Sinus – Definition
"Der Sinus ist eine trigonometrische Funktion, mit der man die Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken berechnen kann. Man kann den Sinus für Winkel berechnen und ihn als Funktion im Koordinatensystem darstellen. Erfahre mehr über die Sinusfunktion und wie man sie verwendet! Interessiert? All dies und vieles mehr kannst du im folgenden Text entdecken."
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Grundlagen zum Thema Sinus – Definition
Sinus – Definition
Der Sinus ist eine trigonometrische Funktion, mit der man Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen kann. Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt eine Hypotenuse und zwei Katheten. Je nachdem, welcher Winkel betrachtet wird, werden diese in Ankathete und Gegenkathete unterschieden.
Der Sinus ist definiert als das Längenverhältnis von der Gegenkathete zur Hypotenuse:
$\text{Sinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}$
Auf das Dreieck aus unserem Beispiel bezogen ergibt sich:
$\sin(\alpha)=\dfrac{a}{c}$
Neben dem Sinus spielen auch Cosinus und Tangens eine Rolle bei Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken.
Fehleralarm
Schülerinnen und Schüler verwechseln oft Sinus und Kosinus. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels das Verhältnis von Gegenseite zur Hypotenuse, während der Kosinus das Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse ist.
Sinusfunktion
Du kannst den Sinus auch als Funktion im Koordinatensystem darstellen. Diese wird Sinusfunktion genannt.
Ihre Funktionsgleichung lautet $f(x)=\sin(x)$.
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal auf einer Schaukel hin und her geschwungen und das Gefühl der Bewegung genossen. Diese Bewegung ähnelt der Sinuskurve: Oben erreichst du den höchsten Punkt, dann schwingst du wieder hinunter. Der Sinus beschreibt genau diese gleichmäßige, periodische Bewegung. So erlebst du beim Schaukeln die mathematischen Konzepte, die hinter dieser Bewegung stehen.
Sinus berechnen
Der Sinus im rechtwinkligen Dreiecken mit Winkeln der selben Größe ist, unabhängig von der Größe des Dreiecks, immer gleich. Zwei Dreiecke mit gleich großen Winkeln, aber unterschiedlichen Seitenlängen, werden auch als ähnlich bezeichnet. Für einen gegebenen Winkel kannst du den Sinus auch mit dem Taschenrechner berechnen.
Sinus berechnen – Beispiele
Je nachdem, welche Größen im rechtwinkligen Dreieck dir gegeben sind, kannst du mit dem Sinus verschiedene Größen berechnen. Gucken wir uns mal ein Beispiel an.
Gegeben ist ein Dreieck mit Winkel $\alpha = 30^\circ$, der Seite $a =13~\text{cm}$ und der Hypotenuse $c = 26~\text{cm}$. Setzen wir alles in die Definition des Sinus ein, erhalten wir:
$\sin(30^\circ) = \dfrac{13}{26} = \dfrac{1}{2}$
Der Sinus von $30^\circ$ ist also $\frac{1}{2}$. Wir können, wenn wir zwei Größen der Gleichung kennen, die fehlende Größe mit Hilfe des Sinus berechnen.
Schlaue Idee
Der Sinus gibt dir ein Längenverhältnis an, was du für andere rechtwinklige Dreiecke anwenden kannst, wenn du den Sinus für einen bestimmten Winkel schon kennst! So kann dir der Sinus auch helfen, fehlende Seitenlängen auszurechnen, wenn die Seitenlänge die Gegenkathete oder Hypotenuse des bekannten Winkels ist.
Haben wir beispielsweise zusätzlich zum Winkel von $30^\circ$ die Hypotenusenlänge von $c=10~\text{cm}$ gegeben, ergibt sich:
$\sin(30^\circ) = \dfrac{a}{10~\text{cm}} \quad |\cdot 10~\text{cm}$
$\Rightarrow \underbrace{\sin(30^\circ)}_{=\frac{1}{2}} \cdot 10~\text{cm} = 5~\text{cm} = a$
Sinus – Übungen
Dir ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den folgenden Angaben gegeben:
- $\alpha=75^\circ$
- $\gamma=15^\circ$
- $a=14{,}9~\text{cm}$
- $b=15{,}5~\text{cm}$
- $c=4~\text{cm}$
Ausblick – das lernst du nach Sinus – Definition
Als nächstes geht es weiter mit der Definition des Cosinus und des Tangens. Danach kannst du dich mit trigonometrischen Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck und weiteren Anwendungsaufgaben von Sinus, Cosinus und Tangens beschäftigen.
Sinus – Zusammenfassung
- Der Sinus findet seine Anwendung in rechtwinkligen Dreiecken.
- Du kannst den Sinus für Winkel im Bogen oder Gradmaß berechnen.
