Sinus – Definition

Sinus – Definition Übung

• Vervollständige die Sätze zum Sinus in rechtwinkligen Dreiecken.

  Tipps

  Der Sinus eines Winkels ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete des Winkels zur Hypotenuse.

  Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind die beiden Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

  Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.

  Lösung

  Der Sinus eines Winkels ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete des Winkels zur Hypotenuse. Für den Winkel $\alpha$ gilt also:

  • $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$

  Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind die beiden Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Damit können wir den Sinus für das abgebildete Dreieck wie folgt angeben:

  • $\sin(\alpha)=\dfrac{a}{c}$

  Für $\alpha =30^\circ$ liefert der Sinus folgenden Wert:

  • $\sin(30^\circ)=\dfrac 12=0,5$

  Das bedeutet, dass die Seite $c$ doppelt so groß ist wie die Seite $a$ des rechtwinkligen Dreieck $\Delta_{ABC}$. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.

• Berechne jeweils die gesuchte Größe des rechtwinkligen Dreiecks $\Delta_{ABC}$.

  Tipps

  Der Sinus von $\alpha$ ist für das abgebildete Dreieck wie folgt definiert:

  • $\sin(\alpha)=\dfrac ac$

  Du kannst diese Beziehung nach der gesuchten Größe umstellen.

  Lösung

  Der Sinus eines Winkels ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete des Winkels zur Hypotenuse. Damit können wir den Sinus von $\alpha$ für das abgebildete Dreieck wie folgt angeben:

  • $\sin(\alpha)=\dfrac{a}{c}$

  Mit dieser Beziehung können wir nun die gesuchten Größen berechnen, indem wir jeweils die beiden gegebenen Werte einsetzen und entsprechend umstellen.

  Beispiel 1

  Mit $\alpha =30^\circ$ und $a=13~\text{cm}$ ergibt sich:

  • $c=\dfrac {a}{\sin(\alpha)}=\dfrac {13~\text{cm}}{\sin(30^\circ)}=26~\text{cm}$

  Beispiel 2

  Mit $\alpha =40^\circ$ und $c=10~\text{cm}$ ergibt sich:

  • $a=c\cdot \sin(\alpha)=10~\text{cm}\cdot \sin(30^\circ)\approx 6,4~\text{cm}$

  Beispiel 3

  Mit $a=10~\text{cm}$ und $c=40~\text{cm}$ ergibt sich:

  • $\sin(\alpha)=\dfrac{a}{c}=\dfrac {10~\text{cm}}{40~\text{cm}}=0,25$

  • $\alpha\approx 14,5^\circ$

• Bestimme die Hypotenuse sowie die Gegen- und Ankathete der entsprechenden Winkel in den gegebenen Dreiecken.

  Tipps

  Die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse, egal, welchen Winkel du betrachtest.

  An dem rechten Winkel liegen die beiden Katheten an.

  Die beiden Winkel, neben dem rechten Winkel, sind jeweils spitze Winkel ($<90^\circ$).

  Jedem spitzen Winkel liegt eine der Katheten gegenüber und eine Kathete liegt am Winkel an.

  Lösung

  In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die längste Seite und die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Dies gilt immer und ist unabhängig davon, welchen Winkel du betrachtest. Die beiden Winkel, neben dem rechten Winkel, sind jeweils spitze Winkel ($<90^\circ$). Jedem spitzen Winkel liegt eine der Katheten gegenüber und eine Kathete liegt am Winkel an (Gegen- bzw. Ankathete).

  In dem grünen Dreieck ist die Hypotenuse die Seite $i$.

  • Zu dem Winkel $\alpha$ ist $j$ die An- und $k$ die Gegenkathete.
  • Zu dem Winkel $\beta$ ist $k$ die An- und $j$ die Gegenkathete.

  In dem roten Dreieck ist die Hypotenuse die Seite $d$.

  • Zu dem Winkel $\gamma$ ist $e$ die An- und $f$ die Gegenkathete.
  • Zu dem Winkel $\beta$ ist $f$ die An- und $e$ die Gegenkathete.

• Ermittle jeweils den Sinus des Winkels.

  Tipps

  Die Gegenkathete ist die Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt.

  Es gilt:

  $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

  Lösung

  Es gilt : $~\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

  Man muss sich also überlegen,

  • welche Seite die Hypotenuse und
  • welche Seite die Gegenkathete eines bestimmten Winkels ist.

  Die Hypotenuse ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks, hier also $k$.

  Die Gegenkathete eines Winkels liegt diesem Winkel gegenüber:

  • Die Gegenkathete von $\alpha$ ist die Seite $l$, also gilt: $~\sin(\alpha)=\frac lk$.

  • Die Gegenkathete von $\beta$ ist die Seite $m$, also gilt: $~\sin(\beta)=\frac mk$.

• Beschrifte die Seiten in dem Dreieck.

  Tipps

  Die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck heißen entweder Hypotenuse oder Kathete.

  Es gibt eine Hypotenuse, welche die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist, und zwei Katheten.

  Die Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

  Somit liegt eine Kathete einem spitzen Winkel gegenüber. Dies ist die Gegenkathete. Die andere liegt an diesem Winkel an: die Ankathete.

  Lösung

  Es gibt in einem rechtwinkligen Dreieck nur eine Hypotenuse. Sie liegt stets dem rechten Winkel gegenüber. In dem Bild ist dies die gelbe Seite.

  Es gibt zwei Katheten. In Bezug auf einen der beiden übrigen spitzen Winkel bezeichnet man diese als Gegen- oder Ankathete. Je nachdem, ob sie dem Winkel gegenüberliegen oder direkt am Winkel anliegen.

  Somit ist die grüne Seite die Gegenkathete von $\alpha$ und die Ankathete von $\beta$.

  Die rote Seite ist die Ankathete von $\alpha$ und die Gegenkathete von $\beta$.

• Prüfe, durch welche Ausdrücke der Sinus von $\alpha$ berechnet werden kann.

  Tipps

  Du kannst den Winkel $\alpha$ in drei rechtwinkligen Dreiecken finden.

  Suche dir in jedem dieser Dreiecke die Hypotenuse und Gegenkathete von $\alpha$.

  Die neu dazukommenden Seiten erkennst du an den entsprechenden Farben.

  Der Sinus des Winkels $\alpha$ lässt sich auf drei Arten darstellen.

  Lösung

  Es gilt : $~\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

  Der Winkel $\alpha$ befindet sich in drei rechtwinkligen Dreiecken:

  • Im Dreieck mit den Seiten $a$ (Gegenkathete), $b$ (Hypotenuse) und $c$ (Ankathete) gilt: $~\sin(\alpha)=\frac {a}{b}$.

  • Im Dreieck mit den Seiten $d$ (Gegenkathete), $e$ (Ankathete) und $c$ (Hypotenuse) gilt: $~\sin(\alpha)=\frac {d}{c}$.

  • Im Dreieck mit den Seiten $e$ (Hypotenuse), $f$ (Gegenkathete) und $g$ (Ankathete) gilt: $~\sin(\alpha)=\frac {f}{e}$.