Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Funktion dritten Grades

Hallo! Hier habe ich eine Parameteraufgabe vorbereitet. Steckbriefaufgabe kann man auch sagen, Funktionsbestimmung, wie auch immer. Es gibt da viele Möglichkeiten, wie so ein Ding heißen kann. Wir suchen eine Funktion, eine ganz rationale Funktion 3. Grades und haben gegeben, dass der Punkt P (2/1) Element des Graphen ist, ja? Da ist hier dieses G mit dem Doppelstrich und tief gestelltes kleines f, das bedeutet der Graph der Funktion f. Das ist das Elementzeichen, ja, kann man sich ruhig dran gewöhnen, dass das alles so heißt. Dann haben wir noch gegeben, dass die Steigung im Wendepunkt (3/3) gleich -1 ist. Falls du irgendetwas hiervon nicht lesen können solltest, da habe ich ein bisschen klein geschrieben, findest die Fotos dieser Pappen alle noch im angegebenen Link oder auf meiner Homepage, wie auch immer, da kommst du schon dran. Da wir eine ganz rationale Funktion 3. Grades suchen, habe ich jetzt hier erst mal die allgemeine Form einer ganz rationalen Funktion 3. Grades hingeschrieben. Das ist nämlich f(x)=a×x³+b×x²+cx+d. Wir wissen, es geht hier um eine Steigung in den gegebenen Bedingungen und es geht um den Wendepunkt. Und da kann man einfach mal sagen, naja, das wird ja dann was mit der 1. Ableitung und auch mit der 2. Ableitung zu tun haben. Das sage ich gleich noch was zu. Aber da dass so ist, habe ich hier erst mal allgemein die 1. und die 2. Ableitung gebildet. Die lauten dann f′(x)=3ax²+2bx+c. Und die 2. Ableitung heißt f″(x)=6ax+2b. So, dann brauchen wir Gleichungen, um diese Funktion bestimmen zu können. Und zwar müssen wir aus den gegebenen Eigenschaften nun Gleichungen konstruieren. Und ich fange mal an mit der hier von mir I genannten Gleichung. Ich habe einfach für x in den allgemeinen Funktionsterm 2 eingesetzt und diesen Term dann gleich 1 gesetzt. Denn wenn der Punkt P mit den Koordinaten (2/1) zum Graphen gehört, dann bedeutet das, dass wenn man in den Funktionsterm 2 einsetzt, das dann das Ergebnis 1 herauskommt oder dass dieser Term dann den Wert 1 hat. Ja, und das habe ich hier gemacht. I lautet also a×2³+b×2²+c×2+d=1. Dann habe ich eine zweite Gleichung erhalten, indem ich mir überlegt habe, wenn der Wendepunkt sich im Punkt (3/3) befindet, dann ist zunächst schon mal sicher, dass der Punkt (3/3) ein Element des Graphen ist. Dass also die Funktion, wie man auch sagen kann, durch den Punkt (3/3) geht und das bedeutet, dass man in den Funktionsterm für x 3 einsetzen kann. Und dann erhalten wir das Ergebnis 3. Also habe ich hier eine zweite Gleichung erhalten II, sie lautet: a×3³+b×3²+c×3+d=3. Vielleicht kann man da einen Rap dazu machen. Naja, egal, mache ich jetzt nicht. Wir wissen, dass die Steigung im Wendepunkt gleich -1 ist. Das bedeutet, dass die Ableitung, die ja die Steigung angibt, in diesem Punkt gleich -1 ist. Und das bedeutet wiederum, wir können in die Ableitung für x 3 einsetzen und erhalten den Wert -1. Klar, wenn die Ableitung an der Stelle 3 den Wert -1 haben soll, können wir in den allgemeinen Term der Ableitung für x 3 einsetzen. Das habe ich hier gemacht und daraus resultiert dann die Gleichung III. Sie lautet 3×a×3²+2×b×3+c=-1. Das kann man natürlich noch ein bisschen zusammenfassen, habe ich jetzt erst mal nicht gemacht, einfach nur mal um stumpf diese Gleichungen aufzuschreiben. Dann geht es weiter mit Gleichung IV. Wie bin ich auf die Gleichung gekommen? Wir wissen, dass sich am Punkt (3/3) ein Wendepunkt befindet. Und die notwendige Bedingung für den Wendepunkt lautet ja, dass die 2. Ableitung gleich 0 ist. Wie du ja weißt, ich sage es noch mal an dieser Stelle, aus der hinreichenden Bedingung folgt der Wendepunkt. Aus dem Wendepunkt folgt die notwendige Bedingung. Deshalb kann man hier nur aus der Tatsache, dass sich dort ein Wendepunkt befindet, kann man nur folgern, dass die 2. Ableitung gleich 0 ist. Die 3. Ableitung ist hier in dem Fall nichts. Aber das reicht auch. Die 2. Ableitung habe ich hier unten allgemein hingeschrieben, wo man für x 3 einsetzt, erhält man dann die Gleichung hier IV, und die lautet: 6×a×3+2×b=0. So, und dann geht es los, wie du hier schon sehen kannst, mit den ganzen Umformungen. Das zeige ich dann im 2. Teil. Zur Übung kannst du das ja selber machen. Es ist halt dieses Gleichungssystem jetzt aufzulösen. Du kannst das natürlich in deinen Taschenrechner eintippen. Dann lernst du natürlich nichts, dann weißt du hinterher nicht, wie es funktioniert, wenn du das immer nur in deinen Taschenrechner eintippst. Manchmal muss man solche Gleichungssysteme ein paar Mal, sage ich mal, von Hand lösen und dann weiß man, wie der Hase läuft. Und dann kann man es ruhig eintippen. Dann viel Spaß damit! Tschüss!