- Der Sinus eines Winkels wird berechnet mit dem Verhältnis der Gegenkathete des Winkels zu der Hypotenuse:
$\text{Sinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}$
Wichtige Werte des Sinus
Die folgende Tabelle fasst einige wichtige Sinuswerte zusammen.
| $\alpha$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin(\alpha)$ | 0 | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | 1 |
Häufig gestellte Fragen zum Thema Sinus
Transkript Sinus – Definition
Linus ist leidenschaftlicher Kitesurfer. Mit seinem Board flitzt er nur so durchs Wasser und macht dabei eine glänzende Figur. Für die Geschwindigkeit sorgt dabei der Wind in seinem Kite, der hoch über ihm durch die Lüfte saust. Doch wie hoch genau ist der Kite überhaupt? Um das zu berechnen, reaktiviert Linus einfach sein Wissen zur „Definition des Sinus am rechtwinkligen Dreieck“. Linus weiß genau, wie er die Situation mathematisch analysieren kann. Dafür muss er nur wissen, wie lang seine Leine ist und in welchem Winkel er den Kite hält. Wie das funktionieren soll? Nun ja, schauen wir uns dazu mal ein rechtwinkliges Dreieck an. Wir betrachten den Winkel Alpha als Ausgangspunkt: Jetzt können wir den Seiten des rechtwinkligen Dreiecks spezielle Bezeichnungen geben, die du dir gut merken solltest. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel. Sie ist die längste Dreiecksseite, in unserem Fall Seite c. Die Seite, die dem betrachteten Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete. Die Gegenkathete des Winkels Alpha ist hier also Seite a. Die dritte Seite unseres Dreiecks, die den Winkel Alpha mit dem rechten Winkel verbindet, nennen wir Ankathete, da sie an unserem Winkel anliegt. Das ist in diesem Fall Seite b. Diese Seitenbezeichnungen reichen bereits aus, um den Sinus im rechtwinkligen Dreieck zu definieren. Es gilt: Sinus von Alpha gleich Gegenkathete durch Hypotenuse. Wir teilen also die Seitenlänge der Gegenkathete durch die Seitenlänge der Hypotenuse und berechnen somit das Seitenverhältnis. In diesem Dreieck also das Verhältnis von Seite a zu Seite c. Der konkrete Wert, der dabei herauskommt, ist dann der eindeutig bestimmte Sinuswert des betrachteten Winkels Alpha. Wir können somit, wenn wir den Winkel Alpha kennen, das Seitenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse erschließen und andersherum. So ist zum Beispiel das Seitenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse bei einem gegebenen Winkel von dreißig Grad gleich ein Halb. In anderen Worten: Die Hypotenuse ist dann doppelt so lang wie die Gegenkathete und das gilt in allen rechtwinkligen Dreiecken mit dieser Winkelgröße. Wie lang die Seiten genau sind, wissen wir allerdings erst, wenn wir eine der beiden Seitenlängen kennen. Hat die Gegenkathete beispielsweise eine Länge von fünf Zentimetern, muss die Hypotenuse zehn Zentimeter lang sein. Wissen wir hingegen, dass die Hypotenuse vierundzwanzig Zentimeter lang ist, muss die Seitenlänge der Gegenkathete die Hälfte, also zwölf Zentimeter betragen. Im Falle eines dreißig-Grad-Winkels beträgt das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse in jedem rechtwinkligen Dreieck ein Halb. Wir können somit, wenn wir zwei der drei betrachteten Größen kennen, nämlich die Winkelgröße von Alpha, die Seitenlänge unserer Gegenkathete oder die der Hypotenuse, die dritte ganz einfach ausrechnen. Wir benötigen dafür allerdings die Sinusfunktion unseres Taschenrechners. Wir sollten außerdem immer im Blick behalten, dass die Definition des Sinus nur im rechtwinkligen Dreieck gilt. Alles klar, zurück zu Linus und seinem Kite: Wie können wir denn nun die Höhe des Kites bestimmen? Dazu denken wir uns zunächst dieses Dreieck. Winkel Alpha ist hier gleich vierzig Grad. Der rechte Winkel liegt in diesem Dreieck bei Eckpunkt B. Die Kiteleine, mit einer Länge von fünfundzwanzig Metern, ist unsere Hypotenuse. Die gesuchte Flughöhe des Kites entspricht der Gegenkathete a. Wenn wir uns jetzt unsere Sinusformel anschauen erkennen wir, dass wir zwei der drei vertretenen Größen bereits gegeben haben, nämlich den Winkel Alpha und die Länge unserer Hypotenuse. Nachdem wir die Werte in unsere Formel eingesetzt haben, müssen wir nur noch nach a auflösen und den entsprechenden Sinuswert mit unserem Taschenrechner berechnen. Und schon haben wir die Höhe des Kites bestimmt. Es sind circa sechzehn Meter, ganz schön hoch! Während Linus zum Sprung ansetzt, fassen wir nochmal kurz zusammen. Der Sinus von Alpha ist im rechtwinkligen Dreieck definiert als das Seitenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Das heißt: Bei allen rechtwinkligen Dreiecken, bei denen der Winkel Alpha gleich groß ist, hat das Verhältnis „Gegenkathete von Alpha zu Hypotenuse“ denselben Wert. Dieser Wert ist eindeutig durch die Größe des Winkels Alpha bestimmt. Kennen wir die Größe von Winkel Alpha, können wir den Sinus von Alpha mit dem Taschenrechner bestimmen und so im rechtwinkligen Dreieck von Winkelgrößen auf Seitenlängen schließen oder auch andersherum. Linus holt ordentlich Schwung und oh, da war es wohl doch ein bisschen zu windig.
