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Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Rutsche

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Die Autor*innen
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Aline Mittag
Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Rutsche
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Rutsche

In diesem Video beschäftigen wir uns mit der Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen, indem wir uns ein ganz konkretes Beispiel anschauen: Es soll der Funktionsgraph einer Wasserrutsche bestimmt werden. Nach einer kurzen, theoretischen Wiederholung der Lösungsstrategie werden wir gemeinsam die Aufgabe Schritt für Schritt lösen, indem wir die nötigen Bedingungen für die Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen formulieren. Viel Spaß!

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. @Yoon Sojina:
    Eine Funktion mit Grad 4 hat bis zu 3 lokale Extremwerte. Zum Beispiel wenn du für aufsteigende x erst ein Minimum, dann ein Maximum und dann noch ein Minimum bekommst.
    Wenn du dann eine Gleichungssystem finden willst, brauchst du sogar 5 Bedingungen.

    Von Lukas H., vor fast 2 Jahren
  2. woher erkennt man, dass die Funktion der Rutsche hat 4 Grad besitzt?

    Von Yoon Sojina, vor fast 2 Jahren
  3. @Ajenth S.: Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung ersten Grades. Die Variable, bspw. x, kommt hierbei mit keiner höheren Potenz als 1 vor. Ein LGS ist also ein System aus mehreren linearen Gleichungen.
    Da es sich hierbei um eine Funktion 3. Grades handelt, entsteht hier eben kein lineares Gleichungssystem.
    Ich hoffe ich konnte deine Frage beantworten.

    Von Thomas Scholz, vor etwa 5 Jahren
  4. Heißt es nicht LGS also Lineares Gleichungssystem?

    Von Deleted User 247835, vor etwa 5 Jahren

Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Rutsche Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Rutsche kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne die Bedingungen für eine Funktion dritten Grades.

    Tipps

    Eine Funktion n-ten Grades benötigt immer n+1 Bedingungen.

    Lokale Maxima und Minima erkennt man daran, dass an den Extremstellen die Ableitung Null ist.

    Der Hoch- und Tiefpunkt sind mit ihren Koordinaten angegeben. Das bedeutet, dass wir durch Einsetzen der x-Werte in die Funktion die y-Werte erhalten müssen.

    Lösung

    Welche Schlüsse sich aus den Angaben ziehen lassen, kann man hier sehr gut erkennen.

    Der Hoch- und Tiefpunkt sind mit ihren Koordinaten angegeben. Das bedeutet, dass wir durch Einsetzen der x-Werte in die Funktion die y-Werte erhalten müssen.

    Für die Punkte $(0|5)$ und $(5|0)$ ergeben sich folgende Bedingungen:

    • $f(0)=5$
    • $f(5)=0$
    Da für jede Funktion n-ten Grades immer n+1 Bedingungen benötigt werden, fehlen uns noch zwei weitere. Diese finden wir durch die erste Ableitung von $f$.

    An jeder Stelle, die eine Extremstelle ist, muss die erste Ableitung Null sein. Da wir unsere Extrema kennen, erhalten wir als weitere Bedingungen:

    • $f'(0)=0$
    • $f'(5)=0$
  • Bestimme die fehlenden Parameter der Funktion.

    Tipps

    Du musst das folgende Gleichungssystem lösen:

    $\begin{array}{cccccc} 125a&+25b&+5c&+d&=&0 \\ 75a&+10b&+c&&=&0 \end{array}$

    Lösung

    Ausgangspunkt ist die allgemeine Form der Funktion $f$ und ihrer Ableitung $f'$:

    $f(x)=a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d$

    $f'(x)=3\cdot a\cdot x^2 + 2\cdot b \cdot x + c$

    Gehen wir die Bedingungen der Reihe nach durch:

    Die erste Bedingung $f(0)=5$ liefert:

    $f(0)= a\cdot 0^3 + b\cdot 0^2 + c\cdot 0 + d=5$

    Übrig bleibt $d=5$. Somit haben wir schon einen Parameter.

    Die zweite Bedingung besagt, dass $f(5)=0$ gilt:

    $f(5)=a\cdot 5^3 + b\cdot 5^2 + c\cdot 5 + d=0$

    Daraus ergibt sich:

    $125a + 25b + 5c + d = 0$

    Die dritte Bedingung $f'(0)=0$ liefert

    $f'(0)=3a \cdot 0^2 + 2b\cdot 0 + c=0$

    Übrig bleibt $c=0$, unser nächster Parameter.

