Integral und Stammfunktion – Übungen

Die Lösungen lauten:

• $\displaystyle \int x^4\,\text{d}x =$ $\dfrac{1}{5}x^5 + c$
  Lösungsweg:
  Um eine Stammfunktion zur Funktion $f(x) = x^4$ zu finden, erhöhen wir den Exponenten um eins. Aus $4$ wird also $5$. Anschließend dividieren wir den bisherigen Koeffizienten (hier ist er gleich $1$) durch den neuen Exponenten $5$. So entsteht der Term $\frac{1}{5}x^5$. Zum Schluss ergänzt man stets die Integrationskonstante $c$.
  Probe:
  Wenn wir die gefundene Stammfunktion $F(x) = \frac{1}{5}x^5 + c$ ableiten, erhalten wir wieder $x^4$. Die Probe zeigt damit, dass das Ergebnis korrekt ist.

• $\displaystyle \int 3x^2\,\text{d}x =$ $x^3 + c$
  Lösungsweg:
  Der Exponent $2$ wird um eins erhöht, sodass $3$ entsteht. Gleichzeitig teilen wir den Koeffizienten $3$ durch den neuen Exponenten $3$. Dieser Bruch ergibt $1$, weshalb der endgültige Term nur $x^3$ lautet. Wie immer fügen wir die Konstante $c$ hinzu.
  Probe:
  Die Ableitung von $F(x) = x^3 + c$ ergibt $f(x) = 3x^2$. Damit bestätigt die Probe die Richtigkeit unserer Stammfunktion.

• $\displaystyle \int 7x^5\,\text{d}x =$ $\dfrac{7}{6}x^6 + c$
  Lösungsweg:
  Wir erhöhen den Exponenten von $5$ auf $6$. Anschließend teilen wir den Koeffizienten $7$ durch $6$, was zu $\frac{7}{6}x^6$ führt. Abschließend ergänzen wir die Integrationskonstante $c$.
  Probe:
  Leiten wir $F(x) = \frac{7}{6}x^6 + c$ ab, so erhalten wir $f(x) = 7x^5$. Die ursprüngliche Funktion erscheint wieder, daher ist die Stammfunktion korrekt.

• $\displaystyle \int (4x^3 - 2x)\,\text{d}x =$ $x^4 - x^2 + c$
  Lösungsweg:
  Wir integrieren jeden Summanden einzeln.
  • Für $4x^3$ erhöhen wir den Exponenten auf $4$ und teilen den Koeffizienten $4$ durch $4$. Dadurch entsteht $x^4$.
  • Für $-2x$ erhöhen wir den Exponenten von $1$ auf $2$ und teilen $-2$ durch $2$. Das liefert $-x^2$.
  Durch Zusammensetzen der Einzelterme und Hinzufügen der Konstante $c$ erhalten wir die Gesamtstammfunktion $x^4 - x^2 + c$.
  Probe:
  Die Ableitung von $F(x) = x^4 - x^2 + c$ ergibt $f(x) = 4x^3 - 2x$ und stimmt somit mit der ursprünglichen Funktion überein.

• $\displaystyle \int (x^2 + 3x + 1)\,\text{d}x =$ $\dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{3}{2}x^2 + x + c$
  Lösungsweg:
  Zuerst betrachten wir den Term $x^2$. Beim Integrieren erhöht sich sein Exponent auf $3$, und wir teilen den Koeffizienten $1$ durch $3$. So entsteht der Ausdruck $\tfrac{1}{3}x^3$.
  Anschließend widmen wir uns dem Summanden $3x$. Sein Exponent wächst von $1$ auf $2$, während der Koeffizient $3$ durch $2$ geteilt wird. Dadurch erhalten wir $\tfrac{3}{2}x^2$.
  Der konstante Summand $1$ geht beim Integrieren in den linearen Term $x$ über.
  Fügt man diese drei Teilresultate zusammen und ergänzt die Integrationskonstante, ergibt sich die Stammfunktion $\tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{3}{2}x^2 + x + c$.
  Probe:
  Leiten wir $F(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + c$ ab, so erhalten wir wieder $f(x) = x^2 + 3x + 1$. Damit ist die Probe erfolgreich.