Sinus – Definition Übung
-
Gib an, ob die Aussagen richtig sind.
Tipps$\text{sin}(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
LösungDer Sinus gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Im rechtwinkligen Dreieck nennt man die Seite, welche gegenüber des rechten Winkels liegt die Hypotenuse. Der Sinus ist das Längenverhältnis aus der Gegenkathete eines Winkels zur Hypotenuse:
$\text{sin}(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
Dabei liegt die Gegenkathete gegenüber des genannten Winkels. Für einen $30^\circ$-Winkel beträgt der Sinus immer genau $\frac{1}{2}$.
Damit ergibt sich bei den Aussagen folgende Unterteilung:Richtige Aussagen:
- Der Sinus gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.
- Der Sinus ist ein Längenverhältnis.
- Der Sinus bezieht sich immer auf einen Winkel im rechtwinkligen Dreieck.
Falsche Aussagen:
- Der Sinus von $30^\circ$ beträgt immer $0,3$.
- Der Sinus verknüpft die Hypotenuse und die Ankathete.
-
Vervollständige die Rechnung zur Bestimmung der Seite $a$.
TippsÜberlege zunächst, was in dem abgebildeten Dreieck die Gegenkathete von $\alpha$ und was die Hypotenuse ist.
Du kannst die Gleichung umformen, indem du auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Rechenoperation durchführst.
LösungWir stellen die Gleichung für den Sinus auf und formen diese nach $a$ um:
$\begin{array}{rrlrr} \sin(\alpha) & = & \dfrac{\text{Gegenkathete von} ~\alpha}{\text{Hypotenuse}} & & \\ \sin(40^\circ) & = & \dfrac{a}{25~\text{m}} & | \cdot 25~\text{m} & \\ \sin(40^\circ) \cdot 25~\text{m}& = &a & & \\ a & = & \sin(40^\circ) \cdot 25~\text{m} & & \\ a & \approx & 0,64 \cdot 25~\text{m} & & \\ a & \approx & 16~\text{m} & & \\ \end{array}$
Den Wert für $\sin(40^\circ)$ bestimmen wir dabei mit dem Taschenrechner.
-
Bestimme die fehlende Seite.
Tipps$\text{sin}(30^\circ)=\frac{1}{2}$
Ermittle zunächst, was die Gegenkathete und was die Hypotenuse in dem Dreieck ist.
Das Seitenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse hat für einen $30^\circ$-Winkel einen ganz bestimmten Wert.
LösungDer Sinus im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:
$\text{sin}(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Er stellt also ein Längenverhältnis dar. Für einen Winkel von $30^\circ$ beträgt dieses Längenverhältnis genau $\frac{1}{2}$.
Wir können also schreiben:$\text{sin}(30^\circ)=\frac{1}{2}$
Dies bedeutet, dass die Hypotenuse dann immer doppelt so lang ist wie die Gegenkathete. Damit ergibt sich bei den Beispielen:
Beispiel 1:
$a= 6 ~\text{cm}$ und $c= 12 ~\text{cm}$Beispiel 2:
$a= 12~ \text{m}$ und $c= 24 ~\text{m}$Beispiel 3:
$a= 9~ \text{cm}$ und $c= 18 ~\text{cm}$ -
Stelle die Formel für den Sinus auf.
TippsDer Sinus bezieht sich immer auf einen bestimmten Winkel. Du musst die Gegenkathete dieses Winkels ermitteln. Sie liegt dem Winkel gegenüber.
$\sin(\alpha)=\frac{k}{i}$
LösungDer Sinus im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:
$\text{sin}(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Die Hypotenuse liegt immer gegenüber des rechten Winkels. In diesem Dreieck ist also $k$ die Hypotenuse.
