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Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Parabel

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Parabel
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Grundlagen zum Thema Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Parabel

Hallo, in den folgenden Videos möchte ich dir eine wichtige Art der Aufgabenstellung in der Analysis vorstellen. Es geht darum, dass du anhand gegebener Punkte und Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsgleichung bestimmst. Diese Art der Aufgabenstellung hat viele Namen – unter anderem: Steckbriefaufgabe, Parameteraufgabe, Rekonstruktion oder Funktionsbestimmung. Das erste Beispiel werde ich dir in zwei Videos vorstellen. Wir haben folgende drei Informationen und sollen mit deren Hilfe die Funktionsgleichung einer Parabel herausfinden: (1) P ( 0/1 ), (2) P ( 2/0 ) und (3) die Steigung bei x = -2 ist -1.

Transkript Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Parabel

Hallo. Hier habe ich eine Aufgabe vorbereitet, die viele Namen hat: Steckbriefaufgabe kann man dazu sagen, Parameteraufgabe, Rekonstruktion, Funktionsbestimmung, Funktionsbestimmung aus gegebenen Eigenschaften oder durch gegebene Bedingungen oder was auch immer. Das hat bestimmt auch noch 10 andere Namen, die ich jetzt hier nicht alle aufzähle. Worum geht es? Es geht darum, dass bestimmte Eigenschaften gegeben sind und aus diesen Eigenschaften soll nun eine Funktionsgleichung, ein Funktionsterm bestimmt werden, der zu einer Funktion gehört, die also diese Eigenschaften hat. Man muss in der Regel einschränkend dazu sagen, um welchen Funktionstyp es sich handeln soll dabei. Hier ist es auch gegeben in dieser konkreten Aufgabe, denn es soll eine Funktion, eine ganzrationale Funktion gefunden werden, die den Grad 2 hat, das heißt also, eine Parabel. Und deshalb wissen wir schon, dass die gesuchte Funktion die folgende Form hat: f(x)=a×x2+b×x+c. Um diese Funktion zu bestimmen, haben wir nun 3 Eigenschaften gegeben, und zwar zum Einen, dass der Punkt (0|1) Element des Graphen ist. Oder, ich habe einfach hingeschrieben P(0|1). Das bedeutet das dann. Man kann auch sagen, dass, wenn der Punkt (0|1) Element des Graphen ist, dann wissen wir, wenn wir in den Funktionsterm für x 0 einsetzen, erhalten wir das Ergebnis 1 beziehungsweise die Zahl 0 auf der x-Achse wird auf die 1 abgebildet. Wie immer man das sagen will. Es gibt da auch viele Bezeichnungen dafür. Nummer 2 ist, dass der Punkt (2|0) auch Element des Graphen ist. Anders gesagt: Wenn man in den Funktionsterm für x 2 einsetzt, erhält man das Ergebnis 0. Die Zahl 2 wird auf die Zahl 0 abgebildet. Oder: Der Funktionswert bei 2 ist gleich 0. Wie gesagt, viele Bezeichnungen gibt es dafür. Ich kann nicht alle hier vorstellen. Drittens haben wir folgende Eigenschaft gegeben: Die Steigung bei x=-2 ist -1. Was machen wir damit? Wir wissen, wenn es um die Steigung geht, dann brauchen wir die Ableitung einer Funktion. Wenn wir Aussagen über die Steigung haben, hat das immer irgendwie mit der Ableitung zu tun. Deshalb habe ich hier ganz allgemein die Ableitung gebildet. Ich habe also den allgemeinen Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion 2. Grades abgeleitet. Und heraus kommt f'(x)=2×a×x+b. Diese Bedingungen müssen wir jetzt in Gleichungen übersetzen. Aus diesen Gleichungen können wir dann die Variablen a, b und c berechnen, und wie das geht, zeige ich im 2. Teil. Bis dahin. Tschüss.

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