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Sinus – Definition 07:25 min

Textversion des Videos

Transkript Sinus – Definition

Hallo! Wir wissen schon, wir haben hier 2 rechtwinklige Dreiecke, da sind die rechten Winkel, also 2 90°-Winkel, hier sind 2 37°-Winkel. Weil das so ist, dass hier 2 37°-Winkel sind, wissen wir, dass diese beiden Dreiecke ähnlich sind, denn dann sind alle Winkel gleich. Wir wissen auch über ähnliche Dreiecke, von den Strahlensätzen her wissen wir das, dass alle ähnlichen Dreiecke gleiche Seitenverhältnisse haben. Hier also am Beispiel gezeigt, wenn ich die grüne Seite durch die gelbe teile, das heißt also Seitenlänge grün geteilt durch Seitenlänge gelb, dann bekomme ich das Gleiche raus, als wenn ich diese Seitenlänge grün geteilt durch diese Seitenlänge gelb rechne. Dieses Seitenverhältnis in rechtwinkligen Dreiecken mit einem 37°-Winkel, das hat einen besonderen Namen, es nennt sich Sinus37 und ist ungefähr 0,6. Bevor ich zur allgemeinen Definition komme, möchte ich das eben noch an einem anderen Beispiel hier zeigen, und zwar haben wir hier auch 90°-Winkel. Und jetzt habe ich hier 2 Dreiecke, die haben hier beide einen fast genau 30°-Winkel. Da es sich um rechtwinklige Dreiecke mit einem 30°-Winkel handelt, wissen wir auch, wie groß dieser Winkel ist, er ist nämlich 60° wegen der Winkelsumme im Dreieck - alle Innenwinkel im Dreieck zusammen ergeben 180° - und damit wissen wir auch, wie groß dieser Winkel ist. Und das Seitenverhältnis hier von grün zu rot, also wenn ich hier die Seitenlänge grün geteilt durch Seitenlänge rot rechne, bekomme ich dasselbe heraus wie hier Seitenlänge grün durch Seitenlänge rot, weil es sich hier eben um 2 ähnliche Dreiecke handelt. Dieses Seitenverhältnis von grün zu rot in diesem Fall hat auch einen besonderen Namen, es nennt sich Sinus30°, weil hier ein 30°-Winkel ist und dieses Seitenverhältnis ist genau 0,5, das heißt, die grüne Seite ist genau halb so groß wie diese rote Seite. Gilt für dieses Dreieck natürlich auch, weil es ja ähnliche Dreiecke sind und in ähnlichen Dreiecken alle Seitenverhältnisse gleich groß sind. Das soll mal reichen mit Beispielen hier. Ich möchte gerne definieren: Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck. Das male ich mal eben auf. Da könnte der rechte Winkel sich befinden, den malt man so auf. Und wir haben hier einen Winkel α und wir haben besondere Namen für die Seiten in einem solchen Dreieck hier. Und zwar: Wir wissen schon, in rechtwinkligen Dreiecken gibt es eine Hypotenuse, das ist die Seite, die den rechten Winkel gegenüber hat. Der rechte Winkel liegt gegenüber dieser Seite, gegenüber der Hypotenuse. Und wir haben auch einen besonderen Namen für diese Seite hier - wir haben hier diesen Winkel α, von diesem Winkel α aus gesehen ist hier eine Kathete, diese Kathete liegt dem Winkel α gegenüber und deshalb können wir sagen, dass von α aus das hier die Gegenkathete ist, weil sie gegenüberliegt. Diese Kathete hier, in dem Fall die blaue, liegt an dem Winkel α dran, sie liegt an kann man auch sagen und deshalb heißt diese Kathete - es ist ja auch eine Kathete, weil es ein rechtwinkliges Dreieck ist, nicht wahr - diese Kathete heißt Ankathete. Immer vom Winkel α aus gesehen, von diesem Winkel hier oder von dem hier - würden wir es von dem Winkel aus sehen übrigens, dann ist es natürlich anders, dann ist wäre grün hier die Ankathete. Das zeig ich noch mal kurz, von dem Winkel hier ist grün die Ankathete, weil grün an diesem Winkel dranliegt, blau ist die gegenüberliegende Kathete, also die Gegenkathete und rot ist nach wie vor die Hypotenuse, die gibt es ja nur einmal im Dreieck, die ändert sich nicht. Und dieses Seitenverhältnis, was sich aus diesem Winkel α hier ergibt, also wenn dieser Winkel hier 30° ist z. B. - das hat jetzt einen besonderen Namen, nämlich sinα, abhängig davon, wie groß α ist. Und dieses Seitenverhältnis berechnet man, indem man die Gegenkathete durch die Hypotenuse teilt. Und das ist jetzt die allgemeine Definition des Sinus in rechtwinkligen Dreiecken: Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse, jeweils sind natürlich die Seitenlängen gemeint, das ist der Sinus von α. Ja und damit ist das komplett definiert, hängt natürlich von α ab. Ich glaube, ich habe alles gesagt dazu. Dann hör ich einfach auf mit der Definition. Ich zeige dann noch in den nächsten Filmen die Definition von Kosinus und Tangens. Bis dahin. Viel Spaß, tschüss.  