Die Gegenkathete liegt immer gegenüber des entsprechenden Winkels:
- Gegenkathete von $\alpha$ ist $l$
- Gegenkathete von $\beta$ ist $m$
Wir können nun in die Formel einsetzen und erhalten:
$\sin(\alpha)=\frac{l}{k}$
$\sin(\beta)=\frac{m}{k}$
-
Gib die richtigen Bezeichnungen der Seiten im rechtwinkligen Dreieck an.
TippsDie Gegenkathete liegt gegenüber des zugehörigen Winkels.
Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.
Die Hypotenuse liegt gegenüber des rechten Winkels.
LösungWir nennen die Seite gegenüber des rechten Winkels die Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.
Die anderen beiden Seiten sind die Katheten:
- Die Seite gegenüber des Winkels $\alpha$ nennen wir Gegenkathete.
- Die Seite, welche an dem Winkel $\alpha$ anliegt, nennen wir Ankathete.
-
Berechne die fehlende Größe.
TippsDu kannst den Sinus anwenden. Dieser ist das Längenverhältnis aus Gegenkathete durch Hypotenuse.
Wenn du die Gleichung für den Sinus aufgestellt hast, dann kannst du sie nach der gesuchten Größe umformen, indem du auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Rechenoperation durchführst.
LösungDer Sinus im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:
$\text{sin}(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
- Die Hypotenuse liegt immer gegenüber des rechten Winkels.
- Die Gegenkathete liegt immer gegenüber des entsprechenden Winkels.
Beispiel 1:
Wir kennen den Winkel $\gamma = 30^\circ$ und seine Gegenkathete $f = 16$.
Gesucht ist die Hypotenuse $d$.$\begin{array}{rcll} \sin(30^\circ) & = & \frac{16}{d} & |\cdot d & \\ \sin(30^\circ) \cdot d & = & 16 & |:\sin(30^\circ) & \\ d & = & \frac{16}{\sin(30^\circ)} && \\ d & = & \frac{16}{0,5} && \\ d & = & 32 && \\ \end{array}$
Beispiel 2:
Wir kennen die Hypotenuse $d = 4$ und den Winkel $\gamma = 42^\circ$.
Gesucht ist $f$, die Gegenkathete von $\gamma$.$\begin{array}{rrlrr} \sin(42^\circ) & = & \frac{f}{4} & |\cdot 4 & \\ \sin(42^\circ) \cdot 4 & = & f & & \\ f & = & \sin(42^\circ) \cdot 4 & & \\ f & \approx & 0,67 \cdot 4 & & \\ f & \approx & 2,7 && \\ \end{array}$
Beispiel 3:
Wir kennen die Hypotenuse $d = 31$ und den Winkel $\beta= 51^\circ$.
Gesucht ist $e$, die Gegenkathete von $\beta$.$\begin{array}{rrlrr} \sin(51^\circ) & = & \frac{e}{31} & |\cdot 31 & \\ \sin(51^\circ) \cdot 31 & = & e & & \\ e & = & \sin(51^\circ) \cdot 31 && \\ e & \approx & 0,78 \cdot 31 && \\ e & \approx & 24,1 && \\ \end{array}$
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Sinus – Definition
Cosinus und Tangens – Definition
Trigonometrische Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
Sinus, Cosinus und Tangens – Anwendungsaufgaben
Hypotenuse berechnen
Sinus und Cosinus am Einheitskreis
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Sinus, Cosinus und Tangens – Längenbestimmung im Dreieck
Flächenformel des regelmäßigen n-Ecks
Trigonometrischer Pythagoras
Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Beispiele
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Hallo Marlya, danke für den Hinweis. Wird korrigiert. Liebe Grüße aus der Redaktion!
ich glaube bei Minute 4:31 sollte nicht 0,745 sondern 0,642 rauskommen. Dann stimmt die Rechnung nämlich wieder. Mit dem Wert im Video würde am Ende 18,5 und nicht 16 rauskommen.
Hallo Kira,
danke für deinen Hinweis. Wir haben die Tabelle korrigiert. Liebe Grüße aus der Redaktion!
Die oben stehende Tabelle zu "Wichtige Werte zu Sinus" ist falsch!
Hallo Zara,
Danke für deine Frage. Die Aufgabe in dem Video kann mit dem Sinus gelöst werden, da wir Angaben über den Winkel Alpha und die Hypotenuse haben und die Gegenkathete suchen. Der Tangens würde sich anbieten, wenn wir stattdessen Angaben zur Ankathete haben würden, weil er gleich "Gegenkathete durch Ankathete" ist. Oder bezieht sich deine Frage auf eine andere Aufgabe? Liebe Grüße aus der Redaktion!