• $\displaystyle \int -5x^9\,\text{d}x =$ $-\dfrac{1}{2}x^{10} + c$
  Lösungsweg:
  Zuerst erhöhen wir den Exponenten $9$ zu $10$. Danach teilen wir den Koeffizienten $-5$ durch $10$, was $-\tfrac{1}{2}$ ergibt. Die Integrationskonstante $c$ wird hinzugefügt, sodass die Stammfunktion $-\tfrac{1}{2}x^{10} + c$ lautet.
  Probe:
  Die Ableitung von $F(x) = -\frac{1}{2}x^{10} + c$ führt zurück zu $f(x) = -5x^9$. Damit bestätigt die Probe die Richtigkeit des Ergebnisses.

Rechenweg:
Wir gucken uns das unbestimmte Integral an und benutzen hier die Potenzregel für Integrale.

$$\int x^3 \ \text{d}x = \frac{1}{4}x^4 + c \quad c \in \mathbb{R} $$

Probe:
$$ (F(x))^\prime = \left(\frac{1}{4}x^4\right)^\prime = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot x^3 = x^3 = f(x)$$

Lösung:
Jede Stammfunktion von $f(x)$ besitzt die Form $F(x) + c = \frac{1}{4}x^4 + c$ mit der Konstanten $c \in \mathbb{R}$.

Rechenweg:
Wir bestimmen das unbestimmte Integral von $f(x)$, indem wir die Potenzregel anwenden: Wir erhöhen den Exponenten um eins und teilen durch den neuen Exponenten.

$$\int x^4 \ \text{d}x = \frac{1}{5}x^5 + c \quad c \in \mathbb{R} $$

Probe:
$$ (F(x))^\prime = \left(\frac{1}{5}x^5\right)^\prime = 5 \cdot \frac{1}{5} \cdot x^4 = x^4 = f(x)$$

Lösung:
Jede Stammfunktion von $f(x)$ besitzt die Form $F(x) + c = \frac{1}{5}x^5 + c$ mit der Konstanten $c \in \mathbb{R}$.

Rechenweg:
Wir bestimmen das unbestimmte Integral von $f(x)$, indem wir die Potenzregel anwenden und den Faktor 7 konstant lassen.

$$\int 7x^3 \ \text{d}x = 7 \cdot \frac{1}{4}x^4 + c = \frac{7}{4}x^4 + c \quad c \in \mathbb{R} $$

Probe:
$$ (F(x))^\prime = \left(\frac{7}{4}x^4\right)^\prime = 4 \cdot \frac{7}{4} \cdot x^3 = 7x^3 = f(x)$$

Lösung:
Jede Stammfunktion von $f(x)$ besitzt die Form $F(x) + c = \frac{7}{4}x^4 + c$ mit der Konstanten $c \in \mathbb{R}$.

Rechenweg:
Wir integrieren $f(x)$, indem wir die Potenzregel anwenden und den Koeffizienten $-3$ berücksichtigen.

$$\int -3x^2 \ \text{d}x = -3 \cdot \frac{1}{3}x^3 + c = -x^3 + c \quad c \in \mathbb{R} $$

Probe:
$$ (F(x))^\prime = \left(-x^3\right)^\prime = -3x^2 = f(x)$$

Lösung:
Jede Stammfunktion von $f(x)$ besitzt die Form $F(x) + c = -x^3 + c$ mit der Konstanten $c \in \mathbb{R}$.

Rechenweg:
Wir erhöhen den Exponenten um eins und teilen durch den neuen Exponenten, wobei der Faktor 5 erhalten bleibt.

$$\int 5x^5 \ \text{d}x = 5 \cdot \frac{1}{6}x^6 + c = \frac{5}{6}x^6 + c \quad c \in \mathbb{R} $$

Probe:
$$ (F(x))^\prime = \left(\frac{5}{6}x^6\right)^\prime = 6 \cdot \frac{5}{6} \cdot x^5 = 5x^5 = f(x)$$

Lösung:
Jede Stammfunktion von $f(x)$ besitzt die Form $F(x) + c = \frac{5}{6}x^6 + c$ mit der Konstanten $c \in \mathbb{R}$.

