    Faktorregel:
    $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $
    Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Funktion, welche mit einer reellen Zahl $k$ multipliziert wird, so bleibt dieser Faktor bei der Integration erhalten.

    Summenregel:
    $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$
    Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Summe zweier Funktionen, so ist das Integral aus der Summe der beiden Funktionen $f$ und $g$ gleich der Summe der Integrale der beiden Einzelfunktionen.

    Handelt es sich um eine Summe, bei der einer oder beide Summanden einen konstanten Faktor enthalten, so müssen wir beide Regeln anwenden.

    Wir untersuchen dahingehend die gegebenen Funktionen und ordnen zu:

    Anwendung der Faktorregel:

    • $\displaystyle \int 5 e^x ~\text{d}x $
    Der konstante Faktor ist $5$. Den können wir vor das Integral schreiben: $\displaystyle5 \int e^x ~\text{d}x $
    • $\displaystyle \int \frac{4}{x^2} ~\text{d}x $
    Der konstante Faktor ist $4$. Den können wir wieder vor das Integral schreiben: $\displaystyle 4 \int \frac{1}{x^2} ~\text{d}x $
    • $\displaystyle \int - \frac{e^x}{2} ~\text{d}x $
    Der konstante Faktor ist $-\dfrac{1}{2}$. Auch diesen schreiben wir vor das Integral: $\displaystyle -\frac{1}{2} \int e^x ~\text{d}x $

    Anwendung der Summenregel:

    • $\displaystyle \int 4 - \sin x ~\text{d}x \quad$
    Das Integral besteht aus zwei Summanden. Wir zerlegen es: $\displaystyle \int 4 ~\text{d}x - \int \sin x ~\text{d}x$
    • $\displaystyle \int x^4 + \frac{1}{x} ~\text{d}x \quad$
    Das Integral besteht aus zwei Summanden. Wir zerlegen es: $\displaystyle \int x^4 ~\text{d}x + \int \frac{1}{x} ~\text{d}x$

    Anwendung der Faktor- und der Summenregel:

    • $\displaystyle \int 5 \cdot x^2 - \frac{1}{2} e^x ~\text{d}x \quad $
    Das Integral besteht aus zwei Summanden, welche jeweils einen konstanten Faktor enthalten:

    $\displaystyle 5 \int x^2 ~\text{d}x - \frac{1}{2} \int e^x ~\text{d}x$

    • $\displaystyle \int 3 \cos x -4 ~\text{d}x \quad $
    Das Integral besteht aus zwei Summanden. Der erste Summand enthält außerdem einen konstanten Faktor:

    $\displaystyle 3 \int \cos x ~\text{d}x - \int 4 ~\text{d}x \quad $

  • Gib die Integrale der wichtigsten Funktionen an.

    Tipps

    Bei diesem Kreislauf gehen wir zum Ableiten im Uhrzeigersinn und beim Integrieren gegen den Uhrzeigersinn.

    Die Funktion $e^x$ verändert sich beim Ableiten nicht:

    $\left(e^x\right)^\prime = e^x$

    Lösung

    Wir können mithilfe der Potenzregel für Integrale eine Potenzfunktion integrieren:
    $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$

    Die Faktorregel hilft uns, einen konstanten Faktor $k$ im Integral zu berücksichtigen:
    $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $

    Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Summe zweier Funktionen, so können wir die Summenregel anwenden:
    $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$

    $\quad$

    Diese Regeln helfen uns aber nur, wenn wir die Integrale der wichtigsten Funktionen kennen:

    • $\displaystyle \int 3~\text{d}x =3x+c \quad (c \in \mathbb{R})$
    Wir integrieren eine Konstante, indem wir einfach ein $x$ anhängen und die Integrationskonstante $c$ addieren.

    $\quad$

    • $\displaystyle \int \dfrac{1}{x}~\text{d}x =\ln |x|+c \quad (c \in \mathbb{R})$
    Bei der Funktion $\frac{1}{x}$ können wir nicht die Potenzregel anwenden. Das Integral dieser Funktion ist gleich dem natürlichen Logarithmus des Betrags von $x$. Auch hier müssen wir noch die Integrationskonstante $c$ addieren.

    $\quad$

    • $\displaystyle \int e^x~\text{d}x =e^x+c \quad (c \in \mathbb{R})$
    Da sich $e^x$ beim Ableiten nicht verändert, verändert sich auch beim Integrieren die Funktion nicht. Wir behalten sie also bei und addieren die Integrationskonstante $c$.

    $\quad$

    • $\displaystyle \int \sin x~\text{d}x =- \cos x+c \quad (c \in \mathbb{R})$
    Das Integral der Sinusfunktion ist gleich der negativen Kosinusfunktion plus der Integrationskonstanten $c$.

    $\quad$

    • $\displaystyle \int \cos x~\text{d}x =\sin x+c \quad (c \in \mathbb{R})$
    Das Integral der Kosinusfunktion ist gleich der Sinusfunktion plus $c$.
  • Überprüfe die Berechnungen der Integrale.