6 Kommentare
  1. Top xDD und sehr Hilfreich ;DD

    Von Booty2001, vor mehr als 2 Jahren
  2. @ Enasara98: Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck ist immer die Hypotenuse, die außerdem auch dem rechten Winkel gegenüberliegt. Ankathete und Gegenkathete ändern sich je nachdem, welchen der beiden anderen Winkel du betrachtest: Die Seite, die an den betrachteten Winkel angrenzt, ist die Ankathete. Die Seite, die dem betrachtetem Winkel gegenüberliegt, ist die Gegenkathete. Ich hoffe, ich konnte dir helfen.

    Von Sarah Kriz, vor mehr als 4 Jahren
  3. wie weiß man welche seite die ankathete und welche die kathete ist?

    Von Enasara98, vor mehr als 4 Jahren
  4. Schon kapiert! :-)

    Von M Fit4life, vor etwa 5 Jahren
  5. Warum Sin(30)-0,5? Wo doch die grüne Seite durch die rote Seite geteilt wurde? Schreibt man dann nicht Sin(60)-0,5? Kapier ich nicht!

    Von M Fit4life, vor etwa 5 Jahren
  1. Ich hatte wieder alles anders verstanden als alle anderen und konnte einfach gar nichts mit dem Thema anfangen. Jetzt geht es viel besser, danke! Sie sind so cool! xD

    Von Selma Reinhold, vor mehr als 6 Jahren
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Sinus – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sinus – Definition kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe den Sinus von $37^\circ$.

    Tipps

    Du kannst dir weitere Dreiecke mit den gleichen Farben zeichnen, welche rechtwinklig sind und einen $37^\circ$ Winkel besitzen.

    Miss die entsprechenden Seitenlänge und berechne den Quotienten. Du wirst immer ungefähr $0,6$ erhalten.

    Der Sinus ist definiert. Du solltest diesen lernen. Oder anders ausgedrückt: Du solltest die entsprechenden Verhältnisse lernen.

    Die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck heißen Hypotenuse und (zwei) Katheten.

    Die grüne Seite ist die sogenannte Gegenkathete von $37^\circ$, da sie dem Winkel gegenüberliegt.

    Lösung

    Gegeben sind zwei rechtwinklige Dreiecke. Einer der Winkel beträgt $37^\circ$. Dann gilt, dass die beiden Dreieck ähnlich sind.

    Mit den Strahlensätzen gilt, dass die Seitenverhältnisse in ähnlichen Dreiecken übereinstimmen.

    Das bedeutet zum Beispiel, dass bei ähnlichen Dreiecken das Verhältnis der grünen zu der gelben Seitenlänge immer gleich ist.

    Dieses Seitenverhältnis in einem rechtwinkligen Dreieck mit einem $37^\circ$ Winkel bezeichnet man als Sinus von $37^\circ$ und der Wert ist ungefähr $0,6$:

    $\sin(37^\circ)\approx0,6$.

    „Sinus“ ist die lateinische Bezeichnung für „Bogen“ oder „Krümmung“.

  • Beschrifte die Seiten in dem Dreieck.

    Tipps

    Die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck heißen entweder Hypotenuse oder Kathete.

    Es gibt eine Hypotenuse, die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, und zwei Katheten.