Rechenweg:
Wir integrieren jeden Term getrennt, indem wir die Potenzregel jeweils anwenden.

$$\int (2x^7 - x^3) \ \text{d}x = 2 \cdot \frac{1}{8}x^8 - \frac{1}{4}x^4 + c = \frac{1}{4}x^8 - \frac{1}{4}x^4 + c \quad c \in \mathbb{R} $$

Probe:
$$ (F(x))^\prime = \left(\frac{1}{4}x^8 - \frac{1}{4}x^4\right)^\prime = 8 \cdot \frac{1}{4}x^7 - 4 \cdot \frac{1}{4}x^3 = 2x^7 - x^3 = f(x)$$

Lösung:
Jede Stammfunktion von $f(x)$ besitzt die Form $F(x) + c = \frac{1}{4}x^8 - \frac{1}{4}x^4 + c$ mit der Konstanten $c \in \mathbb{R}$.

Rechenweg:
Wir integrieren beide Terme einzeln mit der Potenzregel.

$$\int (4x^2 + 6x) \ \text{d}x = 4 \cdot \frac{1}{3}x^3 + 6 \cdot \frac{1}{2}x^2 + c = \frac{4}{3}x^3 + 3x^2 + c \quad c \in \mathbb{R} $$

Probe:
$$ (F(x))^\prime = \left(\frac{4}{3}x^3 + 3x^2\right)^\prime = 4x^2 + 6x = f(x)$$

Lösung:
Jede Stammfunktion von $f(x)$ besitzt die Form $F(x) + c = \frac{4}{3}x^3 + 3x^2 + c$ mit der Konstanten $c \in \mathbb{R}$.

Rechenweg:
Wir wenden die Potenzregel auf jeden Term an und addieren die Ergebnisse.

$$\int (-x^4 + 2x) \ \text{d}x = -\frac{1}{5}x^5 + x^2 + c \quad c \in \mathbb{R} $$

Probe:
$$ (F(x))^\prime = \left(-\frac{1}{5}x^5 + x^2\right)^\prime = -x^4 + 2x = f(x)$$

Lösung:
Jede Stammfunktion von $f(x)$ besitzt die Form $F(x) + c = -\frac{1}{5}x^5 + x^2 + c$ mit der Konstanten $c \in \mathbb{R}$.

Rechenweg:
Wir integrieren jeden Summanden einzeln und berücksichtigen, dass die Konstante zu einem linearen Term wird.

$$\int (3x^6 - 5x^2 + 4) \ \text{d}x = 3 \cdot \frac{1}{7}x^7 - 5 \cdot \frac{1}{3}x^3 + 4x + c = \frac{3}{7}x^7 - \frac{5}{3}x^3 + 4x + c \quad c \in \mathbb{R} $$

Probe:
$$ (F(x))^\prime = \left(\frac{3}{7}x^7 - \frac{5}{3}x^3 + 4x\right)^\prime = 3x^6 - 5x^2 + 4 = f(x)$$

Lösung:
Jede Stammfunktion von $f(x)$ besitzt die Form $F(x) + c = \frac{3}{7}x^7 - \frac{5}{3}x^3 + 4x + c$ mit der Konstanten $c \in \mathbb{R}$.

Rechenweg:
Wir integrieren jeden Term einzeln unter Anwendung der Potenzregel.

$$\int (-2x^5 + 3x^3 - x) \ \text{d}x = -2 \cdot \frac{1}{6}x^6 + 3 \cdot \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + c = -\frac{1}{3}x^6 + \frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + c \quad c \in \mathbb{R} $$

Probe:
$$ (F(x))^\prime = \left(-\frac{1}{3}x^6 + \frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2\right)^\prime = -2x^5 + 3x^3 - x = f(x)$$

Lösung:
Jede Stammfunktion von $f(x)$ besitzt die Form $F(x) + c = -\frac{1}{3}x^6 + \frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + c$ mit der Konstanten $c \in \mathbb{R}$.