    Tipps

    Du kannst zum Vereinfachen eines Terms die dritte binomische Formel verwenden:
    $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

    $\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}$

    Auch Potenzen mit negativem Exponenten $(\neq -1)$ kannst du mit der Potenzregel integrieren:

    $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$

    Lösung

    Um komplexere Integrale zu bestimmen, können wir uns der Potenzregel, der Faktor- und der Summenregel bedienen:

    • $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$
    • $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $
    • $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$

    Wir überprüfen damit die vorliegenden Integrale:

    Erstes Integral:
    $\displaystyle \int \frac{x^5}{5x} -3e^x ~\text{d}x $
    Wir fassen den ersten Summanden zusammen:
    $\displaystyle \int \frac{x^4}{5} -3e^x ~\text{d}x $
    Wir wenden die Summenregel an und teilen das Integral in zwei Teile:
    $\displaystyle \int \frac{x^4}{5} ~\text{d}x + \displaystyle \int -3e^x ~\text{d}x $
    Wir wenden nun die Faktorregel an, und ziehen die konstanten Faktoren vor die Integrale:
    $\dfrac{1}{5} \cdot \displaystyle \int x^4 ~\text{d}x - 3 \cdot \displaystyle \int e^x ~\text{d}x $
    Wir berechnen nun die Integrale. Beim ersten Integral wenden wir die Potenzregel an. Beim zweiten Integral müssen wir wissen, dass sich die $e$-Funktion beim Integrieren nicht verändert. Zuletzt müssen wir noch die Integrationskonstante $c$ addieren:
    $\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{5}x^5 - 3 \cdot e^x +c $
    Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
    $ \dfrac{1}{25}x^5 - 3e^x +c \quad (c \in \mathbb{R})$
    Die vorliegende Lösung ist somit falsch, da einer der beiden Faktoren $\dfrac{1}{5}$ vergessen wurde.

    Zweites Integral:
    $\displaystyle \int 3 - \frac{x^2-1}{x-1} ~\text{d}x $
    Wir fassen den zweiten Summanden zusammen, indem wir die dritte binomische Formel anwenden:
    $ - \dfrac{(x+1) \cdot (x-1)}{x-1} = - \dfrac{x+1}{1} = -(x+1) $
    Wir können nun das Integral zusammenfassen:
    $\displaystyle \int 3 - (x+1) ~\text{d}x = \int 3 - x - 1 ~\text{d}x = \int 2 - x ~\text{d}x$
    Wir wenden die Summenregel an und teilen das Integral in zwei Teile:
    $\displaystyle \int 2 ~\text{d}x -\displaystyle \int x ~\text{d}x $
    Wir berechnen nun die Integrale. Beim ersten Integral beachten wir, dass beim Integrieren einer Konstanten ein $x$ angehängt wird.
    $2x - \dfrac{1}{2}x^2 +c $
    Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
    $ 2x - \dfrac{x^2}{2} +c \quad (c \in \mathbb{R})$
    Die vorliegende Lösung ist somit richtig.

    Drittes Integral:
    $\displaystyle \int \frac{5}{x^5} + \frac{5}{x} ~\text{d}x $
    Wir können die Summanden nicht zusammenfassen und wenden direkt die Summenregel an:
    $\displaystyle \int \frac{5}{x^5} ~\text{d}x + \displaystyle \int\frac{5}{x} ~\text{d}x $
    Wir wenden nun die Faktorregel an, und ziehen die konstanten Faktoren vor die Integrale:
    $5 \cdot \displaystyle \int x^{-5} ~\text{d}x + 5 \cdot \displaystyle \int \frac{1}{x} ~\text{d}x $
    Wir berechnen nun die Integrale. Beim ersten Integral wenden wir die Potenzregel an. Beim zweiten Integral ergibt sich der natürliche Logarithmus vom Betrag von $x$:
    $\dfrac{5}{-4}x^{-4} +5 \cdot \ln |x| +c $
    Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
    $ -\dfrac{5}{4}x^{-4} +5 \cdot \ln |x| +c \quad (c \in \mathbb{R})$
    Die vorliegende Lösung ist somit falsch, da die beiden Summanden falsch zusammengefasst wurden.

    Viertes Integral:
    $\displaystyle \int \frac{1}{2}e (1- e^{x-1}) ~\text{d}x $
    Wir fassen den Term zusammen:
    $ \dfrac{1}{2}e (1- e^{x-1}) = \dfrac{1}{2}e - \dfrac{1}{2}e^1 \cdot e^{x-1} = \dfrac{1}{2}e - \dfrac{1}{2}e^{1+x-1} = \dfrac{1}{2}e - \dfrac{1}{2}e^{x}$
    Wir wenden die Summenregel an und teilen das Integral in zwei Teile:
    $\displaystyle \int \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}e^x ~\text{d}x = \displaystyle \int \frac{1}{2}e ~\text{d}x -\displaystyle \int \frac{1}{2}e^x ~\text{d}x $
    Wir wenden nun die Faktorregel auf das zweite Integral an:
    $\displaystyle \int \frac{1}{2}e ~\text{d}x - \frac{1}{2} \cdot \displaystyle \int e^x ~\text{d}x $
    Wir berechnen nun die Integrale. Beim ersten Integral wird eine Konstante integriert, somit wird beim Integrieren ein $x$ angehängt. Die $e$-Funktion bleibt beim Integrieren erhalten:
    $\dfrac{1}{2}ex - \dfrac{1}{2}e^x +c \quad (c \in \mathbb{R})$
    Die vorliegende Lösung ist somit richtig.

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