    Die vierte Bedingung besagt, dass $f'(5)=0$ gilt:

    $f'(5)=3\cdot a\cdot 5^2 + 2\cdot b \cdot 5 + c$

    Wir erhalten:

    $75a+10b+c=0$

    Wir haben also zwei Parameter direkt gefunden und noch zwei Bedingungen in Gleichungsform. Aus diesen beiden bilden wir nun folgendes Gleichungssystem:

    $\begin{array}{cccccc} 125a&+25b&+5c&+d&=&0 \\ 75a&+10b&+c&&=&0 \end{array}$

    Wir setzen nun die Werte für $c$ und $d$ ein, die wir bereits kennen. Danach sieht das Gleichungssystem so aus:

    $\begin{array}{ccccc} 125a&+25b&+5&=&0 \\ 75a&+10b&&=&0 \end{array}$

    Dieses kannst du nun auf beliebige Art und Weise lösen (zum Beispiel durch Einsetzen einer Zeile in die andere).

    Am Ende erhältst du folgende Ergebnisse:

    $a=0,08$ und $b=-0,6$

    Die Funktion sieht schließlich so aus:

    $f(x)=0,08x^3 - 0,6x^2 + 5$

  • Arbeite die Bedingungen aus den Informationen über $f$ heraus.

    Tipps

    Bei Extremstellen der Funktion besitzt der Ableitungsgraph eine Nullstelle.

    Man erhält die y-Koordinate, wenn man die x-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzt.

    Lösung

    Zu jedem der zwei Extrempunkte können wir jeweils zwei Bedingungen aufstellen.

    Beginnen wir mit dem Hochpunkt bei $(-1|3)$.

    Hier erhält man die y-Koordinate, wenn man die x-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzt:

    • $f(-1)=3$
    Darüber hinaus muss der Graph der Ableitungsfunktion an dieser Stelle eine Nullstelle besitzen, da es sich um eine Extremstelle handelt:

    • $f'(-1)=0$
    Genauso verfahren wir beim Tiefpunkt bei $(6|-2)$.

    • $f(6)=-2$
    • $f'(6)=0$
    Und schon haben wir unsere für eine Funktion dritten Grades die benötigten vier Bedingungen aufgestellt.

  • Bilde die Funktionsgleichung von $f$.

    Tipps

    Zwei Parameter müssen Null sein.

    Für Extremstellen muss notwendigerweise $f'(x_E)=0$ gelten.

    Bei Wendestellen heißt die Bedingung $f''(x_W)=0$.

    Lösung

    Bilden wir zunächst die ersten drei Ableitungen:

    $f(x)=a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d$

    $f'(x)=3\cdot a\cdot x^2 + 2\cdot b\cdot x + c$

    $f''(x)=6\cdot a\cdot x + 2\cdot b$

    Nun sehen wir uns unsere Bedingungen an und wie wir sie formulieren können:

    • Der Wendepunkt im Ursprung liefert $f(0)=0$ und $f''(0)=0$.
    • Die Nullstelle $x=1$ gibt uns die zusätzliche Bedingung $f(1)=0$.
    • Der Wert für Parameter $a$ ist gegeben: $a=3$
    Beginnen wir mit dem Wendepunkt. Da er bei $(0|0)$ liegt, ist dieser Punkt bekannt und muss beim Einsetzen in die Funktionsgleichung herauskommen:

    $f(0)=a\cdot 0^3 + b\cdot 0^2 + c\cdot 0 + d$

    Damit diese Gleichung $0$ wird, muss gelten: $d=0$

    Betrachten wir nun die Bedingung für den Wendepunkt und seine Bestimmung: Hier muss auch die zweite Ableitung Null ergeben.

    $f''(0)=6\cdot a\cdot 0 + 2 \cdot b$

    Damit diese Gleichung Null wird, muss $b=0$ sein. Damit haben wir gezeigt, dass die Parameter $b$ und $d$ wegfallen und somit auch ihre kompletten Summanden in der Funktionsgleichung:

    $f(x)=a\cdot x^3 + c\cdot x$

    Den Wert für $a$ kennen wir bereits:

    $f(x)=3 \cdot x^3 + c\cdot x$

    Nun sollen wir mit Hilfe der positiven Nullstelle ($x=1$) den letzten Parameter bestimmen. Es muss $f(1)=0$ gelten.

    $\begin{align} 3\cdot 1^3 + c\cdot 1&=0 \\ 3 + c &= 0 &|& -3\\ c&=-3 \end{align}$

    Somit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:

    $f(x)=3x^3-3x$

  • Gib die nötige Anzahl von Bedingungen an.