Rechenweg:
Wir bestimmen zunächst eine Stammfunktion von $f(x)=x^2$ mithilfe der Potenzregel:

$$\int x^2 \ \text{d}x = \frac{1}{3}x^3 + c$$

Anschließend wenden wir den Hauptsatz der Differential‑ und Integralrechnung an:

$$\int_{0}^{3} x^2 \ \text{d}x = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{3} = \frac{1}{3}\cdot3^3 - \frac{1}{3}\cdot0^3 = 9$$

Lösung:
Der Wert des bestimmten Integrals ist $9$.

Rechenweg:
Wir finden eine Stammfunktion von $f(x)=2x$:

$$\int 2x \ \text{d}x = x^2 + c$$

Dann berechnen wir das Integral von 1 bis 4:

$$\int_{1}^{4} 2x \ \text{d}x = \left[x^2\right]_{1}^{4} = 4^2 - 1^2 = 15$$

Lösung:
Der Wert des bestimmten Integrals ist $15$.

Rechenweg:
Eine Stammfunktion von $f(x)=3x^2$ lautet:

$$\int 3x^2 \ \text{d}x = x^3 + c$$

Somit ergibt sich:

$$\int_{0}^{5} 3x^2 \ \text{d}x = \left[x^3\right]_{0}^{5} = 5^3 - 0 = 125$$

Lösung:
Der Wert des bestimmten Integrals ist $125$.

Rechenweg:
Wir bestimmen die Stammfunktion von $f(x)=x^3$:

$$\int x^3 \ \text{d}x = \frac{1}{4}x^4 + c$$

Dann wenden wir die Grenzen an:

$$\int_{0}^{4} x^3 \ \text{d}x = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_{0}^{4} = \frac{1}{4}\cdot4^4 - 0 = 64$$

Lösung:
Der Wert des bestimmten Integrals ist $64$.

Rechenweg:
Eine Stammfunktion von $f(x)=x^2$ ist:

$$\int x^2 \ \text{d}x = \frac{1}{3}x^3 + c$$

Daraus folgt:

$$\int_{-1}^{2} x^2 \ \text{d}x = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^{2} = \frac{8}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = 3$$

Lösung:
Der Wert des bestimmten Integrals ist $3$.

Rechenweg:
Wir bestimmen die Stammfunktion von $f(x)=4x$:

$$\int 4x \ \text{d}x = 2x^2 + c$$

Dann rechnen wir:

$$\int_{0}^{2} 4x \ \text{d}x = \left[2x^2\right]_{0}^{2} = 2\cdot2^2 - 0 = 8$$

Lösung:
Der Wert des bestimmten Integrals ist $8$.

Rechenweg:
Eine Stammfunktion von $f(x)=x^3$ lautet:

$$\int x^3 \ \text{d}x = \frac{1}{4}x^4 + c$$

Anwendung der Grenzen ergibt:

$$\int_{-2}^{2} x^3 \ \text{d}x = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_{-2}^{2} = 4 - 4 = 0$$

Lösung:
Der Wert des bestimmten Integrals ist $0$.

Rechenweg:
Wir finden eine Stammfunktion von $f(x)=3x^2 + 2x$:

$$\int (3x^2 + 2x) \ \text{d}x = x^3 + x^2 + c$$

Dann gilt:

$$\int_{1}^{4} (3x^2 + 2x) \ \text{d}x = \left[x^3 + x^2\right]_{1}^{4} = (64+16) - (1+1) = 78$$

Lösung:
Der Wert des bestimmten Integrals ist $78$.

Rechenweg:
Eine Stammfunktion von $f(x)=5x^2 - 2x$ ist:

$$\int (5x^2 - 2x) \ \text{d}x = \frac{5}{3}x^3 - x^2 + c$$

Anwendung der Grenzen ergibt:

$$\int_{0}^{3} (5x^2 - 2x) \ \text{d}x = \left[\frac{5}{3}x^3 - x^2\right]_{0}^{3} = 36$$

Lösung:
Der Wert des bestimmten Integrals ist $36$.