    Die Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

    Somit liegt eine Kathete einem spitzen Winkel gegenüber. Dies ist die Gegenkathete. Die andere liegt an diesem Winkel an: die Ankathete.

    Lösung

    Es gibt in einem rechtwinkligen Dreieck nur eine Hypotenuse. In dem Bild ist dies die gelbe Seite.

    Es gibt zwei Katheten. In Bezug auf einen der beiden übrigen spitzen Winkel bezeichnet man diese als Gegen- oder Ankathete. Je nachdem, ob sie dem Winkel gegenüberliegen oder direkt am Winkel anliegen.

    Somit ist die grüne Seite die Gegenkathete von $\alpha$ und die Ankathete von $\beta$.

    Die rote Seite ist die Ankathete von $\alpha$ und die Gegenkathete von $\beta$.

  • Prüfe, durch welche der Beziehungen der Sinus von $\alpha$ berechnet werden kann.

    Tipps

    Du kannst den Winkel $\alpha$ in drei rechtwinkligen Dreiecken finden.

    Mache dir in jedem dieser Dreiecke die Hypotenuse und Gegenkathete von $\alpha$ klar.

    Die neu dazukommenden Seiten erkennst du an den entsprechenden Farben.

    Der Sinus des Winkels $\alpha$ lässt sich auf drei Arten darstellen.

    Lösung

    Der Winkel $\alpha$ befindet sich in drei rechtwinkligen Dreiecken:

    • im Dreieck mit den Seiten $\text a$ (Gegenkathete), $\text b$ (Hypotenuse) und $c$: Somit ist
    $~~~~~~~~~\sin(\alpha)=\frac {\text a}{\text b}$.
    • im Dreieck mit den Seiten $\text d$ (Gegenkathete), $\text e$ und $\text c$ (Hypotenuse): Somit ist
    $~~~~~~~~~\sin(\alpha)=\frac {\text d}{\text c}$.
    • im Dreieck mit den Seiten $\text e$ (Hypotenuse), $\text f$ (Gegenkathete) und $\text g$: Somit ist
    $~~~~~~~~~\sin(\alpha)=\frac {\text f}{\text e}$.

  • Gib die Definition des Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck an.

    Tipps

    Der Sinus des Winkels $37^\circ$ ist das Verhältnis der Längen der grünen zu der gelben Seite.

    Lösung

    Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist definiert als das Verhältnis der Längen der Gegenkathete von $\alpha$ zu der Hypotenuse:

    $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

  • Entscheide, welche der Seiten Gegen- und welche Ankatheten des Winkels sind.

    Tipps

    Die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse.

    An dem rechten Winkel liegen die beiden Katheten an.

    Die beiden nicht $90^\circ$ Winkel sind jeweils spitze Winkel ($<90^\circ$).

    Jedem spitzen Winkel liegt eine der Katheten gegenüber und eine Kathete liegt am Winkel an.

    Achte auf die Schreibweise: „Kathete“ wird mit „h“ geschrieben.

    Lösung

    In dem grünen Dreieck ist die Hypotenuse die Seite $i$.

    • Zu dem Winkel $\alpha$ ist $j$ die An- und $k$ die Gegenkathete.
    • Zu dem Winkel $\beta$ ist $k$ die An- und $j$ die Gegenkathete.
    In dem roten Dreieck ist die Hypotenuse die Seite $d$.
    • Zu dem Winkel $\gamma$ ist $e$ die An- und $f$ die Gegenkathete.
    • Zu dem Winkel $\beta$ ist $f$ die An- und $e$ die Gegenkathete.

  • Ermittle jeweils den Sinus des Winkels.

    Tipps

    Die Gegenkathete ist die Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt.

    Es gilt

    $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

    Lösung

    Es gilt

    $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

    Man muss sich also überlegen

    • welche Seite die Hypotenuse ist: $k$, sowie
    • zu jedem Winkel die Gegenkathete.
    Die Gegenkathete eines Winkels liegt diesem Winkel gegenüber:
    • Die Gegenkathete von $\alpha$ ist die Seite $l$, also ist
    $\sin(\alpha)=\frac lk$.
    • Die Gegenkathete von $\beta$ ist die Seite $m$, also ist
    $\sin(\beta)=\frac mk$.