    Tipps

    Für eine Funktion n-ten Grades sind n+1 Bedingungen nötig, um sie zu rekonstruieren.

    Lösung

    Hierfür gibt es einen Merksatz, den du dir merken oder besser aufschreiben solltest:

    Wenn du eine Funktion n-ten Grades rekonstruieren willst, brauchst du dafür n+1 Bedingungen.

    Das bedeutet für unser Beispiel:

    Wir haben eine Funktion dritten Grades. Deshalb brauchen wir $3+1=4$ Bedingungen, um sie rekonstruieren zu können.

  • Ermittle die gesuchten Parameter der Funktionsgleichung.

    Tipps

    Jeder Punkt kann als eine Bedingung angesehen werden - du erhältst ein Gleichungssystem mit vier Zeilen und vier Variablen.

    Dein umgeformtes Gleichungsystem könnte so aussehen:

    Dein umgeformtes Gleichungsystem könnte so aussehen:

    Lösung

    Hier muss man mit keiner Ableitung rechnen, da nur vier verschiedene Punkte bekannt sind, von denen man nicht weiß, ob es sich um Extrem- oder Wendepunkte handelt.

    Betrachten wir eine Funktion dritten Grades $f(x)=a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d$, so können wir alle Punkte als Bedingungen verwenden. Das sieht dann für die Punkte $A, B, C$ und $D$ so aus:

    $a\cdot 1^3 + b\cdot 1^2 + c\cdot 1 +d = 4$

    $a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 + c\cdot 2 +d = 2$

    $a\cdot 4^3 + b\cdot 4^2 + c\cdot 4 +d = 4$

    $a\cdot 5^3 + b\cdot 5^2 + c\cdot 5 +d = 20$

    Das können wir in ein Gleichungssystem schreiben:

    $\begin{array}{c|cccccc|} I & a & +b & +c & +d &=& 4 \\ II & 8a & +4b & +2c & +d &=& 2 \\ III & 64a & +16b & +4c & +d &=& 4 \\ IV & 125a & +25b & +5c & +d &=& 20 \end{array}$

    Nun eliminieren wir nacheinander aus verschiedenen Zeilen verschiedene Variablen. Zuerst eliminieren wir alle $d$ in den Zeilen $II, III$ und $IV$. Dazu addieren wir zu jeder dieser Zeilen das negative der ersten Zeile $(+ I\cdot (-1))$. Danach sieht das Gleichungssystem so aus:

    $\begin{array}{c|cccccc|} I & a & +b & +c & +d &=& 4 \\ II & 7a & +3b & +c & &=& -2 \\ III & 63a & +15b & +3c & &=& 0 \\ IV & 124a & +24b & +4c & &=& 16 \end{array}$

    Als nächstes eliminieren wir die $c$ aus den Zeilen $III$ und $IV$. Dazu rechnen wir $III + II\cdot (-3)$ bzw. $IV + II\cdot (-4)$. Danach sollte dein Gleichungssystem diese Form haben:

    $\begin{array}{c|cccccc|} I & a & +b & +c & +d &=& 4 \\ II & 7a & +3b & +c & &=& -2 \\ III & 42a & +6b & & &=& 6 \\ IV & 96a & +12b & & &=& 24 \end{array}$

    Nun müssen wir nur noch das $b$ aus der letzten Zeile eliminieren, um eine Dreiecksgestalt zu erhalten. Dazu addieren wir folgendes: $IV + III\cdot (-2)$. Nun sieht es so aus:

    $\begin{array}{c|cccccc|} I & a & +b & +c & +d &=& 4 \\ II & 7a & +3b & +c & &=& -2 \\ III & 42a & +6b & & &=& 6 \\ IV & 12a & & & &=& 12 \end{array}$

    Jetzt kann man das Gleichungssystem von unten nach oben auflösen:

    $IV:$

    $12a = 12$ liefert $a=1$.

    Wert für $a$ in $III$ einsetzen:

    $42\cdot 1 +6b = 6$ liefert $b=-6$.

    Werte für $a$ und $b$ in $II$ einsetzen:

    $7\cdot 1 +3\cdot (-6)+c=-2$ liefert $c=9$.

    Werte für $a$, $b$ und $c$ in $I$ einsetzen:

    $1 - 6 + 9 + d = 4$ liefert $d=0$.

    Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:

    $f(x)=x^3 - 6x^2 + 9x$

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