Schnittpunkte bestimmen
Damit wir die Integrationsgrenzen festlegen können, setzen wir die beiden Funktionsgleichungen gleich:
$$3x = \dfrac12\,x^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2}-6x = 0 \;\Longrightarrow\; x\bigl(x-6\bigr)=0$$
Die Gleichung liefert die beiden Lösungen
$$x_1 = 0 \quad\text{und}\quad x_2 = 6$$

Bestimmtes Integral aufstellen und berechnen
Die Differenz der beiden Funktionen $f(x) - g(x)$ lautet:
$$f(x) -g(x) = 3x - \frac{1}{2} x^2 $$

Die gesuchte Fläche $A$ zwischen den Schnittpunkten ergibt sich aus dem bestimmten Integral:

$$ \begin{array}{rl} A &= \displaystyle \int_{0}^{6} \bigl(3x-\dfrac12\,x^{2}\bigr)\,\mathrm dx \\ & \\ &= \left[\dfrac{3}{2}\cdot x^{2}-\dfrac{1}{6}\cdot x^{3}\right]^6_0 \\ & \\ &= \left(\dfrac32\cdot 6^{2}-\dfrac16\cdot 6^{3}\right)- \left(\dfrac32\cdot 0^{2}-\dfrac16\cdot 0^{3}\right) \\ & \\ &= \bigl(54-36\bigr) \\ & \\ &= 18\,[\text{FE}] \end{array} $$

Antwort
Die zwischen den beiden Graphen eingeschlossene Fläche beträgt $A = 18$ Flächeneinheiten.

Unendliche obere Grenze ersetzen
Da die rechte Integrationsgrenze unendlich ist, ersetzen wir sie zunächst durch eine Variable $b$. Anschließend lassen wir $b$ gegen unendlich wachsen:

$$\int_{1}^{\infty}\frac{5}{x^{2}}\,\mathrm dx = \lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{5}{x^{2}}\,\mathrm dx$$

Integral berechnen
Zunächst bestimmen wir eine Stammfunktion von $\dfrac{5}{x^{2}}$:

$$\int\frac{5}{x^{2}}\,\mathrm dx = 5 \cdot \int x^{-2}\,\mathrm dx = 5\cdot(-x^{-1}) = -\frac{5}{x}+c$$

Setzen wir anschließend die Grenzen ein, so erhalten wir

$$ \begin{array}{rl} A(b) &= \displaystyle\left[-\dfrac{5}{x}\right]_{1}^{b} \\ & \\ &= -\dfrac{5}{b} + 5 \end{array} $$

Grenze gegen unendlich schicken
Jetzt betrachten wir den Grenzwert für $b \to \infty$:

$$ \begin{array}{rl} A &= \displaystyle\lim_{b\to\infty}\left(-\dfrac{5}{b}+5\right) \\ & \\ &= 5\,[\text{FE}] \end{array} $$

Das ergibt sich, weil der Bruch $\dfrac{5}{b}$ bei immer größerem $b \rightarrow 0$ geht.

Antwort
Die Fläche unter dem Graphen von $f(x)=\dfrac{5}{x^{2}}$ im Intervall $[1;\infty)$ bleibt endlich und beträgt $A = 5$ Flächeneinheiten.

Veranschaulichung der Aufgabe
Beim Drehen der Fläche um die $x$-Achse entsteht für jeden $x$-Wert einw Art Schale bzw. Vase.
Der Radius dieser Schale entspricht dem Funktionswert $f(x) = 2\sqrt{x}$. Mit der allgemeinen Formel für den Flächeninhalt eines Kreisquerschnitts $A = \pi r^2$ lässt sich das Volumen $V$ über ein Integral aller Scheiben beschreiben.

Aufstellen und Berechnen des Integrals

$$ \begin{array}{rl} V &= \pi \cdot \displaystyle \int_{0}^{4} (2 \sqrt{x})^{2} ~\text{d}x \\ & \\ &= \pi \cdot \displaystyle \int_{0}^{4} 4x ~\text{d}x \\ & \\ &= \pi \cdot \left[ 2 x^{2} \right]^{4}_{0} \\ & \\ &= \pi \cdot (2 \cdot 4^{2} - 2 \cdot 0^{2}) \\ & \\ &= \pi \cdot 32 \\ & \\ &= 32 \pi \,[\text{VE}] \end{array} $$

Antwort
Das durch Rotation entstehende Volumen beträgt $V = 32\pi$ Volumeneinheiten.